讲座六、晶体学基础(2017年9月16日,王振山)

晶体学基础,1,讲座六,2017年9月16日，2中，王振山,2,晶体的分类在几何晶体学和在结晶化学中是不同的。,在几何晶体学上，按照晶体的对称性将晶体分为七个晶系、14种空间点阵型式,在晶体化学中，是根据组成晶体的粒子的种类及粒子之间相互作用力的性质，将晶体首先分为金属晶体、离子晶体、原子晶体和分子晶体四大类,固体物质按原子（分子、离子）在空间排列是否,晶体内部的粒子(离子、原子、分子等)在三维空间中有规则的排列，具有结构周期性重复规律。,1、晶体结构的周期性,长程有序,3,一、晶体的点阵结构,所谓结构的周期性，是指一定数量种类的原子或离子、分子（或原子团）、分子集团，在空间排列上每隔一定距离重复出现，换句话说，在任一方向排在一直线上的相邻两种粒子之间的距离都相等，这个距离称为周期。,一个具有周期性特点的结构总可以分解为两个要素：一是周期性重复的内容，即结构基元；二是周期性重复的方式，即重复周期的大小与方向，即基本向量。,4,结构基元是晶体中重复排列的基本单位，必须满足化学组成（原子或分子的种类和数量）相同、空间结构相同、排列取向相同和周围环境相同的条件。,为了便于研究晶体中粒子（原子，离子或分子）在空间排列的规律和特点，将晶体中按周期重复的那一部分粒子抽象成几何质点，联结其中任何两点所组成的向量进行无限平移，这一套点的无限组合就叫做点阵。,晶体的现代定义：内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体物质。(具有格子构造),2、晶体结构与点阵,、结构基元,在晶体中作周期性规律重复排列的那一部分具体内容，称为晶体的结构基元。,5,点阵点所代表的具体内容称为结构基元。用点阵点来研究晶体的几何结构的理论称为点阵理论。,、什么是“点阵”？,把结构基元抽象成几何学上的点，称为点阵点（又称为“格点”）。这些点按一定规律排列在空间，构成一个点阵。,晶体的周期性结构与点阵,结构基元与点阵晶体的周期性结构使得人们可以把它抽象成“点阵”来研究。将晶体中重复出现的最小单元作为结构基元(各个结构基元相互之间必须是化学组成相同、空间结构相同、排列取向相同、周围环境相同),用一个数学上的点来代表,称为点阵点。整个晶体就被抽象成一组点,称为点阵。,6,7,、点阵的定义是：按连接任意两点的向量进行平移后能复原的一组点叫点阵。,、构成点阵的条件：、点阵是一组无限多的点。、平移后能复原。、每个点阵点的周围具有完全相同的环境。,什么是平移？所谓平移，就是必须按向量平行移动，而没有丝毫的转动；也就是所有点阵点在同一方向移动同一距离且使图形复原的操作。,用数学语言表述，连结点阵中任意两点可得一向量（矢量）包括周期的大小和方向，将所有的各个点按此向量平移能使它复原，因此点阵具有平移对称性。,8,、两种研究周期性结构的数学工具：用点阵的性质来研究晶体的几何结构的理论称为点阵理论。点阵理论是研究晶体结构的数学模型。研究周期性结构的数学工具有两种：反映结构周期性的几何形式点阵；反映结构周期性的代数形式平移群。,、晶体结构与点阵、结构基元之间的关系：晶体结构点阵结构基元,9,3、晶体的点阵结构、直线点阵（一维点阵）,结构基元与点阵点,一维周期性结构与直线点阵,10,11,、点阵单位向量和平移群相邻两个点阵点的矢量a，是直线点阵的矢量单位。,在直线点阵中连接任意两相邻阵点的向量称素向量(又称基本向量)，否则为复向量。上图中为素向量，、称为复向量。,直线点阵中有无穷多个平移操作可使其复原，用数学语言描述则为：，对向量的加法，构成一个平移群。,、平面点阵结构基元和点阵点,12,例1、为NaCl晶体内部一个截面上离子的排列，矩形框中内容为一个结构基元，可抽象为一个点阵点。