中值定理的分析性质研究[毕业论文]

（2014届）本科毕业论文（设计）题目矩阵的特殊乘积及其应用学院数理与信息工程学院专业信息与计算科学班级信计101学号201059295111姓名邹涌桔指导教师舒伟仁完成日期2014年05月16日教务处制诚信声明我声明，所呈交的论文设计是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文设计中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。我承诺，论文设计中的所有内容均真实、可信。论文设计作者签名签名日期年月日授权声明学校有权保留送交论文（设计）的原件，允许论文（设计）被查阅和借阅，学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容，可以影印、缩印或其他复制手段保存论文（设计），学校必须严格按照授权对论文设计进行处理，不得超越授权对论文（设计）进行任意处置。论文设计作者签名签名日期年月日矩阵的特殊乘积及其应用邹涌桔（嘉兴学院数理与信息工程学院）摘要矩阵的普通乘积的局限性在于前一个矩阵的列数务必等于后一个矩阵的行数，使得其在很多方法和领域中不能发挥作用。因此，本文研究了三种矩阵特殊乘积，分别为矩阵的KRONECKER积、HADAMARD积和半张量积。它们都克服了矩阵普通乘积行数和列数的限制，使得多线性映射很容易用矩阵处理，而多线性映射可以逼近一般非线性映射，与其他方法相比，极大地简化了所需的工作。文中主要研究讨论了这三种矩阵特殊乘积的相关概念、性质及应用。关键词矩阵KRONECKER积；矩阵HADAMARD积；矩阵半张量积；应用SPECIALPRODUCTOFMATRIXANDITSAPPLICATIONZOUYONGJU（COLLEGEOFMATHEMATICSPHYSICSANDINFORMATIONENGINEERING,JIAXINGUNIVERSITY）ABSTRACTTHELIMITATIONSOFORDINARYPRODUCTMATRIXMUSTBEASKEDTHENUMBEROFCOLUMNSOFTHEFRONTMATRIXISEQUALTOTHENUMBEROFROWSINTHELATERMATRIXWHICHUNABLETOPLAYITSROLEINMANYMETHODSANDFIELDSCONSEQUENTLY,THISPAPERPUTSUPWITHTHREEKINDSOFSPECIALPRODUCTSOFMATRIXTHEREAREKRONECKERPRODUCT,HADAMARDPRODUCTANDSEMITENSORPRODUCTOFMATRIXRESPECTIVELYTHEREFORE,WHICHOVERCOMETHERESTRICTIONOFORDINARYPRODUCTOFMATRIX,ANDLEADTOTHEMULTIPLELINEARMAPTOBEVERYEASYFORTHEMATRIXBESIDES,THEMULTIPLELINEARMAPAPPROXIMATIONOFTHENONLINEARMAPPING,WHICHGREATLYSIMPLIFIESTHEWORKREQUIREMENTCOMPAREINGWITHTHEOTHERMETHODSINTHISPAPER,THERELATEDCONCEPT,PROPERTIESANDMAINAPPLICATIONSOFTHETHREEKINDSOFSPECIALPRODUCTSOFMATRIXAREINTRODUCEDKEYWORDKRONECKERPRODUCTOFMATRIXHADAMARDPRODUCTOFMATRIXSEMITENSORPRODUCTOFMATRIXAPPLICATION目录1引言12矩阵的KRONECKER乘积221KRONECKER积的基本概念222KRONECKER积的特征值423KRONECKER积的应用5231矩阵的展开（拉直）5232KRONECKER积最直接的应用求解线性矩阵方程组6233KRONECKER积最具代表性的应用93矩阵的HADAMARD乘积1231HADAMARD积的基本概念1232反积及非负矩阵的HADAMARD积1533HADAMARD积的应用16331在稳定性分析和有限元法、谱方法中的应用16332在盲信号分离中的应用164矩阵的半张量积1841矩阵半张量积的基本概念1842矩阵半张量积的应用22421非线性动态系统23422有限集间的映射275结论30致谢31参考文献321引言在数学历史的长河中，线性代数与矩阵理论一直是许多数学分支的基本工具。