大学数学竞赛-2013年华工大学生数学竞赛试题答案

2013年华南理工大学数学竞赛试题一、（本题共5小题，每小题6分，共30分）解答下列各题（要求写出重要步骤）1）计算极限。1LIMNNE解原式11200LNLILIXXXXE200NLLIMIMXXEEX2）设，求。3210F213F解因为4FXX所以20142014201333FX201420142014X3）求直线绕直线旋转一周所得旋转面的方程。YXZYZ解在此旋转面上任取一点，则其对应的圆在平面00,X00XYZZ上，此圆与直线的交点为，其圆心为YX000,22XYZXYZ，因此有00000,333XZZ22220000069YXYXZYZ所求旋转面方程为。22Z4）计算。SIN2220CO4XXED解原式SINSIN2222000COXXXDEED设，则有SINTARCSIT上式。SIN222222000141XXTEDEDTEE5）计算。222100RZDE解设为曲面与所围成的区域，则ZXY0原式22110ZEDVED22210111002UUUEE二、（本题10分）设曲面为，是连续函数，证明2ZXYZF。32114FDSFD证明曲面与面的交线为，奇弧长元素为YOZ20ZYZ14DSZ22001414FZSFDFZDZ设，则T214T233220111TFZDZFDTFDT所以有3214FZSZF三、（10分）一质量为的高射机枪子弹，子弹出膛的速度为，已知子弹在空中运行所M0V受空气阻力与其速度的平方成正比例，比例系数为，试求其最大射高。（重力加25K速度为）G解设子弹上升的高度为（是时间），则有HT22DDHMGKTT12C11ARCTNTANKMGKHTHTCKGM由可得，此时有0HV10RTCV0TANARCTNGKKHTVMGM当子弹打到最大高度时，此时00RTHTK所以子弹所达到的最大高度为000TANARCTNHHTTGKDTVDTMKGM。0LCOSRTVK四、（12分）设是上的连续函数，且，证明FX,ABAXBMF。1LIMNANFXD证明由于是上的连续函数，所以存在有FX,B0,XAB0FXM对于任取的，由的连续性，存在区间，对任给0F,CD,CDAB的有，所以有,XCD2XM1112BDNNNACFFXMDC11BNNAFXDMBA因为，因此存在，当时有11LIM,LINNNC0NN1,2NBD11142BNNNAMMCFXDMBA1BNAFXD所以。1LIMBNANFXD五、（12分）设是区间上的连续函数，是一实数，且有F,AB1BXXFYAXDY证明。12证明两边关于积分可得BXFXFYADYAX11BBYAAADFXFDFXD设，可得UYBBYBYAAAAAFXFDFUFFX利用对称性可得212BBAAFXFXD2211BBBAAAFXDFXDFXD六、（12分）设，其中,XYZTFTZS22211,0XYXYZF求函数。FT解由已知可得平面与球面相交时，其他情形XYZT221XYZ0FT，即时，当时，。0FT3T0F3TT当时，以上曲面积分的积分区域是曲线所围成的圆盘，其半径为T22XYZT，此时有213T22124312300,13TTXYZTTRFTFZDSRD2318所求函数。230TTFT七、（14分）设是半径为的圆，CR1）此圆是否存在面积为的外切三角形，说明你的理由；232）设为此圆外切三角形的面积，试求X31FX所2,6,0YFRY围成平面图形的面积。解1）设此圆外切三角形所对圆心角分别为，则其面积2,ABC2TNTNS其中ABC设，解方程组2,TATAFRBCBC可得，此时，容易得到不存在最22SE0CABCF323SRS大值，所以的取值范围为，由于，所以此圆不存在S23,R22面积为的外切三角