安放点阵点的位置是任意的，但必须保持一致,这就得到点阵:,NaCl的平面点阵也可以理解为，一个Na+和一个Cl-组成一个结构基元(四边形正方形单位内部有1个Na+，顶角上的每个Cl-只有1/4属于结构基元)。Cl-离子中心的黑点表示点阵点。,13,14,例2、Cu的晶体为等径球密堆积层，一个Cu原子就是一个结构基元，对应一个点阵点。,Cu的平面点阵中画出是四边形单位，内部有一个结构基元。,15,例3、石墨晶体为层状结构，其结构基元为两个C原子(相邻的2个C原子的周围环境不同)，如虚线画出四边形的单位，每个结构基元以一个黑点表示。,16,小黑点为平面点阵.为比较二者关系,暂以石墨层作为背景，其实点阵不保留这种背景.,为什么不能将每个C原子都抽象成点阵点？如果这样做，你会发现,?,石墨层的平面点阵（红线围成正当平面格子）,17,18,例4、硼酸晶体中层型结构的一个层，两个硼酸B(OH)3分子形成一个结构基元，可以用四边形单位表示。,19,、点阵单位向量和平移群,、平面格子平行四边形单位矢量,选择任意一个阵点作为原点，连接两个最相邻的两个阵点作为素向量，再在其它某个方向上找到最相邻的一个点，作素向量。素向量的选择有无数种方式，如下图中的和均可作为素向量。,平面点阵的平移群可表示为,素向量又称基本向量或单位矢量，、也记作、。素向量和的长度|a|、|b|，以及两者的夹角=，称为平面点阵的点阵参数。,对平面点阵按所选择的素向量和，用两组互不平行的平行线组，将各点阵点连上线，把平面点阵划分为一个个并置堆砌的平行四边形。平面点阵形成由线连成的格子，称为平面格子。平面格子中的每一个平行四边形称为一个单位矢量。,20,21,、素格子和复格子,由于素向量的选取有多种形式，所以一个平面点阵可得到多种平面格子。平行四边形只含一个点阵点的单位称为素单位（素格子）。平行四边形含有两个或两个以上阵点的单位称为复单位（复格子）。,、平面格子净含点阵点数的计算：四边形顶点上的阵点，对每个单位的贡献为1/4；四边形边上的阵点，对每个单位的贡献为1/2；四边形内的阵点，对每个单位的贡献为1。,22,通过点阵点划分为四边形的方式是多种多样的，虽然它们的点阵参数不同，但若它们都只含一个点阵点，它们的面积就一定相同。,23,23,同一空间点阵可因选取方式不同而得到不相同的晶胞,23,24,、正当格子：,、正当平面格子标准：平面素格子、复格子的取法都有无限多种，为方便研究，所以需要规定一种“正当平面格子”标准。正当平面格子的标准是：、平行四边形；、对称性尽可能高：素向量之间的夹角最好是90，其次是60，再次是其它角度；、含点阵点尽可能少，选用的素向量尽量短。正当单位可以是素单位，也可以是复单位。,25,、正当平面单位（平面正当格子）只有4种类型，5种型式（其中矩形有带心与不带心两种型式）：正方形、矩形、带心矩形、六方和平行四边形。,26,为什么正方形正当格子没有带芯的？如果正方形格子带心，一定可以取出更小的正方形素单位。,注意：平面正当格子中只有矩形格子有素格子和复格子（带芯格子）之分。如果其它三种形状的格子带心的话，必定能取出同类形状的更小的素格子来。因此，只有矩形正当单位有带心的(复单位)，其它的都是素单位。,27,、空间点阵（三维点阵）,、空间点阵：,空间点阵是晶体结构的数学抽象。一个点阵点在空间三个方向上，以a,b,c重复出现即可建立空间点阵。重复周期的矢量a,b,c称为点阵的基本矢量,、点阵单位、晶格、向量和平移群,空间点阵必可选择三个不相平行的单位矢量、将点阵划分成并置的平行六面体单位，获得一套直线网格，称为空间格子或晶格，空间格子中的每个平行六面体称为空间格子的一个单位。,28,向量、的长度|a|、|b|、|c|及其夹角=、=、=，称为点阵参数或晶格参数。所以，晶格是描述各种晶体内部结构的空间图像。,所有阵点分布在三维空间上平移群,通常根据矢量、选择晶体的坐标轴x，y，z，使它们分别和、平行。