同时，它们自身有着非常丰富的研究价值，古往今来每一位从事数学甚至其他自然科学的学者都不会怀疑矩阵的重要性。矩阵理论和微积分可以被视为两个基础数学，一般来说，现代数学的整个建筑是建立在这两支柱上的。但与微积分不同，矩阵理论是在不断发展的，早在公元前100年出版的九章算术一书中，被用来求解线性方程组而使用的方阵实际上就是矩阵。如今，矩阵论不但在各数学学科，而且在分析和研究的许多自然科学领域中也发挥着重要作用，特别是在系统与控制理论中。此外，矩阵还是数值计算的基础，在计算机时代，它更是起着一种不可替代的核心作用。简单地描述一下矩阵理论在实际应用中的作用矩阵理论可称为高等算术，几乎每个工程应用都涉及到矩阵，这是因为矩阵的方法就像一种数学工具，它能结合带有许多部件的复杂系统。在电网络、结构理论、力学系统、经济学研究等中均可找到矩阵理论的精彩应用。从线性代数知道，矩阵是处理1维或2维数组的有力工具，特别是在考虑线性映射或线性函数时，矩阵是处理这些问题的完美手段。当我们考虑2维数组时，用矩阵表示的双线性型或二次型是最有力的工具。当然，矩阵不是万能的，随着科学技术的发展，多线性和非线性是科学技术开发中需要解决的关键问题。但标准的线性代数和矩阵分析技术在非线性计算和分析中已不能完全应用，目前常用的一般矩阵乘积是基于线性代数变换的，它的局限性在于前一个矩阵的列数务必等于后一个矩阵的行数，受到了矩阵行数和列数的限制。因而，从本质上讲不适合于非线性计算和分析。探究表明矩阵的特殊乘积，是解决多线性及非线性问题的关键。它克服了矩阵普通乘积行数和列数的限制，使得多线性映射很容易用矩阵处理，而多线性映射可以逼近一般非线性映射，在非线性与多线性计算和分析中有着非常重要的意义和广泛的应用前景。近年来，越来越多的国内外学者关注并研究矩阵的特殊乘积及其应用。本文从矩阵特殊乘积中的KRONECKER积、HADAMARD积和半张量积入手，就它们各自的基本概念、性质、主要应用等方面的相关知识进行了研究、收集、整理和归纳，使读者对于矩阵的特殊乘积及其作用有个粗略的了解，同时，希望通过此篇论文的研究，能引起更多学者的注意和参与，推动矩阵特殊乘积的推广和应用。2矩阵的KRONECKER乘积21KRONECKER积的基本概念矩阵的KRONECKER积在实、复运算上没有区别，因此这里以复矩阵进行阐述。定义211设，则称如下的分块矩阵QPIJNMIJBBAAC,211NQMPNNMBABAC2121212为与的KRONECKER积（克罗内克积），也称为直积或张量积，简称为积，简记为ABK。即是一个块的分块矩阵，最后是一个矩阵。NQMPIJAANNQP由上述定义有212NQMPIJABBC很明显，与是同阶矩阵，但总的来说，即矩阵的KRONECKERABBA积不满足交换律。不过对于单位矩阵，有。MINMNMNII定理212矩阵的KRONECKER积有如下基本性质设，则HKSRQPNDCBA,纯量积K为任意常数。KAB分配律当时，有M,CAB,结合律BA转置及共轭,HHTTBA混合积当时，有KQRN,DCBA逆当，且均可逆时，则也可逆，且有QNPM,BA,BA11秩RANKRAK当时，即分别为阶和阶方阵，则QPNM,BA,MPPMPIABII当时，即分别为阶和阶方阵，则,PA如果和都是对角矩阵、上（下）三角矩阵、对称矩阵、HERMITE矩阵、正交矩阵、酉AB矩阵，则也分别为这类矩阵。推论213若的奇值分解分别为QPNMC,HHVDUBA21,和的正奇值分别为和，则的正奇值为ABR,21S2A，且SRRSS,1121HVDUBA2122为的奇值分解。BA定理214设分别为和的方阵，则存在一个阶置换矩阵（排列矩阵）,MNMN使得MNPC213ABPTKRONECKER积的幂的概念如下定义215设有矩阵，记MNAC214KKA是一个矩阵。KNM定理216设，则QPNMBA,215KKBA22KRONECKER积的特征值定理221设是变量的复系数二元多项式，对，KJIJIYXCYXF0,YNMBAC,定义阶矩阵，其中。如果和的特征值分别为MNJIJIBAF0,NMIB00,和，它们对应的特征向量分别是和，则,21N,21MX,21NY,21的特征值为，而对应的特征向量为BAFJIFJIF,MIYXJI,特别地，若取，则XYF,221BAYXF,定义222设，和的KRONECKER和为NMBAC,222IMNK简称为K和。