工科数学分析-2006+2007+2008+2009+2010+2011高数上 期末考试题目

20112012学年第一学期高等数学试卷（A卷）一填空题共6小题,每小题3分,共18分1设连续,则FX_DFXFXD2带有皮亚诺型余项的N阶麦克劳林公式为SIN_3曲线的渐近线方程为_1LN,0YXEX4设2,1,_DYA在处当时则应有5201_XDTD6设,2,1,_ABAB则二计算下列各题共4小题,每小题5分,共20分1求极限2221LIM14NNN2求极限20TALISX3求极限120LIDNNX4设函数，讨论在点处的连续性2ARCT,00,FXXFX0三解答下列各题共3小题,每小题5分,共15分1已知2SIN200COYXTDYEDTX求2设是否可导如果可I,0,0GXFFGX其中在处连续问在处导,求出_3设函数由参数方程所确定,求YXSIN1COXATY2DYX四解答下列各题共2小题,每小题5分,共10分1计算，321DX2计算SINLTA五解答下列各题共4小题,每小题5分,共20分1在下列两个积分220COS,COSXXEDED中确定哪个积分值大,并说明理由2计算212SINXDX3计算1LE4设0,SINAXAD求六解答下列各题共2小题,每小题6分,共12分1求由所围成的平面图形绕Y轴旋转一周所得旋转体2,0YXY和的体积2求心形线的全长1COSRA七证明题5分设函数在闭区间上连续,在闭区间上不变号,证明至少FXBGXAB存在一点,BAAFXDFD使得20102011学年第一学期高等数学试卷（A卷）三填空题共5小题,每小题3分,共15分1当时,是无穷小,则实数_0；AXXFLN1A2设，则；3SILNYYDDX1SINCO233设在可导，则XF0003LIMHFFH50XF4曲线的拐点为（1，0）；YL5设，则在点处取极小值XFEXFN1N1EN四计算下列各题共4小题,每小题5分,共20分1求极限121LIM22NNN解311222221LI2NLI2NN21LIM222N2求极限1ELIXX解，22LIXXXX1LNLIMP2XX1LNLIM2TTT1LNLIM20201LNIMTT21LI0TT3212ELIEX3求极限20ARCTNDLI1XT解22202RTARCT1LIMLIMLIARCTN4XXXTX4设函数，讨论在点处的连续性与可导1,0E,XFFX0性解，1100E0,LIMLIEXXXFF，由于，故在点处连10LIEXXF10FFFFX0续311000ELIMLILIMXXXXFFF，故在点处不可导2100LILIEXXXFFFF0X三解答下列各题共3小题,每小题6分,共18分1由方程确定了隐函数，求的二阶导数TANYXXY解322SEC1,CSYXYYXY33OTCOTXXY2设，其中二阶可导，且，求和,3TEFYTFXTF0F0TDXY02TDY解3310330TTTFEX302TDY2033096FTFTFTT3指出数列中最大的数，并说明理由N解设，XF12/LN1XXF故。20E当单调递增，当单调递,0XFFX,0,XFFEX减2又，因此中最大的数就是中最大的数，32E3,2N32所以中最大的数是2N四解答下列各题共4小题,每小题6分,共24分1设，求2LN,11XFDFX解2DFX1,12,LN2XDX2,ARCTN21L2XCX22142计算321DX解令，当取，当时取22TAN,SECT1X4T3XT原式423332444TDOTD2SINSIT3设，求0,10XEISN解XIBSNDLIM0311NNSISE102IN,0ISXESD21N4设,试在所决定的平面内，求一个与垂直KJIA2KJIBBA,A的单位向量解4BKJI32A48五解答下列各题共2小题,每小题6分,共12分2求心形线围成的图形面积COS1AR解4DS202D2COS1S02232求摆线的一拱与轴所围成的SIN,1COSXATYAT0TX平面图形绕旋转所得旋转体的体积2Y解4222223008COS1CSAVYXDATATD222323223300INI81COSIN74TTTATT六证明下列各题共2小题1本题6分写出拉格朗日中值定理，并给出证明写出拉格朗日中值定理2证明42本题5分设函数在上三阶可导，且和在XF,XFF有界试证和在有界,证明存在正数，使得，21,M1XF；12XF由泰勒中值定理，介于之间；3121FXFFXF1,X，介于之间；33121FXFFXF1,X相减，相加，即得和在有XFF,界12009年考试题目五填空题共5小题,每小题3分,共15分109设时,与是同阶无穷小,则_3_；0XTANEXNN209设，则；Y216Y7621X309若曲线的拐点为（1,3），则常数，；23BXAA23B9409曲线的渐近线方程为；1EY1,0XY509在处带有皮亚诺型余项的阶泰勒公式为XFLNN1132132NNXOXX六计算下列各题共4小题,每小题5分,共20分109已知，指出函数的间断点及其类型1|2XF为间断点2分1230,X2200LIM1,LIM1,XXFF_22101011LIM,LIM,XXFF3分21010LI,LI,XXXFF从而为第一类跳跃间断点，为第一类可去间断点，为第二类无穷型间断点12131分209设函数在点处可导，求的值1,ELN12XAXFXB,AB10FF从而3分212100LIMNLIE,LN0,BXXXAA1010LILIXXFFF1010LILIBXXXFFEF由可导知2分,FFF309已知，试确定常数和的值01LNARCT2LIM0CXXNC用罗比达法则2分3分,CN4094141LIM222NNN3分DX1022分6七解答下列各题共3小题,每小题6分,共18分109由方程确定了隐函数，求微分02YXYXYDY5分LNLNLN20YXDEEDXD即1分L20,1LYYYXYX209求由参数方程所确定函数的二阶导数23LNTY2DYX3分13TDXY3分T562309已知函数连续，求XFTXFTXGD02XG3分UXGD023分XXFF00四解答下列各题共4小题,每小题6分,共24分109622SINDSECTANSECDTANSECCOXXXX20916ART1令，则，当时，当时，2分XU2XU1X0U16X3U原式3分3322200ARCTND1ARCTND1分301663U30921DEX1121LIMLIARCTNELIMARCTNE4BBXBXBE409已知三点,和,计算1以,为邻边的平行四M32A0BMAB边形的面积；2求同时垂直于,的单位向量0N3分1,BAS3分0N,3五解答下列各题共2小题,每小题6分,共12分309求和围成图形的公共部分的面积SINRCOSR4分602I21DS461D2分3209求由曲线及轴所围成的平面图形绕轴旋转所成立体的体2,1EXYXY积4分21DXFV21X2分E六证明下列各题共2小题109本题6分设函数在上连续，利用定义证明函数XF,在上可导，且TFXFD0,F，2分XFXLIM0XDTFXNLIM0因为在上连续，由积分中值定理得F,，其中，2分LI0FXFXXX10再利用的连续性得F故2分LIM0XFF209本题5分设函数在上连续，且，试XF1,00D10XF1D1XF证（1）存在，使得；1,04F（2）若在上可导，则存在，使得XF1,04F（1），由积分第一中值定理的，存在XFD210XFD210，使得，故存在，使,421010FFF1,0得3分4F（2）由积分中值定理，存在，使得由拉格朗日中值定1,C0D10CFXF理，则存在，使得，由（1）知1,0FFF4F2分高等数学试卷（2008期末理工类统考时间120分钟，总分100）成绩报告表序号专业班姓名学院（系）一、填空题（共18分）1083分设，则的间断点为，它是第二类间断点21LIMNXFXF0X2083分若，则328FF283083分设可微，且，则U2SINYFXDY6SIN3SICO3XXD4083分2214XDX5、083分已知的一个原函数为，则FLNXF1X6、083分设，则1,2,12ABAB2,6二、计算下列各题（）4501、085分设，求2SINNLIMN解222LIMLILILI1NNA2、085分求极限01