一般三个晶轴按右手定则关系安排，伸出右手的三个指头，食指代表x轴，中指代表y轴，大拇指代表z轴。,晶体结构的代数表示平移群,29,30,点阵和晶格是分别用几何的点和线反映晶体结构的周期性规律，它们具有同样的意义，都是从实际晶体结构中抽象出来的。晶体最基本的特点是晶体结构具有空间点阵式的结构。,31,、平行六面体的划分原则（正当空间格子的标准）,、所选取的平行六面体应符合晶体所固有的对称性。因此，晶轴应优先与对称轴或对称面的法线重合；若无对称轴和对称面，则晶轴可平行主要晶棱选取。、在上述前提下，应尽可能使晶轴相互垂直或趋于垂直，亦即所选取的平行六面体其棱与棱之间的直角应力求最多；晶轴交角不为直角时，选最短的晶轴，且交角接近直角，并使轴单位趋于相等。即尽可能使90，abc。,32,、在遵循上两个条件的前提下，所选取的平行六面体的体积应最小。凡符合这种规定，称为正当格子。在正当格子中有素格子，也有复格子。,、素单位（素格子）与复单位（复格子）,空间点阵可任意选择三个不相平行的单位矢量进行划分，由于选择单位矢量不同，划分的方式也不相同，可以有无数种形式。但基本上可以归结为两类：一类是单位中包含一个点阵点者，称为素单位（素格子）；另一类是每个单位中包含2个或2个以上的点阵点，称为复单位（复格子）。,33,同一空间点阵可因选取方式不同，而得到不相同的晶格。,34,由于点阵特征，点阵中每个点都具有相同的周围环境，即相同的对称性。根据选取正当单位（正当格子）的原则，在照顾对称性的条件下，尽量选取含点阵点较少的作为晶格。有时为了一定的目的，将空间点阵按复单位进行划分。,、单位格子中净含点阵点的计算方法：顶点上的阵点，对每个单位的贡献为1/8（因为8格共用）；棱心的阵点，对每个单位的贡献为1/4（因为4格共用）；面心的阵点，对每个单位的贡献为1/2（因为2格共用）；平行六面体格子内的阵点，对每个单位的贡献为1。,35,二、布拉维系(Bravaissystem),按照宏观对称性的不同，可对晶体的空间点阵进行适当分类，也就是按平行六面体几何特征的分类。晶体的空间点阵又称为布拉维格子，可用既反映晶格周期性，又反映晶体对称性的晶格来分析。这类晶格不一定是体积最小的重复单元，一般阵点不仅在顶点，而且可以在体心上以及面心上。而且晶格的基矢一般沿对称轴或对称面的法向，构成晶体的坐标系。基矢的方向就是坐标轴的方向，称为晶轴。,36,结晶学中把a,b,c满足同一类要求的一种或数种布拉维格子称为一个晶系。晶系是分类晶体时使用的一个标准。,根据描述晶格的坐标系的性质，空间点阵可分为七大晶系，即三斜，单斜，正交，四方，立方，菱方和六方晶系。每一类晶系又包括一种或数种特征性的布拉维格子。,尽管世界上晶体千万种，但它们晶格的形状根据晶格参数不同，只能归结为七种形状，即七个晶系，称为布拉维系。,37,38,、七个晶系的划分标准：,根据晶体的对称性，按有无某种特征对称元素为标准，将晶体分成7个晶系，每个晶系有它自己的特征对称元素。宏观对称性也就是布拉维格子的对称性。,39,七大晶系,40,六方晶格不是六方柱，六方柱的1/3不能同时为三个晶格（因为它们不具有平移关系）,41,42,注意：、上述晶胞类型栏中的“”符号，要理解为晶体的对称性不要求它相等。、晶体所属的晶系由特征对称元素所决定，而不是由晶胞的形状决定。,Question,7个晶系的对称性级别？从讲义中寻找答案。,在以上七类晶体中，它们都是平行六面体，只是由于晶格参数不同而有不同的形状。,43,、晶体的空间点阵型式,根据点阵点在单位平行六面体上的分布情况，可归纳为如下四种晶格类型：,、每个晶系都有简单晶格(素单位)，这类晶格仅在8个顶点上有点阵点，用符号P表示；有的晶系还有复格子(带心晶晶格，复单位)，、体心晶格，除在8个顶点上有点阵点外，在体心有一个点阵点，用符号I表示；、面心晶格，除在8个顶点上有点阵点外，每个面心上都有一个点阵点，用符号F表示；、底心晶格(两个平行面带心)，除在8个顶点上有点阵点外，上下两个面的面心上还有点阵点，用符号C表示（侧心A，B、C）。