模拟有源滤波器设计的matlab实现

（200届）本科毕业设计（论文）资料题目名称模拟有源滤波器的MATLAB实现学院（部）电气与信息工程学院专业自动化专业学生姓名班级学号指导教师姓名职称教授最终评定成绩教务处200届本科毕业设计（论文）资料第一部分毕业论文（2008届）本科生毕业设计（论文）模拟有源滤波器设计的MATLAB实现学院、系电气与信息工程学院专业自动化专业学生姓名班级学号指导教师姓名职称教授最终评定成绩2008年6月摘要本文阐述了滤波器的基本概念，介绍了模拟有源滤波器的设计原理和逼近理论。其中包括巴特沃思逼近、切比雪夫I型逼近、切比雪夫型逼近、椭圆函数逼近和贝塞尔逼近。并研究了模拟有源滤波器的设计流程及性能测试。综合了传统的硬件设计方法与软件编程技术,由MATLAB仿真出了各种滤波器逼近技术的幅频特性曲线并进行了实例分析。对巴特沃思滤波器实例的研究仿真，由程序快速的得到了最小阶数和截止频率，取代了传统繁复的计算；方便的实现了由模拟低通滤波器向高通、低通和带阻滤波器的转换；对四运放复杂电路进行了设计仿真，通过求取其不同点的输出传递函数，模拟了二阶低通、高通和带通滤波器的响应曲线。得到了较好的仿真结果。关键词模拟有源滤波器，逼近理论，最小阶数选择，MATLAB程序设计ABSTRACTTHISARTICLESHOWSDESIGNOFANALOGANDACTIVEFILTERBASEDONMATLABITSTARTSBYCOVERINGTHEFUNDAMENTALSOFFILTERSANDTHENINTRODUCESTHEDESIGNPRINCIPLEOFANALOGANDACTIVEFILTER,THECHOICEOFTHEMINIMUMORDER,THEPERFORMANCETESTINGOFTHEANALOGYFILTERANDTHETHEORYOFAPPROXIMATION,GOESONTOINTRODUCETHEBASICTYPESLIKEBUTTERWORTH,CHEBYSHEVI,CHEBYSHEV,ELLIPSEANDBESSELFILTER,ANDTHENGUIDESTHEREADERTHROUGHTHEDESIGNPROCESSFORANALOGANDACTIVEFILTERSITSYNTHESIZESTHECONVENTIONALMETHODANDMATLABPROGRAMMEANS,STUDYINGHOWTOCARRYOUTANANALOGFILTERWITHMATLABTHISTEXTINCLUDESNUMEROUSEXAMPLESOFTHEMAGNITUDECURVEWECANEASILYCARRYOUTALOWPASS,HIGHPASS,BANDPASS,BANDSTOPFILTERANDCHANGEPARAMETERSSUCHASPASSBANDRIPPLEANDSTOPBANDATTENUATIONASLONGASCHANGINGCERTAINPROGRAMITLARGELYSIMPLIFIESTHEDESIGNOFANALOGFILTERKEYWORDSANALOGANDACTIVEFILTER，THEORYOFAPPROXIMATION,THECHOICEOFTHEMINIMUMORDER，MATLABPROGRAMDESIGN目录引言1第1章滤波器的基本概念311滤波原理312滤波器的分类4第2章模拟有源滤波器的设计原理621信号无失真传输的条件622理想滤波器的特性823模拟有源滤波器传递函数设计原理9231设计步骤11232设计函数1124滤波器最小阶数选择12241最小阶数选择原理12242最小阶数选择函数1325频率变换15251低通低通变换15252低通高通变换16253低通带通变换16254低通带阻变换17255频率变换工具函数1726模拟滤波器的性能测试19第3章模拟有源滤波器的逼近理论2131巴特沃思逼近21311巴特沃思滤波器21312应用实例2332CHEBYSHEVI型逼近25321CHEBYSHEVI型滤波器26322应用实例2833CHEBYSHEVII型逼近33