由定理221和定义222可得如下结论定理223设的特征值，是相应的的特征向量；MACM,21MX,21的特征值为，是相应的特征向量，则NBCN,21NY,21的个特征值为，对应的特征向量为；AJINJIYXJI,21,的个特征值为,对应的特征向量为；KMNJIJIMNBABDETTDETRR定理224设是个线性无关的维列向量，是个线性无关的NX,21QY,21维列向量，则下列个维列向量PQMP223QJNIYXJI,21,线性无关，反之，若上述个维列向量线性无关，则和均线性无NQMPNXQY,21关。23KRONECKER积的应用ANDREWS与KANE证明，KRONECKER积表示可以导致多种离散酉变换的有效计算机实现，并且KRONECKER积可以利用矩阵分解定义。FINO与ALGAZI证明，一大类离散酉变换都可以利用广义KRONECKER积（具有矩阵置换）即元素重排的递推公式产生。另外，KRONECKER积还可用于快速酉变换的设计、数理统计、线性系统理论、信号处理与系统理论中的随机静态分析、随机向量和随机向量过程分析、滤波器组和HADAMARD变换的分析等。231矩阵的展开（拉直）设矩阵NM231MNNMAAA212121记的列向量为，记的行向量的为，即ACNC,21MRRA,21IAAJINIIRTMJJJ,21定义231设阶矩阵，称维列向量NMCCN232TAV,21为矩阵的按列展开（列拉直）。类似地，矩阵的行展开（行拉直）为A233MRRAR,21由上述定义可得。接下来我们运用矩阵的列展开TTTVCVC,进行相关的介绍。AVC为向量化算符具有如下性质1212VCKAKVCAC矩阵为线性无关的充要条件是在中NMKC,KAVCAVC,21NMC线性无关。若，则NMBA,ABVCTBABTRTT存在唯一的置换矩阵，记为，MNKCNK234TNAVC其中，满足，即。故置换矩阵为正交矩阵，MNKMNT1MNNMTIMNK也称为交换矩阵。定理232设，则QPPNBXACC,235XVCAVCT推论233设，则NMNM,XCAIXVCNVBMTXVCIBICMTN232KRONECKER积最直接的应用求解线性矩阵方程组一般的线性矩阵方程可表示为236CXBAXBAP21其中,是已知矩阵，而是未知矩阵，利用PIBANIMI,2,CNMCNM矩阵的KRONECKER积和矩阵的列展开，可给出线性矩阵方程的可解性及其解法。定理234矩阵是线性矩阵方程的解的充要条件为是如下方程组的解NMXXVCX237CVCGX其中，238PITABG1推论235方程236有解方程237有解，其中GRANKCVCRANK,为方程237的增广矩阵的秩；方程236有唯一解非奇异。CVCGRANK,例1求解矩阵方程，其中，FXBA2112,102,21BA643,02FB解设，则根据定理234知，4321XXCVCXABPIT1021,21TTB，02412,241241AATT则,216340521BTT634216340541X得10758,7,16,584321XXX定义235设，则矩阵方程NMNMCBA,239BA称为LYAPUNOV矩阵方程。将矩阵方程239两端按列展开，可得等价的线性方程组2310CVCXIIMTN由定义234和推论235知矩阵方程2310有解的充要条件是2311BARANKCVCBARANK,并且LYAPUNOV矩阵方程有唯一解非奇异，即。K0DETK定理236设，和的特征值分别为和，NMC,M,21N,21则LYAPUNOV矩阵方程有唯一解的充要条件是2312NJMIJI,2,10即和没有共同的特征值。AB推论237设,则矩阵方程（即）必有非零解。MC0AXXAMXC定理238设，如果和的特征值均具有负实部，则LYAPUNOV矩阵NBAB方程有唯一解，并且解可以表成MX2313DTECBAT0定理239设，则矩阵方程NMNMXBAC,2314有唯一解，其中分别是的特征值。JIJI,21,21,JI,AB定理2310设，且，则矩阵方程（2314）有唯一解NMBA,1BA23150JJCX引理2311设，则MAC；IEIAI引理2312设，则NMBC,2316ABAIIAEEEMTN由上述的结果，我们就可以求解矩阵微分方程的初值问题。定理2313矩阵的微分方程0XBTADT的解为BTATE0其中。NNMBXACC,例2求解矩阵微分方程的初值问题0XBTADT其中，102,10,10204321XTBA解易求得TBTTTATEEE0,02故方程组的解是1230TTBTATEXE233KRONECKER积最具代表性的应用KRONECKER积最具代表性的应用莫过于在信号处理与系统理论中的多变元时间序列的高阶统计量理论与方法的应用。可以这样说，KRONECKER积乃是多变元时间序列的高阶统计量分析的基本数学工具之一。