【毕业论文】中考数学压轴题解法的研究

本科毕业论文中考数学压轴题解法的研究STUDYONTHEMATHEMATICALSOLUTIONTOTHEJUNIORMIDDLESCHOOLENTRANCEEXAMINATION专业信息与计算科学指导教师职称教授2016年5月摘要中考是初中三年学习成果的检测，而数学是中考中的一门重要学科在数学试卷中，压轴题无论在所占分值方面还是难易程度上都有着重要的地位那么，中考数学压轴题解题方法的研究就显得非常重要本文主要从中考数学压轴题的特点出发，分析压轴题的知识结构以及经典试题类型，辅以初级的数学思想，把握学生心理来研究中考数学压轴题的解法以此来提高压轴题的得分率希望对初三的莘莘学子有所帮助关键词中考数学压轴题解题方法ABSTRACTEXAMINATIONOFTHEJUNIORMIDDLESCHOOLISTHEDETECTIONOFTHREEYEARSTUDY，MOREOVER，MATHEMATICSISAIMPORTANTSUBJECTOFTHEJUNIORMIDDLESCHOOLENTRANCEEXAMINTHEMATHEMATICALEXAM,FINALEQUESTIONISIMPORTANTWHETHERINSHAREVALUEORINTHEDEGREEOFDIFFICULTYSO,WESTUDIEDTHEMETHODOFMATHEMATICALFINALEQUESTIONSISVERYIMPORTANTINTHISPAPER,WEDISCUSSEDTHECHARACTEROFFINALEQUESTIONSINTHEJUNIORMIDDLESCHOOLOFMATHEMATICALEXAMINATIONINORDERTOIMPROVETHESCORINGRATEOFFINALEQUESTIONS,WEANALYZEDTHESTRUCTUREANDTHETYPESOFTHEFINALEQUESTIONS,SUPPLEMENTEDBYPRIMARYMATHEMATICALTHINKINGANDGRASPTHEPSYCHOLOGYOFSTUDENTSWEHOPETHISPAPERCANHELPTHEJUNIORSTUDENTSINMATHEMATICALSENIORMIDDLESCHOOLENTRANCEEXAMKEYWORDSMATHEMATICSINJUNIORMIDDLESCHOOLENTRANCEFINALEQUESTIONSSOLVINGSTRATEGIES目录摘要IABSTRACTII第一章绪论111课题的研究背景及意义112全文研究内容及章节安排1第二章对中考数学压轴题的认识321中考数学压轴题的特点322中考数学压轴题的结构3221第（1）小题3222第（2）小题3223第（3）小题3224三道小题之间的关系4第三章中考数学压轴题几大经典类型531动点问题532函数类问题533四边形存在性问题634几何三大变换问题735关于圆的问题7第四章数学思想方法9第五章中考数学压轴题的技能技巧12第六章结论13致谢14参考文献15长春师范大学本科毕业论文（设计）原创性声明16长春师范大学本科毕业论文（设计）版权使用授权书16第一章绪论11课题的研究背景及意义1910年出版的大英百科全书第11版“考试”条说“在历史上，最早的考试制度是中国用考试来选拔行政官员的制度据公元前1115年的记载，以及对已进入仕途的官员的定期考核据公元前2200年的记载”中国早在夏商周时期就有了考试制度，目的是为了选拔行政官员而演变至今，考试作为考察知识或技能的制度被我国高度重视通过考试遴选人才是现如今主要的发展趋势中考作为九年义务教育的最后一次重要的考试，它决定了一名学生是否有资格继续就读高等中学数学在中考中占据着重要的地位，在中考数学试卷中，压轴题往往决定了同一阶段学生的差别据上海辞书出版社出版的辞海（缩印本1989年版）称“压轴是戏曲术语指一台折子戏演出中的倒数第二个剧目由于最末一个剧目称大轴而得名”压轴题一般指出现在试卷较后的较大的题目，并不是最后一道大题，而是指很重要的题，即综合性较强，分数比重较大的综合题中考数学试题一般分为选择，填空，化简求值，计算，解方程，函数和几何证明几类，