331CHEBYSHEVII型滤波器33332应用实例3434椭圆函数逼近36341椭圆函数滤波器36342应用实例3735贝塞尔逼近40351贝塞尔滤波器40352应用实例41第4章设计举例4341有源一阶滤波电路43411一阶滤波电路43412应用实例4442双二阶滤波电路45421双二阶电路45422应用实例4643低通和高通滤波器50431二阶低通滤波器50432二阶高通滤波器51结论53致谢54参考文献55引言滤波器作为一门学科发展至今已有八十多年的历史，早在1915年美国的CAMPBLL坎贝尔和德国的WAGNER瓦格纳各自独立地发展了无源滤波器。有源RC滤波器的研制很早就开始了，1945年BODE波特就提出了用高增益反相放大器作为有源元件与无源回路组成反馈放大器理论的基本思想。1954年LINVILL李闻用负阻抗变换器的转移阻抗综合实现了第一个有源滤波器。1955年SALLENKEY应用单放大器实现了有源RC滤波器，为使用设计开辟了新途径，1965年单片集成运放问世，为有源滤波器的迅速发展和普及提供了物质基础。70年代，由于线性集成电路工艺的发展，研制出了用于数字通讯设备系统的混合集成有源RC滤波器，1970年后，人们开始注意到运放模型的非理想特性，出现了许多有源补偿和无源补偿方法。同时，还出现了RC滤波器和有源LC滤波器，有源滤波器均已进入实用阶段，在低频领域中获得广泛应用。由于有源RC滤波器中的电阻集成需要占用较大的芯片面积。70年代末，开始研究取代电阻的方法。1977年成功地研制成采用MOS管和MOS电容组成的开关来模拟“电阻”，进而完全取代有源RC滤波器中的电阻，构成单片全集成开关电容滤波器。开关电容滤波器是由MOS开关，MOS电容和MOS运算放大器构成的一种大规模集成电路滤波器。早在1966年，就有人指出开关电容滤波网络的特性仅取决于网络中的电容比，这一点是很重要的。人们在探索处理有源RC滤波器的单片实现是发现，许多有源RC滤波器的特性取决于RC乘积。而在MOS单片处理中，很难得到精确且稳定的RC乘积。然而，在同一块硅片上实现精确且稳定的电容比是不难的。而且与有源RC滤波器相比，开关电容滤波器更易于实现单片集成，适合成批生产，这是滤波器从分立走向全集成的重大突破。然而，开关电容电路也存在很多问题，由于它具有采样数据系统性子，因而信号频率受时钟频率制约，限制了它的应用频域。80年代，当开关电容电路技术应用于高频遇到挑战后，人们又开始把注意力转向全集成连续时间电路技术，全集成连续时间滤波器的理论和设计是近代电路理论的一个重要领域，近年来，国外非常重视高频率（现可达上百MHZ）集成滤波器的研究，因为这类滤波器在视频信号处理，硬盘驱动器，电话和无线通信等方面有着广泛的应用。连续时间滤波器的最大优点是不受采样频率的制约，但能适应10MHZ以上频率的，只有GC或OTAC和电流模式滤波器，电流模式集成连续时间滤波器，由于其电路具有许多优点，已成为国际上一个广泛研究的前沿课题。目前，“瞬时缩展”技术已成为模拟集成电路设计中的新的研究领域。它是当今模拟信号处理中广泛关注的一个研究热点。当前这个技术应用的主要范围是实现具有宽动态范围（可达60分贝以上），高频率潜能（最高可达几百MHZ）和大调谐能力的连续时间全集成滤波器，在这个方法中，最突出的例子是对数域技术，它直接利用了晶体管的电流与电压的指数特性来实现输入输出线性滤波器。随着计算机软件技术的发展，各种功能强大的电子仿真软件层出不穷，其中最常用的有PROTEL、MATLAB、VC等等。我们可以用软件编程实现各种复杂的模拟滤波器的功能，然后把程序写入相应的可编程逻辑器件里面，则写入程序的IC只要配合简单的硬件电路，就可实现复杂的模拟滤波功能。因此，研究模拟滤波器的工作原理，以及在此基础上进行模拟滤波器的理论上的设计与实现的研究就变得非常重要，本文就是在这样的背景下孕育而生。本文第一章讲述了滤波器的基本概念，使得我们对滤波器的原理和滤波器的分类有了一个较为直观、清晰的了解。第二章讲解了模拟有源滤波器的设计原理，它们分别是信号无失真传输的条件、模拟有源滤波器的设计原理和步骤、滤波器的最小阶数选择原理和函数、频率变换的几种类型和典型工具函数。