正是由于KRONECKER积的使用才使得多变元时间序列的高阶累积量、高阶谱（多谱）和描述输入、输出于多信道系统冲激响应三者关系的数学公式变得非常的简洁，直观上与单变元情况下的对应表示极其相似。1向量过程的累积量定义2314设是一个维随机向量，即，随机向量NYPTPNYNY,21分别具有个元素，的累积量是一个有个元素的KX,21KX,21KXCUMK向量，其第个元素为互累积量，其中，KII,21KIIIC,2,1。特别地，随机向量的阶累积量定义为PIIK,21,21YNK2317111,KKKYNYCUMNC其第个元素为，其中，10,II10,IKIIY。PK,2,1也已证明,一个零均值的元素非平稳向量过程的K阶累积量由个1元素的向量YNKP给出KYC2YCNIY3112,YNY4123,YCNIYN12INIY231TPPYN312IIY其中，是一个置换矩阵，定义为。这里是一个置换P42PPPU2P3P矩阵，它的第个元素等于1，而其他元素IPKI21,IK均等于零。定理2315若为常数矩阵，且为随机向量，则I,RIX,211P2318KKKCUMXCUM,112多信道BBR公式除了使用状态空间模型外，随机向量过程也可视为一个线性多信道系统的输出，该系YN统的冲激响应矩阵为，输入为随机向量。即可表征为KNH,E,KYNHEN（2319）假定与，独立，即其累积量为多维KRONECKER函数ENM1111,KEKKCCUMENEN01,KKEII（2320）式中，输入累积量是一个有元素的向量。NKEKE描述多信道系统与它的输入累积量、输出累积量三者之间的关系的数学式称为多信H,道BBR公式。令，则01,KKYNC1,KUMYNYN01011,KKKTTCHTEHTE010,KKKTTUNN010101,KKTTTTCUMETT利用式2320，上式可进一步简化为1,KKYNC0101,KKTTHNTHNT23211KE注意到（若）和（若），则（2321）可简化为0IT0TI0IT0TI1111,KYKKKEICNHNIIHNII2322由此得下面的定理定理2316（多信道BBR公式）对于由式2319定义的线性向量过程，若满足式YN2320，且冲激响应矩阵是绝对可和的，即KNH,0,NKH则输出向量过程的K阶累积向量由BBR公式2322给出并且当系统是时不变即以及时，式（2322）简化为NHK,KEKEKEIKKYIHIHC111,，2323KEILKLI1003矩阵的HADAMARD乘积31HADAMARD积的基本概念定义311设，用表示和的对应元素相乘而得到的NMIJIJBBAAC,AB矩阵MN311NMNNMMBAAB21212121称为和的HADAMARD积（阿达马积），也称为SCHUR积（舒尔积），记为。ABBAHADAMARD积的可相乘条件是只要两个矩阵有相同的行数和相同的列数。显然，如此乘积与通常矩阵乘积不同，它是可交换的，即312AB定理312关于HADAMARD积的基本性质，有如下结论设，则NMBAC,，TTHABAB设，则NMD,，ABCCCADB设，则MACMMADIAGAI,21设为零矩阵，则有NMOO令，且为求和向量，其中CBA,TL,1NMDDIGD,21，则有NJIIAD1，CBATRTRTTCBTRLTT若为任意常数，则KKK并且，如果和,则RANKBARAN22AA1N如果和是自伴矩阵，那么也是自伴矩阵。AB如果和是斜自伴矩阵，那么是自伴矩阵。AB如果是自伴矩阵，是斜自伴矩阵，那么是斜自伴矩阵。引理313设，则成立NMC,313,BA其中2,3,21M和2,NN是指标集，是的由指定的行和指定的列所确定的子矩阵。,ABAB特别地，当时，是的主子矩阵。MN这一引理表明，HADAMARD积等同于KRONECKER积的一个子矩阵。AB引理314设，且设和是对角矩阵，则NBAC,MNDC314DD这一引理表明HADAMARD乘法同对角矩阵作通常乘法是可交换的。HADAMARD积与KRONECKER积之间的关系如下定理315设，则有NMBAC,315NTMIBAI其中，且为标准单位向量KKEEI,1KIRK,定理315结合定义231矩阵的列展开，可得BVCAVC316VCABDIAGDIAGCA其中，表示的各个元素依次为对角元素的对角矩阵。DIAG定义316设是以或为元素的阶矩阵，它有，称为阶HADAMARDH1MMTIH矩阵，设分别为阶HADAMARD矩阵，则是阶HADAMARD矩阵。,MN,N定理317（SCHUR积定理）设，则NMBAC,若是半正定矩阵，则也是半正定矩阵；BA,若是正定矩阵，是半正定矩阵且没有零对角元素，则是正定矩阵；AB若都是正定矩阵，则也是正定矩阵。