而压轴题多为二次函数或几何的综合题从得分情况看，据不完全统计，近几年数学压轴题的得分率在，压轴题的第3小题得分率更是低于大题尤其是压40330轴题丢分的情况十分严重而且现在一大部分初三学生对数学压轴题有着恐惧心理，甚至还没有审题，心理上就已经放弃了解题的想法“压轴题难度大，浪费时间也做不出来”“题面字数多，看到就不想做，好麻烦”诸如此类的心理暗示让学生望而却步不仅影响了中考的成绩，以后遇到事情也会有畏难心理，影响十分恶劣因此，解决中考数学压轴题的问题迫在眉睫研究中考数学压轴题的解法，不仅有益于成绩的提高，对学生在今后求学，生活的道路上也有重要的影响压轴题为综合题，不仅涵盖了许多知识点，同时也考查学生的数学思维，解题能力及技巧等等，所以，解好压轴题，对基础知识的认识也会更深刻，能更灵活地运用学到的知识解决未知的问题，对填空题，选择题也有很大帮助正所谓知己知彼，百战百胜，了解压轴题的基本情况，相信在中考数学试卷中，会取得不错的成绩在攻克压轴题的过程中，也在培养学生迎难而上的品质，不畏惧困难，选择逃避，而是努力去解决问题把压轴题分成多个部分，逐个击破，由易到难，由简到繁，以后也是如此，在处理生活工作中遇到的问题时不骄不躁，把复杂的问题分成几步，一步一步完成这些习惯在以后的学习，生活过程中，都是珍贵的优秀品质12全文研究内容及章节安排本文主要研究中考数学压轴题的解决方法并不是所有人都能拿到压轴题的满分，那么如何尽量获得多的分数，是一个确确实实存在的问题清楚分析压轴题的组成，掌握并且灵活运用所学的基础知识，了解压轴题的类型，学会如何找到正确的解题思路，培养初步的数学思维希望我对压轴题的一些浅见会对初三的学生们有所帮助第一章绪论第二章中考数学压轴题的组成第三章中考数学压轴题的类型第四章中考数学压轴题的数学思维第五章中考数学压轴题的技能技巧第六章结论第二章对中考数学压轴题的认识21中考数学压轴题的特点压轴题难度大成了一个不成文的规定，那么，为什么压轴题难度大压轴题，属于综合题的范畴，首先，它涉及的知识点较多，覆盖面很广，压轴题涵盖了二次函数，方程，不等式，特殊四边形等核心知识，其中以二次函数为主，辅之以相似三角形，平行四边形的考题尤为突出例如2015年济宁的压轴题，是一道二次函数的综合题，但在解第1小问时，求抛物线的解析式，需用到勾股定理以及垂径定理进而得到解析式，第2小问用到相似三角形的性质来证明直线是圆的切线第3问涉及了二次函数最值的问题第二，压轴题综合性强，不仅仅是对基础知识的考察，多数压轴题还融合了初步的数学思想方法，例如15年辽宁省双阳市的压轴题，在考查知识点的同时，也注重分类讨论思想的运用第三条件隐蔽，关系复杂也是压轴题的一大特点，很多题并不直接给出所求答案的已知条件，而是需要我们通过计算分析求得一些条件，然后运用得到的条件进而求得问题的答案第四，解压轴题的思路难寻，不知道如何入手是很多学生最头痛的地方，一般需要从多个角度来理解题意，几何题多用到辅助线，而函数类多用定义，性质等来寻求突破口，灵活运用数形结合不仅如此，压轴题的题型也有多种形式，除了主流的函数类综合题，还有图形表格题，定义新运算，几何变化，探索类的题型等等有些压轴题计算十分麻烦，或者看起来简单易算，但计算次数非常多，这就需要用技巧去计算，寻找规律，转换成其他形式都是常用的方法22中考数学压轴题的结构221第（1）小题一般第一小题比较简单，考察的是对基础知识的掌握程度，比如求二次函数关系式，直线解析式，点的坐标，三角形面积等等，得分率也比较高第一小题80的学生都能得到分，目的是为了让学生慢慢进入解题的状态，以此来迎接接下来的挑战例如，给出两点坐标，求过两点的二次函数解析式；2015年山东省东营市压轴题第一小问，已知条件给出三个点坐标，只需运用待定系数法求出函数表达式即可222第（2）小题第二小题属于常规题型，考察学生基础知识掌握的是否牢固，能否灵活运用所学到的知识处理问题，得分率在之间，考察点多倾向于函数、图形的性706质等方面223第（3）小题第三小题较有难度，题型也较为多变，函数类多为证明题，图形类多为求面积的题型也有动点、存在性判定、求特殊值等题型它的难度在于思路难寻，不知道如何下手，不妨大胆假设，谨慎答题，多运用已知条件得出一些结论，