数学证明的教育价值

精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创1/5数学证明的教育价值数学证明的教育价值目前，数学教育界都在关注国家数学课程标准目标体系的研讨，其中一个热门的话题是如何处理中学几何课程的改革。争论焦点之一是如何看待几何中逻辑推理的教育价值。为此，笔者认为首先应该探讨一下数学证明的教育价值。一、问题的提出从一组原始概念和命题出发，经过逻辑推理得到一系列的定理和证明，这就是几千年来数学学科所遵循的研究模式。但随着数学的发展，特别是电子计算机的出现，人们对上述研究模式产生了怀疑。其中最典型的一个例子就是所谓“四色问题”的证明。下面详细谈一下由“四色问题”所引起的争论。1852年，英国数学家FGUTHRIE在给他弟弟的一封信中说“看来每幅地图若用不同颜色标出邻国，只要用四种颜色就够了。”这就是“四色问题”的由来。一百多年来精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创2/5数学家们不断努力企图用数学方法来证明这个结论。直至1970年左右，问题归结为计算几千个不可约构形的问题1，但其计算量之大是难以想像的，因此人们望而生畏。1976年美国两位计算机专家KAEL和WHAKEN找到了一种新的计算方法。他们用了三台IBM计算机经过1000多个小时的运算，“证明”了格思里提出的结论是正确的。因此，“四色问题”得到了“证明”。阿佩尔和哈肯的“证明”引起了人们的争论。首先，他们的“证明”，其计算机程序就达400多页，要用人工去检验其程序有无问题是十分吃力的。因此，似乎无人愿意再去重复阿哈的“证明”。其次，能否保证计算机在计算过程中绝对不出错误第三，人们无法确定计算出现错误是计算机本身的机械或电子方面的毛病，还是“证明”过程本身逻辑有问题。于是就引起了什么是“数学证明”的争论。有些数学家认为数学证明只能是以人工可重复检验的逻辑演绎过程，否则只能称为计算机证明，二者不能混为一谈。因此，按这种观点，“四色问题”只能称已得到了计算机证明，而不能称已得到了数学证明。精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创3/5但是，另一些数学家反驳说，用人工来检验也可能产生错误。例如，数学史上曾有不少数学家声称他们已“证明”了欧几里得第五公设。但后来发现他们的“证明”均有问题，其主要错误在于他们利用了与第五公设等价的命题，因此从逻辑上说他们都犯了循环论证的错误。另外人工逻辑演绎证明可以重复吗众所周知，群论中有一个著名的所谓有限单群的分类定理，单群的概念是由GALOIS在1830年最初给出的。一百多年来数学家企图对单群进行分类。直至20世纪80年代，由100多位数学家组成的非正规“队伍”，他们共同努力列出所有的单群并证明这样的列举是完全的。在花费了成千上万个小时以及发表了几百篇论文之后，这项工作才得以完成，证明长达15000多页2试问谁还愿意去重复他们长达15000多页的证明于是问题就不集中在“证明”是否可检验的问题上了，而在于人们如何来理解“证明”的真正含义。数学证明的功能到底是什么精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创4/5二、数学家们对数学证明的看法国际数学教育委员会在计算机对数学和数学教学的影响报告中指出“借助于计算机的证明不应该比人工证明加以更多的怀疑，我们不能认为计算机将增加错误证明的数目，恰恰相反对计算机证明的批评，例如四色问题的证明，主要集中在它仅依靠蛮力和缺乏思考的洞察力。计算机证明会给人们带来一些新启示，会激励人们去寻找更好的、更短的、更富有说服力的证明，会鼓励数学家去更准确地把握形式化的想法。”英国数学家ATIYAH在评论“四色问题”的证明时说“这证明是一大成功，但在美学观点上看极令人失望。完全不靠心智创造，全靠机械的蛮力。科学活动的目的是理解客观世界并进而驾驭客观世界，然而我们能说理解了四色问题的证明了吗”“数学是一种艺术，一种使人摆脱蛮力计算，而且成熟概念和技巧，使人更轻松地漫游。”3BOURBAKI在数学的建筑一书中说“单是验证了一个数学证明的逐步逻辑推导，都没有试图洞察获得这一连串推导的背后的意念，并不算理解了那个数学证明。”精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创5/5“电子计算机证明不满意者并非它没有核实命题，难道用人工花几个月检验几百页证明便更可靠了吗而是它没有使我们通过