COSLI1XX解原式22LNCOS2000LNCOSLIMCOSLIMIL10XXXXXXE3、085分已知有一阶连续导数，且，求极限F1FF0SINLMXF解原式00SIN0SIN1L1LLN0LNXXFFXFFFF4、085分求极限1LIM2N解原式111200LILNL2NNNDX三、08解答下列各题每小题5分，共20分108已知两曲线与在点处的切线相同，求此切线方程YFX2ARCTN0XTYED0,解对22ARCTNARCTN01,XTXYED从而在点处的切线为,Y208设函数由参数方程确定，求曲线向下凸的的取值范围X329XTYX解222339,39TTDYTYXDX曲线下凸要求，即0210,1,3TTT因此对于，由于在端点连续，可取的取值范围为3,1,54XTX0,54308设具有二阶连续导数，且，若0,0FAX（1）确定，使在内连续；AFX,（2）求F解（1）连续则必有00LIMLI0XXAFF2当时0X2F而2000LIMLILIMXXXFFF01LI2X所以2,010,XXF4、08设函数由方程确定，求YX0,YXDYX解对方程两边求导书LN,LNLX两边求导书，得L1L1L,YXY四、解答下列各题每小题5分，共20分1、08计算3SECXD解原式23TANTATNSECTANSECSXXDXDX111SECSECL22XD2、08计算3240X解令，则。当时取，当时取，2SINXTCOSDT0XT1X2T原式22324001131I2TTTD3、08计算21XD解原式2222111LIMARCTNBBXXDX221LIMARCTNARCTN4BB4、08设，求1L,0XTFDFXF解对，作换元，则。当时，当时，1LNXTFD1TU2DTU1T1TXU从而2111LLNLNXXXTUF因此221111LLLLLNXXXXTTTFXFDDT另解令2LNL,0XXGFXFGG从而21LNFXFX五、08本小题10分设直线与曲线所围成的图形面积为，它们与01YA2YX1S直线所围成的面积为2S（1）试确定常数的值，使达到最小，并求出最小值；A（2）求该最小值所对应的平面图形绕X轴旋转一周所得旋转体的体积解令122312012AAFSDDX则2FAA由问题的实际意义及定义域内驻点的唯一性可知，当时达到最小，最小值为2A2136F222120130VXDXXD六、证明下列各题每小题6分，共12分081、当时，证明2XY222COSTANCOSCOSYXYXYXX证在区间上函数满足LAGERANGE定理的条件，从而存在使得,TANF,XY222TANSEC,OSCOSYXYXYXY从而22COTANC另证当时，由积分种植定理与单调性有0XY从而得证222211TAN,COSCOSCOSXYXYDTXYXY2、08设在上二阶导数连续，且，证明在上至少存在F,A00F,A一点使得3AFFXD证令，则由已知，在上三阶导数连续，在处作二阶泰0XFFTFX,A0X勒展开，有232306FFXX从而（由介值定理）123333AFFFXDFAAAF另证由已知在处作一阶泰勒展开，有0X20FFXFFX由最值定理有，由对称区间积分性质MFXM233AAFXDFXD由估值公式332222AAAMXDFXDX从而，由介值定理使232AMFXDM,A232AFFXD因此3AFFX高等数学试卷（2007期末理工类统考时间120分钟，总分100）成绩报告表序号专业班姓名学院（系）七、填空题1073分设，则ARCTN1YX0XDY42073分20LIMSIXE3073分已知的三个顶点的坐标为，则ABC1,2,0,1ABCABC24073分曲线的弧长等于21LN4YXXE4E5、073分20XED八、单项选择题1、073分设，则（D）2,FXGHXDDFHXABCD2GX22G2、073分设，则当时（B）57XF0XA与是等价无穷小量B与是同阶但非等价无穷小量FXFC是比高阶的无穷小量D是比低阶的无穷小量X3、073分设在上严格单调减少，在处有极大值，则（A）GX,FX0A在处有极小值B在处有极大值GFX0GFX0C在处有最小值D在处既无极值也无最值4、073分在下列函数中，在定义域上连续的函数是（B）ABSIN,0XF1SIN,0XFCD1,0,XF,0XEF5、073分若连续曲线与在上关于轴对称，则积分1YFX2YFX,ABX的值为（D）12BBAAFXDFXA、B、1BF2BAFXDC、D、22AXFDX0九、07解答下列各题每小题7分，共14分407设参数方程，求220LN1TUYD2YX解，221TDYXT22214YTDTTXX507求曲线在拐点处的切线方程E解，1XXYE1XXXYEE令，由于时，时，为拐点0,20202,故要求的切线为22,4YEXYEX十、解答下列各题每小题7分，共14分1、07计算定积分21LNED解原式111LNLN12LEEEXDXEXDXE2、07计算不定积分2X解令SIN,ARCSIXT则原式21COS2SIN2SINCOO421SITTTTDDC2ARCNX十一、07本小题8分确定常数的值，使函数,AB在处连续且可导,0ARCSINXEBF0X解，00LMLIARCSNXXFF00LIMLI1XXFFEB，1EB由在处连续知FX,1,1FFFB000LIMLILIMXXXFEBEF000ARCSINLILILIXXXFFAF由在处可导知F,1FF十二、07本题8分已知的一个原函数是，求FX2XEXFD解由于的一个原函数是，从而2XE221,XXFDECFE因此七、2221XXXXFDXFFFC07本题8分设在上可导，且，试证，使FX0,1120FXFD0,121FF证明由积分中值定理，1222110,FXFFFD令，则在上连续可导，且21FXFF,201FFFF由罗尔定理，使0,120,FF八、07证明方程在内有且仅有一个实根20XTD,证明设201XTF则连续且可导220011ARCTN100XXTFDDTXX，且连续可导3221ARCTNARCTN,FFX，232422310,11XFXX从而在上单调增，故当时，故而在上F0,0,XFFFX0,1单调增，因此在上若有零点则必为惟一的一个零点FX,1又1,ARCTN1081004F由闭区间上连续函数的零点定理，在上确有零点FX,因此在上确有惟一零点，也即方程在内有且仅有一个实FX,1201XTD,1根九、07已知曲线与曲线在点有公共切线，求（1）常0YAXLNYX0,Y数的值其切点；（2）两曲线与轴围成的平面图形绕轴旋转所得旋转体的体积AX解（1）对曲线，对曲线，由于在点有,2AYXLN1L,2XYY0,XY公共切线，从而20000LNL11,AAEAXX（2）由图形分析得出2222220101LNLN4EEEEXVDDDX由于从2222LNLLNLLNLNL2XXXXXC而22422100LL4EEVE高等数学试卷（2006期末理工类统考时间120分钟，总分100）成绩报告表序号专业班姓名学院（系）十三、填空题1063分函数的定义域是21ARCSIN3XYX2,402063分201COS3LIMX93063分设，则XEYY1LXE4063分设，则20AD2AXD5、063分若2,XRCSINRCSINAA十四、单项选择题1、063分极限（D）2451LIM3XXABCD不存在22、063分下列函数在上适合罗尔定理条件的是（B）F,ABCD32FX2XARCOSFXCOT2XF3、063分下列函数中哪一个不是的原函数（C）SINABCD2SIN2COS225IN4S4、063分设，则（D）1LNPXD1LQXD21,RXDABCDQRPQR5、063分设在上连续，则（A）XF,ABBAXFDA、B、BAFDC、D、对BAXFXBAFXFDX十五、每小题6分，共26分606计算极限SINCOS30LMXXE解原式SINCOSINSI0332001COSINCOSINCOS1LLLM33XXXXEXXE706设确定了是的函数，求22LI1ISNTTYY2DY解222COICOSCOSIN1,SINSINSIIN1TTTYDXTDYTDTXT22ISIS1IYDTTTDDXXXT806计算不定积分12LNX