通过得出的条件，寻求突破口压轴题一般都会有步骤分，所以不要轻言放弃，把能得出的结论写好，一定会交出一份满意的答卷224三道小题之间的关系一般来说压轴题由3个小题组成，有时会多出一个小问，它们之间存在的逻辑关系有并列的3个小题之间没有什么关联，只需要用到给出的已知条件就可分别求出而有些小题之间有着递进的关系，环环相扣，第1问是解出第2问的条件，而第2问的结论，又影响着第3问的答案第三章中考数学压轴题几大经典类型31动点问题动点问题是指在图形中存在一个或多个点，在某一图像上移动的一类题，解题的关键在于以静制动，找到特殊的移动位置，以此作为突破口，推导出这一类点的运动规律运用数形结合，把点在图形中移动的轨迹，用代数语言表达出来，从而解决问题例31（2011吉林）如图，梯形中，,于ABCDB/,90ADCE点，从初始时刻开始，动点分别从点ECMAD8CBC4CM5QP同时出发，运动速度均为，动点沿方向运动，到点停止；B,S/1PE动点沿方向运动，到点停止，设运动时间为，的面积为QXSO，（这里规定线段是面积为的三角形）解答下列问题2CY0（1）当时，；当时，SX22CYSX92CMY（2）当时，求与之间的函数关系式145（3）当动点在线段上运动时，求出时的值PBCABCDS梯形154X（4）直接写出在整个运动过程中，使与四边形的对角线平行的所有PQE的值XAEDP解析此题在X取不同值时，有相应的函数值，按照动点的变化求得函数解析式带入即可而点P，Q在移动到不同边时有不同的关系式，根据面积可求不同阶段的解析式Y值固定时，有对应的自变量，动中求静此题关键在于观察每一段动点移动时的图像变化，把图像语言转换为函数语言，从而求得题目中要求的答案32函数类问题函数类问题多建立在直角坐标系中，以二次函数为主，结合图形的性质，进行讨论分析例32（2011浙江温州）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的OA坐标为，点的坐标为是直线上的一个动点，作0,4B0,BPAB轴，垂足为，记点关于轴的对称点为点不在轴上，连结XPCCPYY,设点的横坐标为PCA,PA（1）当时，3B直线的解析式；B若点的坐标是，求的值；,1M（2）若点在第一象限，记直线与的交点为当时，ABCPD31CP求的值；A（3）是否同时存在，使为等腰直角三角形若存在，请求出所有满BA,足要求的的值；若不存在，请说明理由B,解析在这道题中第一问用待定系数法即可求得解析式，再将带入解析,1M式即可求得的取值，第2问如图1做辅助线，运用相似三角形对应边成比例即可M解出。第3小问分三种情况讨论即可。如下图所示33四边形存在性问题存在性问题是指讨论是否存在点，满足某种存在的图形关系，通常以函数为媒介，多用到全等三角形性质，相似三角形性质例33（2010河南）在平面直角坐标系中，已知拋物线经过三点0,24,0,CBA（1）求拋物线的解析式；（2）若点为第三象限内拋物线上一动点，点的横坐标为，的面MMMAMB积为求关于的函数关系式，并求出的最大值SMS（3）若点是拋物线上的动点，点是直线上的动点，判断有几个位置PQXY能够使得点、为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点的QBOQ坐标解析第1问设函数的解析式为，代入点坐标即可第2问24XAYB通过图形面积列出函数关系式，再就关系式讨论最大值第3问做辅助线通过表示的面积列出含有的式子，根据平行四边形对边平行且相等的性质列出AMBMAF方程求解34几何三大变换问题平移，旋转，轴对称统称为几何三大变换，几何三大变换都是全等变换，其特点是虽然位置改变了，但是形状和大小不变例34（2011陕西）如图，在矩形中，将矩形折迭，使落在边ABCDB（含端点）上，落点记为，这时折痕与边或边（含端点）交于点，ADEF然后再展开铺平，则以、为顶点的称为矩形的“折痕三角形”BFEF（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形的任意一个“折痕”是一E个_三角形；（2）如图，在矩形中，当它的“折痕”的顶点ACD24BCBF位于边的中点时，画出这个“折痕”，并求出点的坐标；EEF（3）如图，在矩形中，该矩形是否存在面积最大的B“折痕”若存在，说明理由，并求出此时点的坐标；若不存在，为F什么解析第1问因为关于对称，所以是等腰三角形。