,AB这一定理表明正定矩阵类和半正定矩阵类在HADAMARD积运算下是封闭的。这是一个定性的结果，还有各种定量的结果。推论318（FEJER定理）令是一个矩阵，则是半正定矩阵，当且仅当MAIJIJBA10对所有半正定矩阵成立。MB定理319设是半正定矩阵，则成立NAC,317BABMINIMIN和318AXAAX其中和分别表示的最小特征值和最大特征值。AMINAXA此定理是一个比较弱的定量估计，例如，在正定，的情形，按照式317，有A1B319AAMAXIN1MINI1MIN得到的是一个很粗糙的下界而依下述定理就可得到比较好的有实用价值的下界。定理3110设是半正定矩阵，则成立NBC,3110TABMINMIN和3111ININ32反积及非负矩阵的HADAMARD积定义321设，令NMIJIJBBAAC,321IJCIJIJ,NJ,21,21记，并称其为和的反积（积）。MNIJCBFA反积是HADAMARD积的一种变异。关于反积及非负矩阵的HADAMARD积有如下基本性质定理322若是矩阵，则也是矩阵；NRBA,MAB若是矩阵，则也是矩阵，是非奇异的。NC,HH因此，矩阵类和矩阵类在FAN积下都是封闭的。M定理322设，则NRBA,0,B，也就是说，非负矩阵类在HADAMARD积下是封闭的；0。推论323设是矩阵，则NRBA,M32211BA并因此323这里是Z矩阵的最小特征值。A定理324设是矩阵，则也是矩阵NRB,M1ABM引理325设，则IJA,0324这里是HADAMARD幂。IJA以上3个定理的证明从略，可参见文献633HADAMARD积的应用331在稳定性分析和有限元法、谱方法中的应用对非线性数值计算进行稳定性分析，HADAMARD积提供了一个新的简单的分析方法。考虑如下HADAMARD积形式的二次非线性问题的数值逼近代数方程331FBWAL这里是某个算法的权系数，是线性算子的权系数总和，是一常向量，给一个小摄BA和F动，让矩阵保持不变，则有FL和,332WAB利用定理312中HADAMARD积的性质（、），我们推得33311122LNLFKWF令为零，上式变为熟悉的线性代数方程组的舍入误差估计公式。即为线性算子的条件数，NLKL是本文引进的非线性条件数。HADAMARD积也被用到有限元法，谱方法的非线性计算。利用HADAMARD积定理315和KRONECKER积的性质，我们获得二次和三次非线性问题有限元法。谱方法一般形式的数值逼近公式如下33402CWHLNN3353Q其中是常数向量，是线性算子系数矩阵，和是二次和三次非线性算子的常系CNL2NH3NQ数矩阵。是离散节点数。上述式子的主要优点是分离了未知量和已知的算法系数，其中和NH刻划了问题的非线性特征。用其他的方法很难获得如此清晰简单的矩阵形式的数值逼近方程。Q332在盲信号分离中的应用令观测数据模型由NKASXK,21给出，其中，分别是时刻的维观测向量和维源信号向量，是表示信号线性混合KSX和MNA状况的矩阵，称为混合矩阵。现在，希望自适应更新权矩阵，使得KW336KKXY是信号向量的估计。这个问题称为盲信号分离问题。KS盲信号分离有三种典型的最小均方型自适应算法自然梯度算法，算法和迭代LMSEASI求逆算法。这三类算法更新权矩阵的公式，可以统一写作337KKKWYG1不同的算法体现在非线性函数的选择不同。式中，称为学习步长或者学习速率，它的选YG择决定自适应算法的收敛速率和信号跟踪性能。当学习速率固定时，以提高收敛速率和信号恢复质量是困难的。因此，通常取时变函KK数。最简单的做法是取时间递减函数，更好的选择是采用自适应的学习速率，但它们都没有和信号的分离状态或者相依性直接挂钩，效果有限。为了克服这一缺陷文献47提出了分阶段学习的盲信号分离算法338KKKWYGW1即使用学习速率矩阵取代一维的学习速率。式中，表示矩阵的HADAMARD积。KBA和整个信号分离过程分为三个阶段，每个阶段使用的学习速率矩阵不同初始阶段为加速混合信号的分离，对所有信号分量采用大的学习速率。此时，学习K速率矩阵取，式2的盲信号分离算法取式1的形式。IK捕捉阶段为了捕捉到所有的信号分量，并考虑到有的信号可能已被分离或者被部分分离，因此对所有信号采用相同学习速率不再是最优。为了同时跟踪已分离信号和捕捉未分离的信号，宜对不同的信号采用不同的学习速率根据分离的程度（其测度为不同信号之间的二阶和高阶相关系数），分离程度越好的信号使用越小的学习速率；反之，分离程度越差的信号使用越大的学习速率。具体而言，此阶段取学习速率矩阵为对角矩阵，对角元素对应为不同信号分离的KD学习速率。此时，盲信号分离法式2简化为KKKWYG1因为。