大学数学竞赛-习题答案或提示

一、第一讲1）设是正整数，计算。P12LIMPPNN解。1102LILIPPPPPNNXDN2）设，证1111,0,22NYXAYBAXY明数列极限都存在且相等。N证明1）111212XYXYX1211NNY由单调有界准则可得，存在，设，则有LIM,LIXYLIM,LINNXAYB2AB3）求极限。221LINJJ提示1222JJNNDXDX2122201NNNJJ4）某短跑选手再一次百米赛跑时的成绩刚好是10秒，有人说此选手在比赛过程中的某个一秒钟内刚好跑了10米，这个说法正确吗说明自己的理由。提示设时间为，为从秒到秒所跑的路程，则函数是连TST109STT续函数。5）设在闭区间上连续，并有数列，使得,FXG,AB,NXAB，证明存在一点使得。112NN0,00FGX提示如果不存在一点使得，则有，或者0,XFXGX。（零点定理）无妨设，设，则在FXGFFGFX闭区间上连续，在闭区间上有,AB,AB0XM11112NNNNNNNNNFXGFXGXFGXFGX2KKK1121NKKKGXFFXGNM1LIMLINNNFX这与在闭区间有界矛盾。FX,AB二、第二讲1）求函数的阶导数。214YXN提示2113344IXIXI注意利用第二讲例2的办法。2）设在上有阶导数，且FX,AB1N，证明存在，使得0,2,KKN,AB。1NFF提示对函数在上运用罗尔中值定理。NXFXFFXFE,3）设在上有二阶导数，且存在使得F,AB0AB,CAB证明存在，使得。0C,F提示对分别在上运用拉格朗日中值定理，得到FXC使得，再对在上运用拉格12,ACB120,FFFX12,朗日中值定理即得所证结论。4）设在区间上三次可微，证明存在，使得FX,1062FFF提示利用泰勒公式可得2306FXFFXX101026FFFF2102FFFF最后利用达布定理可得所证结论。5）设函数在上是导数连续的有界函数，证明FX,1FXF1FX提示因为11FXFXXXXXEFEFEFETTTXXXDDTXEFE三、第三讲1）计算DX16提示4266611XXX2）设是上的连续函数，证明FBA,221BAADXFDXF提示设为正方形D,Y20DFXFD3）设连续，且，其中为XFDXYZFZTFF2,0，求。1,22ZTY20LIMTT提示利用柱面坐标定限2122003TTTDZZFRDFRD再利用洛比达法则即可。4）设函数具有二阶连续的导数，且，试确定函数，使TF1FXYF，其中是任意一条不与相交的简单正02LDYXFYDXFXYL向闭曲线。提示利用曲线积分与路径无关的条件可得2YYFFFXX设，则有，解此微分方程可得结果。YUXUFFU5）计算，其中为曲面DXYZDXZYDZ的外侧1XYZ提示利用高斯公式3XDZDZXYDVA再用换元法，设,UXYVWZ,14YZUVW1100136UVUVWDDD四、第四讲1）证明级数收敛并求其和。1123NN提示11232N1111342NNKKS1112422NNKKN利用斯托尔茨求极限方法，和为1。2）设是单调增加的正数列，证明级数收敛的充分必要条件是NU11NNU有界。NU提示设11NKKUS若有界，设NUNM，所以级数收敛；111122KNKUUS11NNU若级数收敛，由柯西收敛准则，对任意的正整数有11NNUP，因此对于取定的，存在正整数，当时有1LIM0PKNK120N0N1112PNPNKNPNKNUU特别的有，取，则有。00NPN001MAX2,NMNUM3）计算。10LXD提示，110LNNNXX11121200L1L,NNNXDXXD4）求级数的和。147132N提示考虑级数1324710NXX利用逐项求导求其和函数。5）证明当且仅当存在常数，使得对所有大于某个的，都有01,NCNK0KKNACA时，函数才是有理函数。0KFX提示如果函数是有理函数，设KAX010MKNBXBFXACC则有，比较系数可得，当0110KNMCC