第二问易知BEFA为正方形，坐标为。在解几何变换的题型时，要把握住对应点，对应ABFE0,2线段的关系与性质，以及形状大小不变的性质35关于圆的问题在压轴题中，圆的应用也十分广泛，考察圆的半径，圆心圆周角，切线，割线_Y_X_C_D_F_E_A_B_O_Y_X_C_D_F_E_A_B_O_Y_X_C_D_F_E_A_B_O等性质，结合勾股定理，全等三角形，相似三角形等解决问题例35（2010广东广州）如图，O的半径为1，点P是O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧上任一点（与端点A、B不重合），DEAB于点BAPE，以点D为圆心、DE长为半径作D，分别过点A、B作D的切线，两条切线相交于点C（1）求弦AB的长；（2）判断ACB是否为定值，若是，求出ACB的大小；否则，请说明理由；（3）记ABC的面积为S，若4，求ABC的周长2DE3解析第1问考察了勾股定理的知识，在圆内做辅助线，构造直角三角形从而求得长AB第2问由（1）易知，因为点为的内心，120AOBDABC所以，连结、，则，,DEC2因为，所以，6E10所以60C第3问通过三角形面积和相等的关系即可推导出,即,FGA28DEAB38所以BC38CPDOBAE第四章数学思想方法初中数学中的主要数学思想分类讨论思想、数形结合思想、用字母表示数的思想、转化与化归思想、方程思想、函数思想、统计的思想等1以坐标系为桥梁，运用数形结合思想最近几年各地的中考压轴题中，大部分都需要建立直角坐标系来分析问题，通过坐标之间的关系来寻找规律，用数对在坐标系中来规划图形，以此来研究图形的规律，性质，同时也可借助图形来解得函数的值数形结合的思想在压轴题中有很广泛且重要的应用例41（2012荆州）已知关于的函数的图象与轴有YX22KXYX交点（1）求的取值范围；K（2）若，是函数图象与轴两个交点的横坐标，且满足1X2X214求的值；K当时请，结合函数图象确定的最大值和最小值XY解析图像与轴交点代表函数值为0时的点，第2问的问中，需通过图像X来解析函数式，“以形助数，以数解形”2以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想直线与抛物线是初中数学的一次函数与二次函数所表示的图形运用函数和方程来研究两种图形是常见的方法函数与图形的结合，例如用待定系数法求函数解析式，通过二次函数上两个点的坐标列二元一次方程组例42（2015阜新）如图，抛物线交轴于点和点，CBXY2A0,3B交轴于点Y3,0C（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点在抛物线上，且，求点的坐标；PBOCAPS4P（3）如图，设点是线段上的一动点，轴，交抛物线于点，求BQXDQD线段长度的最大值D解析此题第2小问将两个三角形面积用多项式表示，根据已知条件列出方程，进而求得点坐标P3利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想检测学生思维的准确性与严密性是分类讨论思想的主要用途，条件的变化性或结论的不定性需要通过分类讨论的方法解决，在处理某些问题时，如果没有进行分类讨论，很容易漏掉一个答案，从而得不到满分例43（2009年重庆）已知如图，在平面直角坐标系中，矩形的边OABC在轴的正半轴上，在轴的正半轴上，过原点作OAOC3,2A的平分线交于点，连接，过点作，交于点CABDDCEE（1）求过点、的抛物线的解析式；E（2）将绕点按顺时针方向旋转后，角的一边与轴的正半轴交于点，F另一边与线段交于点G。