KKYGD跟踪阶段一旦捕捉到所有的信号分离，信号分离便进入跟踪阶段。在本阶段学习速率矩阵的各个元素取小的值，盲信号分离算法取式（2）的形式。K4矩阵的半张量积41矩阵半张量积的基本概念矩阵的半张量积是一种新的矩阵特殊乘法，它将普通矩阵乘法推广到前阵列数与后阵行数不等的情况。推广后的乘法不仅保持了原矩阵乘法的主要性质，而且，具有伪交换性等比推广前更好的性质,它可以定义为设，且，即是和的最小公倍数，,MNPQABMPNNP定义的半张量积为BA和411PNII我们将式411称为矩阵左半张量积，通常说矩阵半张量积均指左半张量积。容易看出,式411是普通矩阵乘法的推广,因为当时,它就是普通矩阵乘法。其实,这种推广可以有P很多。如混合半张量积412PNIBAI或413IPN还有一个有几何意义的推广414BABPN1同时，矩阵的半张量积是一种统一的高维数组乘法，并且它与普通矩阵乘法相容。高维数据在计算机内不必排成立方阵或更高维空间阵的形式，它实际上是用“指针”、“指针的指针”、“指针的指针的指针”等来标识数据的层次结构。半张量积就是这样一种能让每个数组变量自动找到它所对应的数据的层次的指针的运算规则，它的一般定义如下定义411设是一个维行向量，是一个维列向量，将分割成个等长的块TNPXPTP，它们每一个都是维行向量，定义半张量积为PT,114151PINTXR设是一个行向量，是一个列向量，那么，SXX,2112,TTYY的半张量积为YX和416NTRX,设，如果是的因子或者是的因子，利用式415及416定,MNPQABMNPP义111212212QMMMQROWCLROWACLBROWACLBALBLL定理412给定两个矩阵和，有定义当且仅当下列两种情况之一成立NMPQN如果，那么此时乘积的维数是；0PNPNQ如果,那么此时乘积的维数是M注为方便计，当时，我们称满足等维数条件，当或时，PNNM,0NPN我们称满足倍维数条件。半张量积就是将矩阵乘法从满足等维数条件的矩阵对推广到满足NM,倍维数条件的矩阵对。定理413两个矩阵的半张量积的维数可以很容易根据前一个矩阵的第二个指标和后一个矩阵的第一个指标的公因子消去来计算得到。例如417LPTLQSTSPLQSTSRQPCBABACBA不同于普通的矩阵乘法，对于半张量积，即使和都有定义，但是ABC也可能没有定义。ABC在半张量积下，对于任意矩阵和都有ARR418这是因为可以被看作是一个矩阵，因此在半张量积下我们不需要区分数乘和矩阵乘法。显R1然对于半张量积，是“通用单位元”，是“通用零元”。0定义414给定一个矩阵，假设或，我们递推地定义，PQAM0QPNA为0N419K1,21注容易验证矩阵的幂是有定义的，并且，如果，其中是一个正整数，那么的SQPKA维数是；如果，那么的维数是。,KSQSPKA,K定义415给定,MNQB如果，我们就记；如果，记为。如果有定义，00PNAB那么就有或。A如果且，为了强调我们记为；相反，如果且，我们BTPNTTPNT记为。T对于一个有限的矩阵序列，如果有或者NAF,112NA，那么称这个序列为有序链。12NA定理416给定，它们有合适的维数，那么,MNPQAB41101111QQMMMABBAB其中表示的第I行，表示的第J列。IA,1AKJ,假设（或），将和分割成如下的分块形式TBT，RSSRA11STTSB11如果，（或），那么KJTIBAI,KJIBKJTI,4111RTTRC11其中SKKJIIJBA1说明了矩阵的分块乘法可以推广到半张量积上。如果，那么BATTSTST设是一个有序链，则有定义。N,1NA21定理417半张量积一些重要的性质在中，设是两个具有合适维数的矩阵，并且有定义，那么,ABB结合律CA分配律，BCAB设是两个列向量，那么YX,XY如果是两个行向量。那么,TTABA如果，那么PNMMMIN如果，那么P如果，那么NPMIP如果，那么IPM在下面的中，设是两个具有合适维数的方阵，并且有定义，那么,ABAB和具有相同的特征函数。ATRTR如果或可逆，则，这里“”表示矩阵相似。BAB如果或都可逆，则11A如果或都是正交阵（上三角阵，下三角阵或对角阵），则也同样是正交阵（上三角阵，下三角阵或对角阵）。如果，则BATBTDEDET如果，则TTAT如果，则NPMMNI如果，则ABP定义418换位矩阵，定义如下用双指标,MNWN是一个矩阵标注它的列，用双指标标注它的NN,2,1,12,MN,21,21行。它在的元素定义为列处行及JIJI4112其它且,0,JJIIWJIJIJIJI当时，简记为，可以证明换位矩阵是正交阵。即NMNMW,MNMTNMW,1,它的主要作用是交换两个向量的位置。