第三章介绍了模拟滤波器的逼近理论，其中包括巴特沃思逼近和巴特沃思滤波器、切比雪夫逼近和切比雪夫滤波器、椭圆函数逼近和椭圆函数滤波器、贝塞尔逼近和贝塞尔滤波器，同时对五种逼近技术列举了大量的应用实例加以分析探讨。第四章介绍了有源一阶和二阶电路，并列举了实例。第1章滤波器的基本概念滤波器是一种能使有用频率信号通过而同时抑制（大为衰减）无用频率信号的电子装置。工程上常用它来作信号处理、数据传送和抑制干扰等。在各种不同的应用中，改变一个信号中各频率分量的相对大小，或者全部消除某些频率分量这样一类要求常常是颇为关注的，这样一种过程称为滤波。对线性时不变系统来说，其输出信号的频谱等于输入信号频谱乘以系统的频率响应。因此，采用经过适当选定频率响应的线性时不变系统，就可方便地实现滤波。11滤波原理滤波器，顾名思义，其作用是对输入信号起到滤波的作用。对图11所示的线性时不变系统其时域输入和输出关系为NHXNY（11）图11线性时不变系统示意图若，的FOURIER变换存在，为和，则输入和输出的关系为XNYJEXJYJJJEH（12）其中为系统的频率响应。JEH图12滤波器滤波示意图再假定的FOURIER变换的振幅可用图12左图表示，系统幅频响应XNJEX可用图12中图表示，则滤波器的输出可表示为图12右图。JEHYN这样，通过系统的结果是使输出中不再含有的频率成分，XHNC而使的成分“不失真”地给以通过。因此设计出不同形状的可以得到CJEH不同的滤波结果。若滤波器的输入、输出都是离散时间信号，那么该滤波器的脉冲响应也必然HN是离散的。我们称这样的滤波器为数字滤波器（DIGITALFILTER）。当用硬件实现一个数字滤波器时，所需的元件是延迟器、乘法器和加法器。当在计算机上用软件实现时，它就是一段线性卷积的程序。我们知道模拟有源滤波器只能用硬件来实现，其元件是电阻、电容、电感及运算放大器等。如果在一级RC低通电路的输入端再加上一个电源跟随器，使之与负载很好地隔离开来，就构成了一个简单的一阶有源低通滤波电路。12滤波器的分类滤波器的种类很多，分类方法也不同。1、从功能上分低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器。2、从实现方法上分分为FIR、IIR。3、从设计方法上来分CHEBYSHEV切比雪夫），BUTTERWORTH（巴特沃斯）等。4、从处理信号分经典滤波器、现代滤波器。图13理想模拟滤波器幅频响应但总的来说，滤波器可分为两大类，即经典滤波器和现代滤波器【2】。经典滤波器从功能上总的可分为四种，即低通（LOWPASS）、高通（HIGHPASS）、带通（BANDPASS）、带阻（BANDSTOP）滤波器，当然每一种又有模拟滤波器和数字滤波器两种形式。图13和图14分别给出了模拟滤波器和数字滤波器的四种形式。图中所给的滤波器的幅频响应都是理想情况，在实际上是不可能实现的。在实际工作中，我们设计的滤波器都是在某些准则下对理想滤波器的近似，但这保证了滤波器在物理上是可实现的，且是稳定的。图14理想数字滤波器的幅频响应图13和14的理想滤波器在物理上是不可实现的。不可实现的根本原因是从一个频率带到另一个频率带之间存在突变。为了物理上可实现，我们从一个带到另一个带之间设置一个过渡带，且在通带和阻带内也不应该严格为1或0，应给以较小的容限。第2章模拟有源滤波器的设计原理一般情况下，系统的响应波形与激励波形不相同，信号在传输过程中将产生失真。线性系统引起的信号失真由两方面因素造成，一是系统对信号各频率分量幅度产生不同程度的衰减，使响应各频率分量的相对幅度产生变化，引起幅度失真。一是系统对各频率分量产生的相移不与频率成正比，使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化，引起相位失真。必须指出，线性系统的幅度失真与相位失真都不产生新的频率分量。而对于非线性系统则由于其非线性特性对于所传输信号产生非线性失真，非线性失真可能产生新的频率分量。有源滤波器实际上是一种具有特定频率响应的放大器。