随机分形与金融波动的市场机制

文章编号 : 100124098 (2003) 0120038205随机分形与金融波动的市场机制 , 张世英(天津大学 管理学院 , 天津 300072)摘要 : 简要回顾有效市场理论并指出其缺陷 , 将随机分形和分数布朗运动引入金融波动的研究中 , 阐述随机分形市场的经济涵义和波动机制。指出金融波动的异方差性 , 将分数维时间序列建模和异方差建模相结合 , 提出 A R F 2型 , 并给出实证研究。关键词 : 金融市场有效性 ; 分形 ; 随机分形 ; 异方差 ; A R F 2 文献标识码 : 效市场理论及其缺陷金融市场波动的有效性问题 , 是金融市场研究中的基础、核心问题之一。 1900 年法国经济学家 商品价格波动的研究开创了市场有效性研究的先河 , 他指出商品价格呈随机游走。但是 , 这一前瞻性的研究没有引起足够的重视 , 直至 20 世纪 60 70 年代 , 关于市场有效性的研究才迅速升温 , a1 首先将信息与市场有效性联系起来 : 当价格完全反映了所有可供利用的信息时 , 市场是有效的。这一论述标志着有效市场理论 ( ) 的基本形成。 的核心思想是 : 市场能够对信息作出及时、合理和一致的反应 , 使所有信息都立即反映到价格中去。受物理学中布朗运动的影响 , 大多数学者认为在有效市场下 , 价格波动也为布朗运动。离散时 ,价格序列 P t为随机游走序列 :P t+ 1 = P t + 1 (1)其中 , 白噪声序列。 给出市场波动的一种均衡状态 , 它把市场设定为一种无序的随机波动。但是 , 实际市场远比有效市场理论描述的要复杂 , 诸如波动的相关性和长记忆性、收益非正态、波动异方差等特性普遍存在 2 , 而这些非 所能解释。一种简化的、线性的范式 , 不能准确揭示金融市场真实的波动特性 , 非线性理论是解决这一问题的有力工具。2随机分形与金融市场的波动特性2. 1分形与随机分形M t 于 1975 年首先给出了分形的定义 3 : 一个集合称为分形 , 若其 H 数大于其拓扑维数。他于 1982 年给出了分形的另一个定义 4 : 一个集合称为分形 , 若其整体与组成部分具有某种程度的自相似。不同于严格分形 , 人们发现自然界的分形体往往不具有严格自相似性 , 而是具有近似的自相似性 , 有时候是统计意义上的 , 这就是随机分形 5 。在分形迭代过程中加入随机因素 , 就会生成随机分形。随机性增加了分形体的复杂性、多样性 , 可以描述严格分形所不能解释的随机系统中的一些现象。因此可以认为 , 随机分形比严格分形适用性更广 , 严格分形只是随机分形在确定性系统中的特例。6 提出了分形市场这一概念 , 指出分数布朗运动可以更加准确的刻画金融市场波动 , 文献 7 对第 21 卷第 1 期 (总第 115 期 )系统工程 V o l. 21, N o. 12003 年 1 月 s , 2003X 收稿日期 : 2002206222基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 (70171001)作者简介 : 樊智 , 男 , 天津大学管理学院博士研究生 , 研究方向 : 金融定量分析 , 计量经济学 ; 张世英 , 男 , 天津大学管理学院教授 , 博士生导师 , 研究方向 : 社会经济系统建模研究 , 金融定量分析 , 计量经济学。 1995o., 文试图将随机分形应用于金融波动的研究中 , 利用随机分形来阐述金融波动的市场机制。图 1严格分形与随机分形2. 2分数布朗运动与分数差分噪声布朗运动是整数维的随机过程 , 分数布朗运动 (F o 则是布朗运动向分数维的推广 8 。在离散情况下 , 分数差分噪声。定义 9 如果随机序列 X t满足差分方程dX t = 2)其中 , d 0, q 0; 0, 0, i = 1, 2, , q; 0, j = 1, 2, , p(3)其中 , X t 为外生变量 , B 为滞后算子 , 7 t 为 t 时刻的信息集。 A 型在提出后的 20 年间 , 衍生出许多新的A 模型 , 如 F 。93第 1 期樊智 , 张世英 : 随机分形与金融波动的市场机制 1995o., A R F 2型及估计方法随机分形市场理论阐明了金融波动的内在市场机制 , 同时又反映了波动的外在表现形式。与整数维时间序列相比 , 分数维时间序列可以更好的描述市场的波动特性 ,A R F 模型是研究分数维时间序列的主流工具。定义 12 若平稳时间序列 X t满足差分方程 (B ) (1 - B ) d (X t - L) = ( (B ) 4)其中 , B 为滞后算子 , d 0. 5, 白噪声序列 , t 的均值 , (B ) 与 ( (B ) 分别为 p 阶与 q 阶平稳的滞后算子多项式。则称 X t为服从 d (- 0. 5, 0. 5) 的分整自回归滑动平均模型 (A R F ) , 简记为 A R F (p , d , q)模型。从模型 (4) 可以看出 ,A R F 模型可以全面刻画时间序列一阶意义上的长、短程相关关系 , 并通过参数 d 来描述过程的分形特性 13 , 但它没有考虑金融波动中普遍存在的异方差特性。而前面介绍的 型虽然刻画了异方差特性 , 却大多将收益描述为预定变量的线性函数 , 对于收益序列本身的长、短记忆特性 , 却未能准确刻画。由于 A R F 和 型分别从一阶 (价格序列 ) 和二阶 (方差序列 ) 上来刻画波动的相关性 , 因此二者是相互独立和互不包含的 , 同时也说明可以把它们结合进行建模研究 , 以全面刻画金融波动的长、短程相关关系以及异方差特性 , 因此本文提出一种新的模型 A R F 2 (B ) (1 - B ) d (R t - L) = H(B ) N (0, h t)d 0. 