体心晶格、面心晶格和底心晶格，它们分别含有2，4，2个结构基元。,44,那么，布拉维系的7种晶格是否都既有素晶格又有复晶格呢?最早在1866年，法国晶体学家布拉维(Bravais)严密地论证了这个问题。将7种不同的晶格在保持、a、b、c不变的情况下，又可素复结合，变异，推断出结论如下：总共只有14种型式（14种晶格）。在晶体学中，称为布拉维点阵型式，后人也将其称为布拉维格子或布拉维点阵型式。,45,、立方晶系：只有简单立方格子(cP)、面心立方格子(cF)和体心立方格子(cI)三种型式，,立方晶系为何没有底心立方？若两个平行面带心(无论是底心、侧心)都会破坏3重轴对称性，底心立方可以可划为体积更小的简四方，该简四方格子与原来的面心立方具有相同的对称性，而体积仅仅是原来的1/2。,牵一发而动全身！,下图是立方面心失去相对两个面心的结果.试看：（1）沿体对角线的4个三重对称轴还存在吗？（2）按图中箭头方向平移时还能复原吗？,46,想一想,为什么要考虑带心格子?,47,立方面心复格子可转换为菱方素格子，但是，立方面心晶格表现出立方对称性高的对称性，菱方格子只能表现三方对称性低的对称性；虽然格子选取方式不能改变点阵结构的对称性,但点阵固有的较高对称性在素格子上可能被掩盖。,48,、四方晶系：有两种格子：简四方格子(tP)和体心四方格子(tI)复格子。,问题：为何没有面心四方格子和底心四方格子？、如若要划四方面心格子，则可以取出体积更小的四方体心格子，体积是原来的1/2。、如若要划底心四方格子，则可以取出体积更小的简单四方格子，体积是原来的1/2。,四方底心,四方简单,=,49,不成功的“发明”，成功的学习！,50,四方面心,四方体心,=,51,、正交晶系：有四种格子：简单正交格子(oP)、体心正交格子(oI)、底心正交格子(oC)、面心正交格子(oF)。,52,、三方晶系：菱方（hR）：简三方(相当于立方晶系对角外拉、内推)。为何没有底心三方、体心三方、面心三方格子？可划为体积更小的简三方。,、单斜晶系：只有简单单斜(mP)、底心单斜(mC，相当于正交晶系侧推)。为何单斜底心格点不能安放在一对平行四边形的侧面上？可划为体积更小的单斜简单格子。,53,54,、三斜晶系：只有简单三斜（aP）。三斜面心格子转变为三斜原始格子。,、六方晶系：简六方(hP)。为何六方简单格子不可以为四个简四方格子？六方晶系独有六重对称轴。,黑色与灰白色点都是点阵点.黑点与蓝线表示一个正当格子。,55,简单四方晶格，1个四重对称轴，a=bc，=90,例如：四方面心、四方底心？立方底心？将立方面心除去相对两个面心？,56,你能否发明更多的点阵型式？,57,、14种晶格的符号：,小写字母：为“晶族”(crystalfamily)代号：c（立方）、t（四方）、o（正交）、m（单斜）、a（三斜）、h（六方）。大写字母：P、I、F分别素晶格、体心晶格、面心晶格；A、B、C代表底心晶格；R只代表菱方晶格。primitiveprmtvlatticelts简单晶格,原始的晶格；体心立方Innenzentriert；面心立方fccFace-centeredcubic；底心立方Base-centeredcubic,58,小写字母与大写字母结合，是一种既涉及布拉维系又涉及素、复的晶格代号。例如：cP是素立方晶格，cI是体心立方晶格，mP是单斜素晶格等。这些符号是国际晶体学会组织编写的重要工具书晶体学国际表(1983)推荐的，已广泛应用。