它是在运算放大器的基础上增加一些R、C等无源元件而构成的。滤波器也可以由无源的电抗性元件或晶体构成，称为无源滤波器或晶体滤波器。有源滤波电路通常是由运放和RC反馈网络构成的电子系统，根据幅频响应不同，可分为低通、高通、带通、带阻和全通滤波电路。高阶滤波电路一般都可由一阶和二阶有源滤波电路构成，而二阶滤波电路传递函数的基本形式是一致的，区别仅在于分子中S的阶次为0、1、2或其组合。滤波器主要用来滤除信号中无用的频率成分，例如，有一个较低频率的信号，其中包含一些较高频率成分的干扰。滤波过程如图21所示。图21滤波过程21信号无失真传输的条件所谓无失真是指响应信号与激励信号相比，只是大小与出现的时间不同，而无波形上的变化。设激励信号为，响应信号为，无失真传输的条件是ETRT0TKETR（21）式中是一常数，为滞后时间。满足此条件时，波形是波形经时间K0TRTT0T的滞后，虽然，幅度方面由系数倍的变化，但波形形状不变。K为了满足式21，实现无失真传输，对系统函数应提出以下要求JH设与的傅立叶变换式分别为与。借助傅立叶变换的延时定TREJRE理，从式21可以写出0TJEKJ（22）此外还有JEHJR（23）所以，为满足无失真传输应有0TJKEJ（24）式24就式对于系统的频率响应特性提出的无失真传输条件。欲使信号在通过线性系统使不产生任何失真，必须在信号的全部频带内，要求系统频率响应的幅度特性是一常数，相位特性是一通过原点的直线。从物理概念上的直观解释就是，由于系统函数的幅度为一常数，响应JHK中各频率分量幅度的相对大小将与激励信号的情况一样，因而没有幅度失真。要保证没有相位失真，必须使响应中各频率分量与激励中各对应分量之后同样的时间，这一要求反映到相位特性上就是一条通过原点的直线，即信号通过线性系统是谐波的相移必须与其频率成正比，写作0T（25）显然，信号通过系统的延迟时间即为相位特性的斜率0T0TD（26）由此，我们得到对于传输系统相位移的另一种描述方法“群时延”（或称群延时）GROUPDELAY【1】。群延时的定义为D（27）也即，群延时定义为系统相频特性对频率的导数并取负号。在满足信号传输不产生相位失真的条件下，其群延时特性应为一常数。对于实际的传输系统为负值，因而为正值。通常利用与之比D（当足够小）近似计算或测量值。与直接用描述相位特性相比较，用群延时间表达相位特性的好处是便于实际测量，而且有助于理解调幅波传输过程的波形变化。由以上分析，我们总结到，所谓信号无失真传输是指输入信号通过系统后，输出信号的幅值和输入信号的幅值成正比。允许有一定的延时，但没有波形上的畸变。因此，系统的频率响应满足下面的特性HJ28DTJHK式中、均为常数。K0T即信号无失真传输的条件是系统的幅频响应|应为常数，相频响应J应与频率成正比。或者说，滤波器应具有无限宽的定值幅频与线性相频。JH对于信号无失真传输，为常数，即群延迟为常数；否则它是频率的非线性函0T数。22理想滤波器的特性滤波器是一个选频装置。所谓“理想滤波器”就是将滤波网络的某些特性理想化而定义的滤波网络。理想滤波器应能无失真地传输有用信号，而又能完全抑制无用信号。有用信号和无用信号往往占有不同的频带。信号能通过滤波器的频带称为通带PASSBAND。信号被抑制的频带称为阻带（STOPBAND）3。理想滤波器频率特性可写为29在阻带内，在通带内0,DTJKEJH理想滤波器是物理不可实现系统。实际滤波器的频率特性只能“逼近”理想滤波器。图22为低通滤波器的幅频特性示意图。图22低通滤波器的幅频特性示意图可见，滤波器的幅频响应在通带内不是完全平直的，而是呈波纹变化；在阻带内，幅频特性也不为零，而是衰减至某个值；在通带和阻带之间存在一个过渡带，而不是突然下降。通常，实际设计要求滤波器的技术指标包括通带波纹PASSBANDPRRIPPLEDB、阻带的最小衰减系数STOPBANDATTENUATIONDB、通带边SSR界频率、阻带边界频率、过渡带宽。PSPS滤波器的通带波纹RP为相对于频率响应最大点（一般为1）的下降，因此下降越少说明通带越平直，滤波器的滤波效果越好（通常为15DB）。