复变函数与积分变换模拟题（开卷）

复变函数与积分变换模拟题一判断题1函数若在某点可导一定在该点解析。（）2若函数FZ在区域D内解析，则FZ在区域D内沿任意一条闭曲线C的积分为0。（）3的一阶极点。（ZSIN0是）4不同的函数经拉普拉斯变换后的像函数可能相同。（）5函数在某区域内的解析性与可导性等价。（）6若函数FZUX,YIVX,Y在区域D内解析当且仅当连续且满足柯西黎YVXU,曼方程。（）7的本性奇点。（2COS10ZZ是）8若的共轭调和函数，那么的共轭调和函数。（,YXVU是,YXUV是）二填空题11。4I2设求的虚部。,YXZ3Z32YX3。DZ|1I24的孤立奇点的类型为极点（可去奇点、极点、本性奇点）。21Z5LT23T2。S2361。31I7的收敛半径为。0NZ8函数的解析区域为。1425Z为复数ZI,29的孤立奇点的类型为本性奇点（可去奇点、极点、本性奇点）。ZE110设C为正向圆周|Z|1,则0。C2DZI1Z三计算题1分别给出的三角形式的指数形式IZ43解，,5|234ARCTN234ARCTNKAGZ因此三角形式为TSITCOSRZ指数形式为34ARTN5IE2判断下列函数在何处可导，何处解析1）；2）2IYXZF3323YXIYXZF解1）四个偏导函数均连,0,2VUVU续，但柯西黎曼方程仅在XY处成立，故函数在XY处可导，XVYXU,处处不解析4分2,6,3,3,3,2322XYUYXUYXYVXYXU显然四个偏导数处处连续且柯西黎曼方程,62V处处成立，所以函数处处可导，处处解析XVYUX,3设C为正向圆周|Z|3，计算积分I。CDZZ21解因为函数在内的奇点为,213|21Z和首先由复合闭路定理有，CZZDZDZDZI1|212212）（）（）（由柯西积分公式有IZIDZDZZIZIZZZZ541212212|21|1|1121所以1|21IDZIZZ）（）（本题也可按留数定理去做4求函数的傅里叶变换。0,TETFT解FFTJEJDTETEDTFTJJJTJ1101015求下列各函数在孤立奇点处的留数。1；2COS1Z2在Z2处的留数；33。1SINZ解1）0是的奇点，因为，故Z0为可去奇点，2COS1Z21SINLMCO1LI020ZZZ因此0,SRE2Z2）Z2是的一阶极点，故311032LIM2,EZZZS3）Z1是的本性奇点，因为在1|Z|1IN，1253211SINNZZZZ故1,INREC6求解微分方程10,SINXTTX解设LXTXS对方程两边实行拉普拉斯变换得到2S即21SXS所以，SX12122故COSINTETTX7判断函数在何处可导，何处解析22YXIYXZF解,2VYXUYXVYXYUX2,2,1四个偏导函数均连续，但要满足柯西黎曼方程XVYUXXU,21需在处成立，故函数在处可导，处处不解析Y218已知，求以VX,Y为虚部的解析函数FZ且FI1。32,XYXV解显然是调和函数因FZ解析，由柯西黎曼条件，XUYVUXYXV6,32由上面第一式得