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一、（10分）计算极限。21COSLIMNK解因为，222COSSNN2222111COSCOSCSNNKKK2201LIMSINKXD由夹逼准则可得。21COLISIN1NK二、（10分）计算。3SICOCXD解原式22INX2CSSEI1INXD51SECCOS55SINSIN22XXDXX511LNSECTALSILSI5XC三、（10分）设，112,NNA1）证明极限存在；12LIMNNA2）证明级数收敛。12NNA解1）因为，设，则有2N1N由数学归纳法可得。,A由此可得12,2,N3121212NNAAA显然数列是单调递增，由单调有界准则可得12N极限。12LIMNNA2）因为，所以级数收敛12LN12LIIMKANNE12LNALILILINNNNA由比较判别法可得级数。12NN四、（10分）计算极限。322LNLIM1XXEXX解原式3222211111LIXXXXOOOXXXXEE111LIM32XOOXXX11LIM66XOX五、（15分）设在上具有连续的导数，且对于，FU0,2XYZT所围成的区域，其中，以下等式恒成立2ZTT220TDFZXYDVFDT试求。FU解设的一个原函数为FU因为222TXYZTFZXYDVFXYDZ220TZTTFRFT2TFDT所以由已知可得20TTFFFXD上式两边关于求导的3TFFT1CT六、（15分）证明不等式1132,34NN证明11111NNNNN考虑函数10,XFX因为，考虑函数2LNXF21LNGXX2112LNL,XGXX当时，且，所以当时，又因为0,0G0G0,X0GX1G所以当时，由此可得当时，是减函数。0,1X0GX0,1XFX数列是递增数列，由于时，且NN2N212340020
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