5h t = 1i + 1t- j(5)可以看到 ,A R F 2型包含了 A R F 和 个模型 : 当价格方程中的参数 5 i、 d 都取0 时 , 模型退化为 当异方差方程中的参数 0 时 , 模型退化为 A R F 。因此 , A R F 2 R F 或 型。本文对模型 (5)采用极大似然估计。模型 (5)具有如下似然函数 :L (K, t) = - 12 2 t - t (6)式中 , (6) 式的极大化是一个复杂的优化问题 ,提出了一种优化算法 14 , 常被称为法 , 法具有较好的收敛性和统计性质 ,证明 , 法所得到的参数估计量具有一致性和渐进正态性。 代过程如下 :K(i+ 1) = K(i) + k i 15L 1 15L = K(i) (7)其中 , k i 为第 i 步搜索步长 , 取使在该搜索方向上似然函数极大化的步长。选取适当的初始值后 , 重复 (7)式 , 直至所得结果满足一定条件 , 如收敛性、迭代次数等。5实证研究本文选用三组金融数据作为样本。 上证综指每日收盘价 , 1992 05 11- 1999 11 23。 N 纽约证券交易所综合指数每日收盘价 , 1990 01 02- 1999 08 31。 U : 美元 英镑汇率每日收盘价 , 1988 01 04- 1998 06 15。本文将价格 P t定义为市场每日收盘价 , 而将收益 R t定义为R t = t - (8)首先对于三组原始数据进行检验分析。通过 验 , 发现了收益分布的非正态性和厚尾性 , 通过 L 检验 , 揭示了收益序列的一阶相关性 , 通过修正 R S 检验和 验 , 揭示了波动的长记忆性。另外 , 通过 Q 检验、方差比和方差差检验 , 揭示了波动的二阶相关性 , 又通过 验 , 揭示了波动的异方差特性。这些与国内外关于金融市场的相关研究结论类似 15- 17 。 (因篇幅所限 , 检验过程和结果从略。 )利用上文所提出的 A R F 2型 , 对三组样本进行建模 , 模型阶数选取为 A R F (1, d , 1) 21, 1)。作为对比 , 同时利用 A R F (1, d , 1)模型进行建模。04 系统工程 2003 年 1995o., 1 ) A R F (1, d , 1) 21, 1)(1 - 0. 118B )(- 0. 836)(1 - B ) 0. 165R t(5. 19)=(1 - 0. 135B ) . 17) N (0, h t)h t = 0. 00049 + 0. 105 + 0. 558h (54. 15) (7. 84) (38. 19)(9)L = 4125. 03,A - 4. 42。 L 为似然函数 ,A 赤池信息准则 , 括号中为 t 统计量。下同。(2) A R F (1, d , 1)(1 - 0. 042B ) (1 - B ) 0. 183 = (1 - 0. 201B ) 10)L = 3759. 0,A - 4. 03。5. 2 N ) A R F (1, d , 1) 21, 1)(1 - 0. 87B )(2686. 3)(1 - B ) 0. 091R t(4. 84)=(1 - 0. 905B ) 906. 7) N (0, h t)h t = 0. 000057 + 0. 11 + 0. 607h (70. 68) (7. 77) (52. 92)(11)L = 8482. 29,A - 6. 943。(2) A R F (1, d , 1)(1 - 0. 846B ) (1 - B ) 0. 076dR t = (1 - 0. 883B ) 12)L = 8354. 23,A - 6. 840。5. 3 U (1) A R F (1, d , 1) 21, 1)(1 - 0. 169B )(15. 95)(1 - B ) 0. 067R t(3. 38)=(1 - 0. 258B ) 5. 27) N (0, h t)h t = 0. 0000453 + 0. 103 + 0. 76h (111. 67) (10. 23) (113. 20)(13)L = 9507. 17,A - 7. 198。(2) A R F (1, d , 1)(1 - 0. 218B ) (1 - B ) 0. 051R t = (1 - 0. 205B ) 14)L = 9495. 367,A - 7. 191。5. 4结果分析(1) 三个市场都具有显著的随机分形特性在三个样本的计算结果中 , 分整阶数都显著不为 0, 且都介于 0 和 0. 5 之间 , 证实了资本市场的波动中广泛的存在着分维特性 , 证明随机分形市场与传统有效市场理论相比 , 是一种更为一般的存在。(2) A R F 2型优于 A R F 模型由实证结果看出 ,A R F 2型中大多数参数的 t 检验都显著 , 并且无论从似然函数 , 还是 A 则来讲 , 都优于 A R F 模型。这一结论说明 ,A R F 2以更加准确的刻画市场波动 , 是更有力的建模工具 , 同时也说明了提出 A R F 2型的合理性。6结语本文首先简要回顾了有效市场理论并指出其缺陷 , 说明了随机分形和分维时间序列可以更好的揭示金融波动14第 1 期樊智 , 张世英 : 随机分形与金融波动的市场机制 1995o., 对 A R F 和 A 模型各自的特点和不足 , 本文将二者结合提出了 A R F 2型 ,并通过建模研究证实了金融波动中普遍存在的随机分形特性 , 也说明了提出 A R F 2型的合理性和优越性。参考文献 : 1 a E F. m a of ry w o J . 1970, 25(2): 383 417.2 L . 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