,b,a,b,c,a,g,三斜晶系triclinic,abc,abg90,1,59,a,b,c,a,b,c,a,a,单斜晶系monoclinic,abc,b=g=90a,Simple,Base-centered,2,3,60,a,b,c,c,a,b,正交晶系Orthorhombic,abc,a=b=g=90,SimpleBase-centeredBadycenteredFace-centered,4567,61,a=bc,a=b=90,g=120,六方晶系Hexagonal,a,c,8,a,a,a,a,a,三方(菱方)晶系Rhombohedral,a=b=c,a=b=g90,9,62,a,c,a,a,c,a,10,11,四方晶系Tetragonal,a=bc,a=b=g=90,Body-centered,Simple,63,a,a,a,a,a,a,a,a,a,立方晶系(Cubicsystem),a=b=c,a=b=g=90,SimpleBody-centeredFacecentered,12,13,14,64,65,三、晶胞（UnitCell）,研究晶体结构周期性重复排列的规律有两种方式：一种是不管实际晶体结构的重复内容，只考察其重复方式点阵。另一种是研究实际晶体结构的基本重复单位晶胞；由单位矢量将空间点阵划分成并置的平行六面体单位，称为点阵单位。相应地，按照晶体结构的周期性划分所得的平行六面体单位称为晶胞。,66,晶胞是与单位点阵（六面体空间格子）相对应、存在于晶体中的实际概念。晶胞是晶体中最有代表性的基本重复单位。晶体是由晶胞无间隙地堆砌而成。若知道晶胞的特征（大小和形状），也就知道整个晶体的结构了。,矢量a，b，c的长度及其相互间的夹角，等点阵参数又称为晶胞参数。这样的基本矢量构成的单位晶胞称为布拉维（BRAVAIS）晶胞。,67,1、晶胞与晶格（晶胞是具体的，点阵单位是抽象的）,、何谓晶胞？晶胞是晶体的最小重复单位吗？,、晶胞的定义：晶体结构的基本重复单元称为晶胞。,、晶胞与晶格的联系与区别：,晶胞与平行六面体格子的区别：晶格是一种几何概念，是从晶体结构中抽象出来的简化的描述，是表示晶体结构中点阵点重复规律的立体几何图形。空间格子中的平行六面体是由不具有任何物理、化学特性的几何点构成。而晶体结构中的晶胞则由实在的具体粒子所组成，是在实际晶体中切出一个个平行六面体包括了实际内容的实体。,晶体结构的基本特征,68,晶胞：是指晶体结构中的平行六面体单位，其形状大小与对应的空间格子中的平行六面体一致。,69,例如NaCl的晶体、晶格、晶胞,70,、晶体结构与点阵结构的关系：,注意：、结构基元不要与结构单元或结构单位混同，结构基元是晶体学术语，结构单元或结构单位是化学术语。、正确运用两套术语的适用范围。,71,、晶胞的基本特征,晶胞的代表性体现在以下两个方面：一是代表晶体的化学组成；二是代表晶体的对称性，即与晶体具有相同的对称元素（对称轴、对称面和对称中心）。（一般情况下，晶胞都是平行六面体。）,、晶胞的两大基本要素是：,、一是晶胞的形状与大小。晶胞大小和形状用晶胞参数a，b，c，表示。这就意味着晶胞的形状一定是平行六面体，彼此间无缝并置，具有平移对称性。,72,平移对称性是晶胞的基本特征。晶胞的平移对称性决定了划定的晶胞一定是无隙并置的。所以整块晶体是由“完全等同”的晶胞无隙并置地堆积而成的。,“完全等同”可从和两个方面来理解。“化学上等同”指晶胞里原子数目和种类完全相同。“几何上等同”指所有晶胞的形状、取向、大小等同。而且指晶胞里原子的排列(包括空间取向)完全等同。,“无隙并置”即一个晶胞与它的比邻晶胞完全共顶角、共面、共棱的，取向一致，无间隙，从一个晶胞到另一个晶胞只需平移，不需转动，进行或不进行平移操作，整个晶体的微观结构不可区别。晶胞的这种本质属性可归纳为晶胞具有平移性。,73,、二是晶胞的内容：用分数坐标(xa+yb+zc)表示晶胞中原子、离子或分子的种类、数目与位置分布。,、晶胞的型式：晶胞是无形的，是人为划定的。晶胞有素晶胞，复晶胞和正当晶胞之分。素晶胞：符号P，含1个结构基元，不可能再小。复晶胞（带心晶胞）：含2个以上结构基元。