大学数学竞赛-xx大学第六届高等数学竞赛(理工类)试题

大学第六届高等数学竞赛理工类试题序号姓名学院第考场专业学号考试日期2009年10月11日题号一二三四五六七八九十十一十二总分题分15156687677788100累分人签名得分注本卷共七页,十二道大题,考试时间为8301130一、单项选择题每题3分，共15分1、设,，则分别是和的（）XXF1ARCTNXG1ARCTN0FXGA可去间断点、无穷间断点B可去间断点、跳跃间断点C无穷间断点、可去间断点D跳跃间断点、无穷间断点2、设，则（）22,AYXDDXYEDYXASIN1LIM230AB不存在CD03、设，其中为可导函数，则（）XYZUYZXABC1DXY4、空间曲线上任一点处的切线（）TZYT3SINCO2A与轴成定角B与轴成定角C与平面成定角D与平面成定角ZXYOZZOX5、设级数收敛，则级数12NU1NUA可能收敛也可能发散B条件收敛C绝对收敛D发散得分评阅人二、填空题每空3分，共15分得分评阅人1、1LNLIM402XDTX2、设连续，则FDTXTF023、将化成极坐标形式的二次积分为YFDX3204、设是圆周，的方向为逆时针方向，则L42YLDYXYELX225、设，则级数的收敛半径为BA1NNBAX三、（本题满分6分）求由方程所确定的函数在内的极值，并判断是极大值还032XYXY,0是极小值得分评阅人四、（本题满分6分）设，求,XYU1ARCTNU2X五、（本题满分8分）计算曲线积分，其中是以点（1，0）为中心、为半径的圆周，LYXDI24LR,取逆时针方向,0R1得分评阅人得分评阅人六、（本题满分7分）设函数在内具有连续的导数，且满足XF,0，422TDXYFYXTFD其中是由所围成的闭区域，求当时的表达式D22Y,0F七、（本题满分6分）设，求级数的和DXAN0SI11NNA得分评阅人得分评阅人八、（本题满分7分）设在上连续且单调增加，试证对任意正数，恒有FX,0ABBBADXFDXFDXF0021九、（本题满分7分）设具有连续偏导数，由方程0确定隐函数，求VU,BZYAX,YXZ,YZBXA得分评阅人得分评阅人十、（本题满分7分）设，判别数列的敛散性NNX1212NX十一、（本题满分8分）设半径为的球面的球心在球面上，问当为何值时，R0220XYZRR球面在球面内部的那部分面积最大0得分评阅人得分评阅人十二、（本题满分8分）注科技学院考生只作第1题,其他考生只作第2题。1计算，其中曲线弧为，DSYXIL21LXY202计算曲面积分，其中是曲面3321IZXZD被平面所截出部分的上侧21YZ0得分评阅人大学第六届高等数学竞赛理工类试题答案一、单项选择题每题3分，共15分1、B2、D3、A4、A5、C二、选择题每空3分，共15分1、12、3、4、85、2XFSEC204RDFDA三、求由方程所确定的函数在内的极值，并判断是极大YXY,0值还是极小值对两边求导得，032XY230XYXY，2令得，代入原方程解得0YX1,84XY2112,0848436XYXYXY320故当时，取极大值8XY4四、设，求,XYU1ARCTNU2X,221YXY21X2XU21五、计算曲线积分，其中是以点（1，0）为中心，为半径的圆周LYXDI24LR,取逆时针方向,0R1,当时,24,YXP24YXQ0XXQYXP24当时,由格林公式知,10RD0,I当时,作足够小的椭圆曲线,从到SINCO2YXC02当充分小时,取逆时针方向,使,于是由格林公式得，0CD042CLYXD因此LYXD24YXD24D201六、设函数在内具有连续的导数，且满足XF,0，422TDXYFYXTFD其中是由所围成的闭区域，求当时的表达式D22Y,0F240TFTDRFT,34T两边对求导得T，且，34FTFT0F这是一个一阶线性微分方程，解得41TFTE七、设，求级数的和DXAN0SI11NNA令,则TXDTTN0SIN0SI2NNATD220SITD11NAN,11NKKSA1NKKLIMN八、设在上连续且单调增加，试证对任意正数，恒有FX,0ABBBADXFXFDXF0021令，FT则,0XFTFBABD0BXAFTDFXBAFF,2XD于是0011BBAAXFDFFXFXD九、设具有连续偏导数，由方程0确定隐函数，求VU,BZYAX,YXZ,YZBXA两边对求偏导得,120ZZXXAA两边对求偏导得,Y1ABYY，,12ZXAB21ZX1Y十、设，判别数列的敛散性NNX1212NX定义，令，则,0KKUX1KUX当时，,2N12NNN211N,1LIM4NU由可知收敛，从而收敛1N1NNX十一、设半径为的球面的球心在球面上，问当为何R0220XYZRR值时，球面在球面内部的那部分面积最大0由对称性可设的方程为，球面被球面所割部分的方程为22XYZRR0，2ZRR,2XY22ZRXY21ZX2球面与球面的交线在平面的投影曲线方程为，令0XOY422RXYR42RLR所求曲面面积为,222201LDZRSDXYDX2R令得驻点,0SR43RR容易判断当时，球面在球面内部的那部分面积最大0十二、（本题满分8分）注科技学院考生只作第1题,其他考生只作第2题1计算，其中曲线弧为，DSYXIL2LXY0,1X,21，221DSYXDX将1、2代入得SIL2DXX20142计算曲面积分，其中是曲面332