滤波器的阻带衰减RS也是相对于频率响应最大点（一般为1）的下降，因此下降越多说明信号在阻带内越不容易通过，因此滤波效果越好通常要大于15DB。过渡带宽越窄，滤波器的频率特性越接近于直角矩形特性，滤波效果也越好。应该指出的是，图22给出的是低通滤波器的情况，对于高通、带通、带阻具有相同的参数。23模拟有源滤波器传递函数设计原理模拟有源滤波器的设计理论通常在LAPLACE域内进行讨论。模拟有源滤波器的技术指标可由平方幅值响应函数形式给出，以模拟低通滤波器为例，22JHA对于单调下降的幅度特性通带波纹、阻带最小衰减系数可表示成PRSR20LG1PPJHR（210）20LG1SSJ（211）如果处幅值已归一化到1，即，和表示为00JHPRS2LG1PPJ（212）2L0SSJR（213）以上技术指标可用图23表示。图23低通滤波器的幅度特性图中称为截止频率，因，。CDB321CJHDBJHC3LG0滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数，希望滤波器幅度平方S函数满足给定的指标和，而和传递函数HS存在下面关系PRS2J214JSHA|2即215|2SS当给定模拟滤波器的技术指标后，由求出，再适当地分22JA2AS配零极点可求出。为了使滤波器稳定HS的极点必须落在平面左半平面，这HS是因为对于一个滤波器的极点P，就可以写成的形式，其逆LAPLACE变换（对PS1应于时间域）为，若，则随着时间增大至无穷，该滤波器的输出将出现不稳PTE0定。滤波器的零点选择可任取的一半零点，这是因为滤波器对LAPLACE域表2AS示的传递函数并无特殊要求，但如果要求具有最小相位，零点也必须选择在左HSS半平面。231设计步骤用户对设计的滤波器提出设计要求，我们可以针对滤波器的设计要求设计滤波器。通常用户对模拟滤波器提出的要求有（1）滤波器的性能指标，包括截止频率对于低通和高通或上下边界频率、01，通带波纹、阻带衰减等；2（2）滤波器的类型，通常为BUTTERWORTH，CHEBYSHEVI，CHEBYSHEVII，ELLIPTIC或BESSEL滤波器。我们根据滤波器的类型通常按下列步骤设计滤波器给定模拟滤波器的性能指标，如截止频率对于低通和高通或上下边界0频率、；通带波纹、阻带衰减以及滤波器类型等（用户给定）。12确定滤波器阶数。设计模拟低通原型滤波器。MATLAB信号处理工具箱的滤波器原型设计函数有BUTTERAP，CHEB1AP，CHEB2AP，ELLIPAP，BESSELAP。按频率变换设计模拟滤波器（低通、高通、带通、带阻）。MATLAB信号处理工具箱的频率变换函数有LP2LP，LP2HP，LP2BP，LP2BS。232设计函数上面滤波器的设计步骤比较麻烦，根据设计要求求解滤波器的最小阶数和边界频率之后需要设计模拟原型滤波器并进行频率转换。其实MATLAB将这一系列的过程组合成了更为方便的设计函数BUTTER，CHEBY1，CHEBY2，ELLIP，BESSELF。这些函数称为模拟滤波器完全设计函数。用户在求得滤波器的最小阶数和截止频率之后只需调用一次完全设计函数就可以自动完成所有设计过程，编程十分简单。这种方法的程序如下B，ABUTTERN，WN，FTYPE，SZ，P，KBUTTERN，WN，FTYPE，SB，ACHEBY1N，RP，WN，FTYPE，SZ，P，KCHEBY1N，RP，WN，FTYPE，SB，ACHEBY2N，RS，WN，FTYPE，SZ，P，KCHEBY2N，RS，WN，FTYPE，SB，AELLIPN，RP，RS，WN，FTYPE，SZ，P，KCHEBY2N，RP，RS，WN，FTYPE，SB，ABESSELFN，WN，FTYPE，SZ，P，KBESSELFN，WN，FTYPE，S在上面的调用方式中，N为滤波器的阶数，WN为滤波器的截止频率，单位RAD/S（WN0）；S为模拟滤波器，缺省时为数字滤波。FTYPE滤波器的类型可取为HIGH高通滤波器，截止频率为WN。STOP带阻滤波器，截止频率为WNW1，W2W1W2。FTYPE缺省时为低通或带通滤波器。当设计带通滤波器时，截止频率也为WNW1，W2W1W2。