定理419设有两列向量，则NRYX,4113M,NX设有两行向量，则R,4114YWXNM,定理4110给定MNAM为一列向量，则TRZ4115ZAIZT为一行向量，则TRZ4116TI上述两个定理被称为半张量积的伪交换性。42矩阵半张量积的应用正如上述讨论，矩阵半张量积有许多伪交换性,它在一定程度上克服了矩阵乘法的不可交换性。这使半张量积在应用上比普通乘法更方便，这些,使半张量积有了被广泛应用的可能。以下是半张量积几个应用领域。421非线性动态系统矩阵的半张量积在非线性动力系统及非线性控制系统中的应用是通过非线性函数（映射）的半张量积实现来完成的，其关键是多元多项式及其微分的半张量积表示。1多元多项式的半张量积表示定义421设为的坐标变量，我们视为一列向量，即12N,XXRX。因此，有定义的。记关于的K次齐次多项式集合为，设，T12N,XXKKNBKNF那么可表示为F421KNKMFXF1,其中，不是的一个基底，因为它包括冗余分量,将其重复分量去掉后,得到的基底记作。KXKNBKX一个次齐次多项式可表示如421式，简记为，但这里不唯一，称KXFKFXFF为对称。为转换表达式我们定义两个矩阵，使得SNNNSBKKMTT,和422KXXX,容易检验423SNBIKNT,并且是唯一的。要使唯一，我们假定每个分量在表达式中有对称KNTN,BTNKKXKBXNT,系数。考虑多项式乘法定义422设，这里，那么SKGXYFX,NRX424,KKKSKSNKSNNYXIFIGTX设，这里，那么SK,N425SKNBNBSKSKXNTGIFTXXK,下面考虑函数元矩阵的微分定义423设且其元素为。的微分记作QPXMNXR的光滑函数XM，由用元素的微分代替该元素而得到。严格地说NQPXDM426NNNNNNNXMXXMXXXXX1111111对于乘积微分有以下关系式定理424设，则NTRBA,427NTSWIXDBAXDX,这里S是的列数。XB设，则NTQPRXBA,M428XDBAXWIDXNTQ,特别地，对普通矩阵乘法有429ABXB高阶矩阵微分定义为42101,1KXADXKK利用半张量积，多元函数与一元函数有相同形式的泰勒展式定理425（泰勒展式）设为映射，则其泰勒展式为MNRFC4211KKKXDX0100以下的多元幂函数的微分公式是一个基本关系式定理426设，则NRX42120,1KXDNK这里4213KSNNSKSWI0,下面介绍2个具体的应用例子2非线性系统的稳定域考虑光滑非线性系统4214NRXF,这里是光滑向量场，利用泰勒展式，4214式可展开成XF，IIXFX10NR4215定义427设为系统4214的一个平衡点，的稳定与不稳定子流形分别定义为EXEXETNEUTSPRPXW,LIM|设为系统4214的一个稳定平衡点，的稳定域定义为SXSSTNSXXA,LI|其边界记作。SXA文献7和8证明一个稳定平衡点的稳定域边界由边界上的不稳定平衡点的稳定子流形SX合成，如果边界上的平衡点是双曲型的；SXA边界上的平衡点的稳定子流形与不稳定子流形满足横截条件；S边界上的每条轨线当时收敛于某个平衡点SXT由于边界是维的，故只需考虑型不稳定平衡点。利用泰勒展式的半张量积表示，我们1N1给出型不稳定平衡点稳定子流形的算法。1定理428设为系统4214的型平衡点，其稳定子流形可表示为0UX42160|XHEWUS这里，由以下方程唯一确定HXXHLOFT20其中是对于的李导数是对于它唯一正特征根的特征向量。XHLFF0TFJ利用半张量积，可得的二次近似如下XH定理429的稳定子流形方程，可表示为UXH4217312XOHT其中，111022TNTTCNNNCIIHIJIIJHESF记号同定理424，为的个分量的海森（HESSIAN）矩阵。将和IFFHESF,01I的泰勒展式记作XH21XXH设系数对称。即对高阶系数，我们有KNTHGKNTHNBK,定理4210设矩阵3,11KNTFIKNTICNNBDKK非奇异，则1111,KNIKNIKIBCIGI细节参见文献913进一步的应用参见文献14183非线性控制系统的对称性考虑解析系统4218MINIRXUFXF10,这里为解析向量场。设为作用于（或开集）上的一个李群。MIXFI,0,GNNM定义4211系统4218称为关于状态空间对称，如,0MIXFI这里的导出映射，它是上的微分同胚。如果（即是一般线性群NRRNGL,的子群），则称线性对称。利用半张量积可证明以下对称性定理4212系统4218关于状态空间对称，当且仅当3NRNSOG,20,01,IJJJIIIFXAXM利用半张量积的到的更多非线性系统对称性结果可见文献28,29，半张量积在非线性系统控制中还有许多其他应用。