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大学生数学竞赛训练四级数一、（20分）设2101NXF1）证明2L016FFXX2）计算10LNDX证明1）设，因为1LN1FFFX1LNNXX11LN1LNNXXXLLL0,11XX所以，当时，为常数，即有0XF2116NXF（注意这里利用了极限）211112LLNLIMNLILIMI0NLXXXX2）111022LLNLNTXTTDDTD11122222211LNLNLNNNNNTTDDT。221LL6F二、（15分）设在点的一个邻域内有连续导数，且。证明级FX00LIMXFA数收敛，但级数发散。1NF1NF证明因为，由连续性可得00LIMLIXXFF，由导数的连续性可得存在的一个邻域内,XFA0X，这就说明当充分大时，数列是递减的，并且，由0FXKN1FN1LIMNF莱布尼茨判别法可得，级数收敛；1NF由单调增可得，级数是正项级数，对函数在区间运用0,FFX1NFFX10,N拉格朗日中值定理，存在有0,10FFFFNN当充分大时有，因为级数发散，由比较判别法，级数发散。N1KFN1NK1NF三、（15分）求级数的和。123N解因为152233NN152N所以。12173312N四、（15分）设是以为周期的连续函数，是的傅里FX0,12,NABFX叶系数，证明贝塞尔不等式222011NFXD证明因为，设，则01COSIN2NAFXXB01COSIN2NKKASXB有22110NNNFSDFDFXDSD22220011NKKAFXABB以上利用了是正交系，所以1,COS,IN,COS,I,XX22201NKAFDB2222200111LIMNKNNAFXB五、（20分）已知，求与轴所围成图形的面积。203NNFXFX解2002101323NNNNNNFXXX2XE简单计算可得仅有两个解，并且当时，所以0F3,1X31X0FX所求面积为112233362XXSXEDEE六、（15分）判断级数的敛散性。1LNN解因为2211L1LNL
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