A，B分别为滤波器的传递函数分子和分母多项式系数向量；Z，P，K分别为滤波器的零点、极点和增益。RP，RS分别为所设计滤波器的通带波纹和阻带衰减，单位为DB。滤波器的传递函数具有下面的形式2161211NASABBSABHNN若滤波器为带通或带阻型，则滤波器的阶数为2N，否则阶数为N。24滤波器最小阶数选择241最小阶数选择原理众所周知,滤波器的阶数越小，其所需要的计算量越少，需要的设备越简单，所需运算时间也越少。但是阶数越少,滤波器的滤波效果就越差，误差越高。因此合理选择滤波器的阶数是滤波器设计中的一个重要问题。以BUTTERWORTH低通模拟滤波器为例模拟低通滤波器的设计指标为通带边界频率，阻带边界频率，通带波纹PSRPDB、阻带衰减RSDB。当时P217220LG11JHRJHP以截止频率（幅值下降3DB）为1，化为相对的相对频率，则上式可CCC写成218NCPR21LG20同理，当时，S220LGJHJHSRS219NSS21LG综合上面两式可得220SPRRSPNLG210L1N应向上取整。则N为该滤波器的最小阶数【4】。表示为C221NRPC210或222NRSC210242最小阶数选择函数上面给出了BUTTERWORTH滤波器的最小阶数和截止频率的选择公式及程序。其实MATLAB工具箱中运用滤波器的最小阶数选择公式给出了滤波器最小阶数选择函数。几种滤波器的设计函数如下N，WCBUTTORDWP，WS，RP，RS，SBUTTERWORTH滤波器N，WCCHEB1ORDWP，WS，RP，RS，SCHEBYSHEVI滤波器N，WCCHEB2ORDWP，WS，RP，RS，SCHEBYSHEVII滤波器N，WCELLIPORDWP，WS，RP，RS，SELLIPTIC滤波器其中，WP为通带边界频率，WS为阻带边界频率，单位为RAD/S。RP，RS分别为通带波纹和阻带衰减，单位为DB。分别表示通带内的最大允许幅值损失和阻带下降的分贝数。S表示模拟滤波器（缺省时，该函数适用于数字滤波器）；函数返回值N为模拟滤波器的最小阶数；WC为模拟滤波器的截止频率，单位为RAD/S。这四个函数适用于低通、高通、带通、带阻滤波器。若WPWS时为对于高通模拟滤波器，对于带通和带阻滤波器存在两个过渡带，WP和WS均应该为含有两个元素的向量，分别表示两个过渡带的边界频率。即WP通带下界频率，通带上界频率，WS阻带下界频率，阻带上界频率。对于带通滤波器，这四个频带界线的大小排列为阻带下界频率通带下界频率通带上界频率阻带上界频率；对于带阻滤波器，这四个频带界线的大小排列为通带下界频率阻带下界频率阻带上界频率通带上界频率。这时返回值WC包括两个元素（第一个元素小于第二个元素），分别为通带和阻带之间的界线频率。函数自动判断是带通还是带阻滤波器。例21设计一个模拟BUTTERWORTH滤波器，边界频率为100HZ和150HZ，通带波纹不大于2DB,阻带衰减不小于30DB。试确定最小阶数N和截止频率。SAMPLE21WP200PIWS300PIRP2RS30滤波器的通带阻带边界频率、通带波纹和阻带衰减NCEILLOG1010RP/101/10RS/101/2LOG10WP/WSWCPWP/10RP/1011/2NWCSWS/10RS/1011/2N程序的输出为N10WCP6453957WCS6672566程序输出的两个截止频率分别为运用通带波纹和阻带衰减得到的。为使信号保留较多的有用信息，对于低通滤波器可选用较大的截止频率，即6672566。例22设计一个模拟低通CHEBYSHEVI滤波器，边界频率为500HZ和750HZ，通带波纹不大于2DB,阻带衰减不小于30DB。试确定最小阶数N。SAMPLE22WP1000PIWS1500PIRP2RS30滤波器的通带阻带边界频率、通带波纹和阻带衰减NCEILLOG1010RP/101/10RS/101/2LOG10WP/WS程序的输出为N1025频率变换前面所讲的模拟原型滤波器均是截止频率为1的滤波器，在实际设计中是很难遇到的，然而它是设计其他各类滤波器的基础。