422有限集间的映射设有3个有限集，函数121212,MNSUUVVWW，满足WVF4219,IJKIJFVWJ则可表示为F,FFUVM这里NMKKNKMF,2,1,2,1称为的结构矩阵，表达式4219的优势也是在于它能够自动寻配。例如，固定，则F0UWVFU|00因为VMVFMNFF,则的结构矩阵为0F0,0WMMNFF推广到一般情况，设，0,2,1,2121NINIIWKVVKIWV1ITWVITSKTITK,2121那么KFKVMV,2121这里KKNSNSSSSM,1,21212现在如果，定义0SV0|0SV则的结构矩阵为042200,0SNVWM这时。121SSN当考虑布尔网络时，我们有4221TXTXFTXTTFTNNN,1,21这里记，则存在唯一的使得式4221可表示为一个代数差分方,21,IXIDIL程形式TLXT1当考虑布尔控制网络时，类似地，我们有4222TUTUTXTXFTXTTTTFTMNNN,1,2121PKHYKK这里记,2,MJIYUXKJID则存在唯一的使得式4222可表示为一个代数形式KPJMINY111HL4223TXTU这种代数形式成了整个基于半张量积的布尔网络控制理论基础。5结论本文主要讨论了三种矩阵特殊乘积，分别是矩阵的KRONECKER积、HADAMARD积和半张量积，整篇文章就它们各自的定义、性质、应用等方面展开研究。发现它们都克服了矩阵普通乘积行数和列数的限制。其中，KRONECKER乘积是一种重要的矩阵乘积,是工程技术中重要的数学工具，表示可以导致多种离散酉变换的有效计算机实现，并且KRONECKER积可以利用矩阵分解定义，在线性矩阵方程、微分方程的研究中都起到了一定的作用；HADAMARD乘积远比普通矩阵乘积简单，它出现在广泛而多样的方方面面之中，尤其在非线性计算和分析中具有十分重要的作用，是描述非线性数值计算问题强有力的工具；矩阵的半张量积的内涵是多线性映射的矩阵化，保持了矩阵普通乘法的所有重要性质，同时,矩阵半张量积有许多伪交换性,它在一定程度上克服了矩阵乘法的不可交换性，是处理非线性动态系统的一个有力工具，相关计算的矩阵化又使相应问题易于在计算机上解决。由于近年来多线性及非线性成为科学研究及技术开发中亟待解决的关键问题，所以已有很多学者对矩阵的特殊乘积的研究取得了大量成果，本文也是在阅读大量文献的基础上总结归纳出三种矩阵特殊乘积的定义、性质、结论等，主要研究了它们各自主要应用领域。基于对矩阵特殊乘积的研究能使我们更好的学习和掌握矩阵理论以及计算和分析多线性与非线性问题。致谢从去年的11月到今年的5月，将近6个月的精心准备，毕业论文终于将要接近尾声。同时，我的心情久久无法平静，从开始选题至今，不知道有多少可敬的师长、同学、朋友给予我帮助与鼓励。我衷心感谢在整个论文写作过程中帮助我的每一个人，感谢在大学里能遇到这么多良师益友，是他们的鼓励和帮助才使我克服各种难关，不断进步。首先，也是最主要感谢的是我的指导老师，舒伟仁老师。从开始的任务书，舒老师就细心地帮助我分析论文的写作方向，理清我的写作思路，让我有了明确的目标。之后舒老师虽身负教学、科研重任，仍抽出时间修改我的论文，不时召集我指出我存在的许多问题，细心叮嘱，殷殷之情尽在谆谆教诲中。可以说，从最初的选题到文献的搜集乃至论文的写作都投入了舒老师的大量心血，才能让我顺利完成毕业论文，特在此向舒老师表示深深的敬意和诚挚的感谢另外，我要感谢给予我关心和帮助的数学与信息工程学院的其他老师和同学，在我撰写论文的过程当中，陪同我一起寻找资料、教材，热切关心我的论文进度，并及时督促我认真扎实的完成论文写作，帮助我论文排版等等。在此向他们表示衷心地感谢，感谢他们对我的支持和帮助。还有那些未曾谋面的各位参考文献的作者，你们在文献中总结的很多经验给了我很大的帮助。最后，感谢学校对我的培养，让我掌握了更多实用的知识。由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师批评和指正。参考文献1程云鹏矩阵论M西安西北工业大学出版社,20012戴华矩阵论M北京科学出版社,20013陈公宁矩阵理论与应用M北京高等教育出版社,19904董增福矩阵分析教程M哈尔滨哈尔滨工业大学出版社,20035张贤达矩阵分析与应用M北京清华大学出版社,20046陈景良,陈向晖特殊矩阵M北京清华大学出版社,20017ZABORSZKYJG,HUANGGZHENGBETALONTHEPHASEPROTRAITSOFACLASSOFLARGENONLINEARDYNAMICSYSTEMSSUCHAST