2012届高考数学难点突破复习-数列的通项与求和

精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创1/122012届高考数学难点突破复习数列的通项与求和莲山课件M难点13数列的通项与求和数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前N项和公式都可以看作项数N的函数，是函数思想在数列中的应用数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前N项和SN可视为数列SN的通项。通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法难点磁场设AN是正数组成的数列，其前N项和为SN，并且对于所有的自然数N，AN与2的等差中项等于SN与2的等比中项1写出数列AN的前3项2求数列AN的通项公式写出推证过程3令BNNN，求B1B2B3BNN案例探究例1已知数列AN是公差为D的等差数列，数列BN是公比为Q的QR且Q1的等比数列，若函数FXX1精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创2/122，且A1FD1，A3FD1，B1FQ1，B3FQ1，1求数列AN和BN的通项公式；2设数列CN的前N项和为SN，对一切NN，都有AN1成立，求命题意图本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前N项和公式、数列的极限，以及运算能力和综合分析问题的能力属级题目知识依托本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而2中条件等式的左边可视为某数列前N项和，实质上是该数列前N项和与数列AN的关系，借助通项与前N项和的关系求解CN是该条件转化的突破口错解分析本题两问环环相扣，1问是基础，但解方程求基本量A1、B1、D、Q，计算不准易出错；2问中对条件的正确认识和转化是关键技巧与方法本题1问运用函数思想转化为方程问题，思路较为自然，2问“借鸡生蛋”构造新数列DN，运用和与通项的关系求出DN，丝丝入扣解1A1FD1D22，A3FD1D2，A3A1D2D222D，D2，ANA1N1D2N1；又B1FQ1Q2，B3FQ1Q22，Q2，由QR，且Q1，得Q2，精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创3/12BNBQN142N12令DN，则D1D2DNAN1,NN,DNAN1AN2,2,即CN2BN82N1；SN12N例2设AN为数列AN的前N项和，ANAN1，数列BN的通项公式为BN4N31求数列AN的通项公式；2把数列AN与BN的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明数列DN的通项公式为DN32N13设数列DN的第N项是数列BN中的第R项，BR为数列BN的前R项的和；DN为数列DN的前N项和，TNBRDN，求命题意图本题考查数列的通项公式及前N项和公式及其相互关系；集合的相关概念，数列极限，以及逻辑推理能力知识依托利用项与和的关系求AN是本题的先决；2问中探寻AN与BN的相通之处，须借助于二项式定理；而3问中利用求和公式求和则是最基本的知识点错解分析待证通项DN32N1与AN的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到R与N的关系，使TN中既含有N，又精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创4/12含有R，会使所求的极限模糊不清技巧与方法1问中项与和的关系为常规方法，2问中把3拆解为41，再利用二项式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；3问中挖掘出N与R的关系，正确表示BR，问题便可迎刃而解解1由ANAN1，可知AN1AN11，AN1ANAN1AN，即3，而A1A1A11，得A13，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列AN的通项公式AN3N232N1332N3412N342NC42N11C4112N4N3，32N1BN而数32N412N42NC42N11C4112N4K1，32NBN，而数列ANA2N1A2N，DN32N13由32N14R3，可知R，BR，锦囊妙计1数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同因此在研究数列问题时既要注精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创5/12意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性2数列AN前N项和SN与通项AN的关系式AN3求通项常用方法作新数列法作等差数列与等比数列累差叠加法最基本形式是ANANAN1AN1AN2A2A1A1归纳、猜想法4数列前N项和常用求法重要公式12NNN11222N2NN12N11323N312N2N2N12等差数列中SMNSMSNMND，等比数列中SMNSNQNSMSMQMSN裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和，即ANFN1FN，然后累加时抵消中间的许多项应掌握以下常见的裂项错项相消法并项求和法数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