复晶胞是素晶胞的多倍体，有以下三种：体心晶胞(2倍体)，符号为I；面心晶胞(4倍体)，符号为F；底心晶胞(2倍体)，符号A、B、C。正当晶胞可以是素晶胞，也可以是复晶胞。,晶体结构的基本特征,74,结晶学中研究的是正当晶胞，所谓正当晶胞，是依据划分晶胞要遵守两个原则，一是对称性尽可能高，二是选取体积尽可能小的晶胞作为正当晶胞。正因为有复晶胞存在，所以晶胞不是晶体结构的最小重复单位，而是晶体结构的基本重复单位。,用凸多面体为晶胞时，只有五类：费多罗夫体。,习用晶胞是平行六面体，称为布拉维晶胞。,75,结晶学晶胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内部亦可能有格点。,为什么结晶学这样选择晶胞呢？晶体除了微观结构的周期性外，每种晶体还有其特殊的宏观对称性。在结晶学中能反映晶体的周期性，又能反映其对称性的特征，通常不一定取最小的结构单元重复单元作为重复单元，而是按对称性特点选取其结构单元所谓的基本重复单位（正当晶胞），通常是最小单元重复单位的几倍。,76,例如NaCl晶胞中含4个NaCl结构基元，是面心立方型式的复晶胞。,为什么NaCl型晶胞要抽象成立方面心格子，而不抽象成三方R格子？尽管后者是一个素格子。,立方晶系的晶胞与原胞图示,77,2、晶胞中原子的坐标与计数,、晶胞中原子的坐标、原子坐标、分数坐标：,原子在晶胞中的位置，科学的表述是原子坐标。晶胞的参考系的原点，习惯上取在晶胞的左-后-下顶角上，并把相交于这个原点的晶胞的三根棱按右手坐标定为a、b、c，通常以向前方(指向观察者)为+a，向右为+b，向上为+c。,原子的坐标通常用向量xa+yb+zc中的x，y，z组成的三数组，来表达晶胞中原子的位置，称为原子坐标。因为x、y、z1，所以我们将x、y、z定义为分数坐标。,78,、原子坐标的取值、晶胞中各点的坐标数值,位于晶胞原点(顶角)的原子的坐标为0，0，0；位于晶胞体心的原子的坐标为1/2，1/2，1/2；位于ab面心的原子坐标为1/2，1/2，0；位于ac面心的原子坐标为1/2，0，1/2；位于晶胞棱中心的原子的坐标为1/2，0，0等等。,79,、x，y，z三个数的取值范围是1x(y，z)-1。亦即原子坐标绝对值的取值区间为1|x(y，z)|0；不会等于1或大于1，也不会等于或小于-1，可以简单地记忆为“1即是0”。若取值为1，相当于平移到另一个晶胞，与取值为零毫无差别。由此可见，晶胞的8个顶角的坐标是一样的。,、晶胞顶点有8个原子的坐标都是0，0，0。这是为什么？,80,、位于晶胞顶角的8个原子的坐标都是0，0，0。这说明1个晶胞的8个顶点，实际是8个相邻晶胞等价位置上的顶点对这一个晶胞的贡献。它们是同一个原子。不要忘记：只要晶胞的1个顶角有原子，其他7个顶角也一定有相同的原子，否则这个平行六面体就失去了平移性，就不是晶胞了。,、我们可以肯定：若取一个原子坐标在晶面上，肯定在晶胞图上可以看见一对（位于平行的两个面上），所以，两个平行的ab面的面心原子的坐标都是1/2，1/2，0，而且有其一必有其二，否则也不再是晶胞了。,81,、同理解释3个面心位置的分数坐标：在彼此无缝并置的晶胞中，1个面心必为2个晶胞所共用，21/21。晶胞中上下两个底面的面心都用1/2，1/2，0表示；左右两个侧面的面心都用1/2，0，1/2表示；前后两个面的面心都用0，1/2，1/2表示,对平行六面体来说，a、b、c三个方向上各有4条棱，每条棱为4个晶胞所共用，所以41/433，a方向上棱心的位置用1/2，0，0表示；b方向上棱心的位置用0，1/2，0表示；c方向上棱心的位置用0，0，1/2表示。,1/2，1/2，1/2表示体心位置，为该晶胞独有。,82,、请注意“等同原子”与“不等同原子”坐标的区别：坐标不同的原子即使是同种原子，也不能视为等同原子，如坐标为1/2，1/2，0