如果与（1）中的抛物线交于另一点，点OFM的横坐标为，那么是否成立若成M56OE2立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点，使GQ得直线与的交点与点、构成的是等腰三角形若存在，请求出GQABPCPCG点的坐标；若不存在，请说明理由解析在这道题的第3小问中讨论了点的存在性问题，要使是等腰三角PCG形，其中、为定点，为不确定的点，在为腰、为底的情况下，考虑CAO图ABCXYAO图BBCXYDQ、分别为顶点的情况进行分类讨论假设存在点，结合点的位置，通过GCPP设点坐标为，以此来表示出相应三角形边长，由等腰三角形的性质，构造方2,T程，从而求出点坐标，体现了分类讨论的思想4综合多个知识点，运用等价转换思想任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包括由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题，转换的思路更要得到充分的应用等价转换是基础的数学思想例44（2009年吉林模拟）设，且，求的范围RYX,XYX6232Y解析；由得0236YX设，则YKX，代入已知等式得，2K22K02KX即其对称轴为13由得20X4,0K所以的范围是2Y2YX4通过设消去，转化为关于的一元二次方程求解2YX第五章中考数学压轴题的技能技巧学生要了解考纲，知道中考要考什么，不要盲目的做题，题海战术有利也有弊，但需要用到适当的地方，不要在一个不常考的知识点上花过多的时间训练，而应着重在考纲重视的考点上，分清主次，着重训练热门考点在复习过程中，遇到好的题型多练习，有些题通过基础的知识演变而来，多留意这样的小技巧，在做压轴题时可以直接拿来当作条件来用，可以达到事半功倍的效果学生要对自身目前的学习状况有明确的了解，自己在学习过程中在哪一块是强项，哪一块是短板，要对自己掌握知识的情况有清晰的认知这样才能有针对性地做题，根据自身情况来选择做题，而不要浪费时间要知道中考数学的时间是120分钟，那么，如何在有限的时间内得到更多的分数才是必要的，而不是为了一道题而致使没有时间来解答其他题，合理安排时间才是最有益的在做压轴题时，首先要做的是审题，要知道题目的要求及已知条件，对压轴题整体有初步大概的了解，明确压轴题到底属于哪一类，联想需要用到的知识，发掘已知条件和结论之间到底有什么联系，从而找到突破口，有了初步的思路，一步一步做题如果思路受到阻碍，尝试从其他方面入手，最忌讳停滞不前时仍旧不肯放弃不仅容易走入误区，对考生的心理也有无形的压力，对接下来的解题百害无一利在做题时要不焦不躁，保证会的题做准，没把握的尽力去做，压轴题的第一小题一定要做出来，第二小题多结合题中所给条件，找出隐藏的条件或把计算出来的结果当作条件继续运算第三小题尽力去答，哪怕没有算出最后结果，也要把步骤写清楚，因为中考是按照题目所考察的知识点来评分，把握好知识点，在题上体现出你明白了考纲需要考察的地方，尽最大努力发挥，在压轴题中多得分数同时，卷面工整也会给阅卷老师一个好印象，所列的步骤也一目了然，容易给出更高的分数在考试时，最重要的是心态，知识的学习在平时已经得到应有的强化，而中考，不单单考查知识，也是考验学生的心理素质，尤其面对压轴题这样综合性强，难度大的试题，更应沉着冷静第六章结论中考压轴题是评定学生在中考数学中的优良及差的重要标准，是筛选尖子生的标准所以研究其解法有着必不可少的作用了解中考压轴题的类型，掌握巧妙的解题技巧，保持良好的心态在应对压轴题时，运用所学到的知识，无论能否解出答案，尽量去完成每个人的情况都不同，在做压轴题时，只要尽力就好了，对自己三年的学习努力不后悔就好中考数学压轴题虽然难度大，但并不是高不可攀，在平时的复习过程中，多做题，加强对压轴题的练习，掌握一些特殊题的解题方法与思路，了解压轴题的解题规律，虽然压轴题每年的形式都不同，知识点的组成也多变，但在做一些题的同时，也在锻炼自己的数学思维，以及自己解题的能力。就像钓鱼一样，每次钓到的鱼都不会跟以前钓到的鱼一样，但是在钓鱼的时候，也在不断加强自己的技巧和能力。充分的准备对考试时遇到压轴题是有好处的，在考试中也会有好的表现。在解题过程中，多运用学到的知识，有较强的数学思维，做题思路打开之后，一步一步，稳中求胜最后，希望这篇文章对各位考生有所帮助，在中考中有一个好的成绩致谢在论文的最后,感谢给予我支持的导师,家人,朋友和同学感谢导师的指导和帮助,我才能更好地完成它导师在我的生活和学习中给予了很大帮助,这些都是