创6/12歼灭难点训练一、填空题1设ZNN，NN，记SNZ2Z1Z3Z2ZN1ZN，则SN_2作边长为A的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的周长之和及面积之和分别为_二、解答题3数列AN满足A12，对于任意的NN都有AN0,且N1AN2ANAN1NAN120，又知数列BN的通项为BN2N111求数列AN的通项AN及它的前N项和SN；2求数列BN的前N项和TN；3猜想SN与TN的大小关系，并说明理由4数列AN中，A18,A42且满足AN22AN1AN,NN1求数列AN的通项公式；2设SNA1A2AN,求SN3设BNNN,TNB1B2BNNN,是否存在最大的整数M，使得对任意NN均有TN成立若存在，求精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创7/12出M的值；若不存在，说明理由5设数列AN的前N项和为SN，且SNM1MAN对任意正整数N都成立，其中M为常数，且M11求证AN是等比数列；2设数列AN的公比QFM，数列BN满足B1A1,BNFBN1N2,NN试问当M为何值时，成立6已知数列BN是等差数列，B11,B1B2B101451求数列BN的通项BN；2设数列AN的通项ANLOGA1其中A0且A1,记SN是数列AN的前N项和，试比较SN与LOGABN1的大小，并证明你的结论7设数列AN的首项A11，前N项和SN满足关系式3TSN2T3SN13TT0,N2,3,41求证数列AN是等比数列；2设数列AN的公比为FT，作数列BN，使B11,BNFN2,3,4，求数列BN的通项BN；3求和B1B2B2B3B3B4B2N1B2NB2NB2N1参考答案难点磁场解析1由题意，当N1时，有，S1A1，精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创8/12，解得A12当N2时，有，S2A1A2，将A12代入，整理得A22216，由A20，解得A26当N3时，有，S3A1A2A3，将A12，A26代入，整理得A32264，由A30，解得A310故该数列的前3项为2，6，102）解法一由1）猜想数列AN有通项公式AN4N2下面用数学归纳法证明AN的通项公式是AN4N2，NN）当N1时，因为4122，又在1中已求出A12，所以上述结论成立假设当NK时，结论成立，即有AK4K2，由题意，有，将AK4K2代入上式，解得2K，得SK2K2，由题意，有，SK1SKAK1，将SK2K2代入得22AK12K2，整理得AK124AK1416K20，由AK10，解得AK124K，所以AK124K4K12，即当NK1时，上述结论成立根据，上述结论对所有的自然数NN成立解法二由题意知，NN整理得，SNAN22,由此得SN1AN122，AN1SN1SNAN122AN22整理得AN1AN）AN1AN40，由题意知AN1AN0，AN1AN4，即数列AN为等差数列，其中A12，公差D4ANA1N1D24N1，即通项公式为AN4N2精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创9/12解法三由已知得,NN，所以有，由式得，整理得SN122SN0，解得，由于数列AN为正项数列，而，因而，即SN是以为首项，以为公差的等差数列所以N1N,SN2N2，故AN即AN4N2NN3令CNBN1，则CN歼灭难点训练一、答案12解析由题意所有正三角形的边长构成等比数列AN，可得AN，正三角形的内切圆构成等比数列RN，可得RNA,这些圆的周长之和C2R1R2RNA2，面积之和SN2R22RN2A2答案周长之和A，面积之和A2二、3解1）可解得，从而AN2N，有SNN2N，2TN2NN13TNSN2NN21，验证可知，N1时，T1S1，N2时精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创10/12T2S2；N3时，T3S3N4时，T4S4；N5时，T5S5；N6时T6S6猜想当N5时，TNSN，即2NN21可用数学归纳法证明略）4解1）由AN22AN1ANAN2AN1AN1AN可知AN成等差数列，D2,AN102N2由AN102N0可得N5，当N5时，SNN29N，当N5时，SNN29N40，故SN3BN；要使TN总成立，需T1成立，即M8且MZ，故适合条件的M的最大值为75解1）由已知SN1M1MAN1，SNM1MAN,由，得AN1MANMAN1，即M1AN1MAN对任意正整数N都成立M为常数，且M1，即为等比数列2当N1时，A1M1MA1，A11，从而B1由1知QFM，BNFBN1NN,且N2，即，为等差数列3N1N2，NN精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创11/126解1设数列BN的公差为D，由题意得解得B11,D3,BN3N22由BN3N2,知SNLOGA11LOGA1LOGA1LOGA1111，LOGABN1LOGA因此要比较SN与LOGABN1的大小，可先比较1111与的大小，取N1时，有11取N2时，有111由此推测1111若式成立，则由对数函数性质可判定当A1时，SNLOGABN1，当0A1时，SNLOGABN1，下面用数学归纳法证明式当N1时，已验证式成立假设当NK时K1），式成立，即那么当NK1时，这就是说式当NK1时也成立由）可知式对任何正整数N都成立由此证得当A1时，SNLOGABN1；当0A1时，精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创12/12SNLOGABN17解1由S1A11,S21A2，得3T1