我们通常遇到的是截止频率任意的低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器。所谓频率变换【5】是指各类滤波器（低通、高通、带通、带阻）和低通滤波器原型的传递函数中频率自变量之间的变换关系。通过频率变换，我们可以从模拟低通滤波器原型获得模拟的低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器。251低通低通变换这个过程有时也称为“频率标尺变换【6】”或“频率反归一化【6】”。其目的在于把用推导出的传递函数变成实际通带为时的传递函数。PSHNPSH实际频率与归一化频率之间的关系为，而现在故有00P0，这样，只需将归一化幅频特性（见图24（A）中各相应的频率坐标都乘P以即得到实际频率的幅频响应（见图24（B）图24频率标尺变换幅频特性图对于传递函数，也只需将归一化的传递函数中的替代，即得到NSHPS用实际频率的传递函数SH252低通高通变换理想低通和理想高通滤波器的幅值特性如图25（A）、（B）所示。将两者的特性相比较后可看出，低通的零点应变为高通的无限远点；而低通的无限远点应变换为高通的零点，并且在1处，两者都不变。可用下面的变换式完成HPLS1（223）图25低通高通变换幅值特性图同时，我们得到，对于已确定的低通电路，当作低通高通变换时，电路的结构不变，只需将低通电路的电感换成电容，低通电路的电容换成电感，电阻保持不变。253低通带通变换图26低通带通变换图由图26可以看出，这种变换是要求把低通特性如（A）图能分别移到两边，变换带通特性如（B）图，这个变换可以用下式完成BPLPSS20（224）式中）带宽（通带几何中心频率；12210254低通带阻变换图27（A）、（B）分别表示低通和带阻的特性。将带阻特性与图317带阻特性比较后，带通和带阻的关系与低通和高通完全相相似。在低通高通变换中，类比后可知,因此变换式推论为225HPLS1BRPS1式中）阻带带宽（阻带几何中心频率；122102252020BRPBLPSS图27低通带阻变换图255频率变换工具函数MATLAB信号处理工具箱有LP2LP，LP2HP，LP2BP，LP2BS四个频率变换函数。下面分别叙述其使用方法及各参量的意义。1函数LP2LP用于实现由低通模拟原型滤波器至低通滤波器的频率变换，调用格式为BT，ATLP2LPB，A，0其中，A，B为模拟原型滤波器的分母和分子多项式的系数，为低通滤波器所0期望的截止频率RAD/S，若给定的单位为HZ，应乘以2。BT，AT为返回的低通滤波器的分母和分子多项式的系数。该函数将模拟原型滤波器传递函数执行下面变换226SPHS0式中，HP为低通原型滤波器传递函数，HS为低通滤波器传递函数。该项操作可以执行模拟原型滤波器由截止频率为1到指定截止频率的变换，其原理讨论以超出本课程的范围，可参看其他信号处理参考书。下面的例子说明如何进行模拟原型低通滤波器变换为截止频率不为1的模拟低通滤波器。2函数LP2HP用于实现由低通模拟滤波器至高通滤波器的频率变换。调用格式BT，ATLP2HPB，A，0式中，为高通模拟滤波器所期望的截止频率（RAD/S），若给定的频率单位为0HZ，应乘以2。该函数将模拟原型滤波器传递函数执行下面变换227SPHS03函数LP2BP用于实现由低通模拟原型滤波器至带通滤波器的频率变换。调用格式BT，ATLP2BPB，A，BW0式中，为带通滤波器的中心频率RAD/S，BW为带通滤波器带宽RAD/S。而022812210,WB式中，为带通滤波器的下边界频率，为带通滤波器上边界频率。若给定的1边界频率为HZ需乘以2。该函数将模拟原型滤波器传递函数执行下面变换运算229021SBPWHS4函数LP2BS用于实现由低通模拟原型滤波器至带阻滤波器的频率变换。调用格式BT，ATLP2BSB，A，BW0式中，为带阻滤波器的中心频率RAD/S，为带阻滤波器带宽RAD/S。而0B23012210,式中，为带阻滤波器的下边界频率，为带阻滤波器上边界频率。若给定的1边界频率为HZ需乘以2。该函数将模拟原型滤波器传递函数执行下面变换运算2311200SBPWHS注意输出的带阻滤波器和带通滤波器是滤波器原型阶数的2倍。26模拟滤波器的性能测试滤波器设计好之后，一般要进行各方面的测试。在正式设计滤波器之前，我们先介绍如何测试滤波器的性能。对于模拟滤波器，我们已采用函数FREQS来求模拟滤波器的频率响应，这里我们详细介绍该函数，若其调用格式为H，WFREQSB，A，N式中，B，A分别为模拟滤波器传递函数分子和分母多项式系数；H为对应频率点的传递函数值。上面的表示中，W和，N表示可有可无的参数，本书中的该类均为可有可无的参数。它们表示为W为频率点的值，为可选项。N为频率点数，为可选项，由用户根据需要确定。若N128，则用128个频率点来给出此模拟滤波器的频率特性（给定频率点的传递函数值），缺省时为200。若该函数不写输出变量，则执行后绘出该滤波器的幅频响应和相位响应图。此函数模拟滤波器的传递函数形式为2321211NASABBSABHNNMATLAB工具箱还提供了两个函数ABS和ANGLE，由频率响应求幅频响应JEH和相频响应。其中ANGLE的输出单位为RAD。可采用RAD2DEG函数转JEHJEH化为度。另外注意函数的幅频响应经常用分贝DB来表示。求出的幅频响应通过下式转换为分贝DB。JJEH10LOG2我们知道，除了用传递函数描述滤波器特性外，还可用脉冲冲激响应来描述滤波器，因为在模拟滤波器中，脉冲响应与传递函数是LAPLACE变换对。此外还可以用阶跃响应（输入一个阶跃时系统的输出）来描述滤波器特性。下面我们介绍在MATLAB中如何得到模拟滤波器的脉冲响应和阶跃响应。将滤波器的传递函数表示成分子和分母多项式系数的形式，如分子和分母多项式的系数为B，A，则在MATLAB中用HTFB，A来表示此模拟滤波器，采用Y，TIMPULSEH给出该系统的模拟脉冲响应。采用Y，TSTEPH来得到该系统的阶跃响应。这两个函数与FREQS一样，若没有输出则程序自动绘图模拟该滤波器的脉冲响应和阶跃响应。第3章模拟有源滤波器的逼近理论31巴特沃思逼近311巴特沃思滤波器BUTTERWORTH模拟有源低通滤波器的平方幅频响应函数为31NCAJH2221式中，为低通滤波器的截止频率（CUTOFFFREQUENCY），N为滤波器的阶数。C由式可知当时，；0J时，是截止频率；C21JHCDB3当时，随加大，幅度迅速下降，下降速度与阶数N有关，N越大，幅度C下降的速度越快，过渡带越窄。幅度特性和N的关系如图31图31BUTTERWORTH幅度特性和N的关系将振幅平方函数写成的函数2JHS32NCJSSH21此式表明幅度平方函数有个极点，极点用下式表示2NKS332121NJCKEJS式中，个极点等间隔分布在半径为的圆上（该圆称为巴0,12KC特沃斯圆），间隔是/。NRADBUTTERWORTH滤波器的特点通带内具有最平坦的频率特性，且随着频率增大平滑单调下降；阶数N越高，特性越接近矩形，过渡带越窄。传递函数无零点，极点等距离分布在以为半径的圆周上。CS这里的特性接近矩形，是指通带频率响应段与过渡带频率响应段的夹角接近直角，通常该角为钝角。如果该角为直角，则为理想滤波器。所谓滤波器的零点就是将该点的值代入传递函数后，传递函数的值为零。所谓函数的极点就是将该点的值代入传递函数后，传递函数的值为无穷大。滤波器的增益是指传递函数表达式前的系数。若系统的传递函数表示为3421NPSPSZZKSPZH则滤波器零点为Z1，Z2，ZNZ，极点为P1，P2，PNP，滤波器的增益为K。MATLAB信号处理工具箱提供BUTTERWORTH模拟低通滤波器原型设计函数BUTTAP，函数调用形式为35,ZPKBUTAN式中，为BUTTERWORTH滤波器阶数；分别为滤波器的零点、极点和增益。N,ZBUTTERWORTH滤波器传递函数具有下面的形式3621NPSSPKSPZH滤波器没有零点，极点为P1，P2，PN，滤波器的增益为K。在有关模拟滤波器设计的MATLAB程序中，经常遇到一些特定函数。371211NASABBSXYHNN为将模拟原型滤波器函数（如BUTTAP）设计出的零点，极,2,BAZPTFKZ点和增益形式转换为传递函数（TRANSFERFUNCTION）形式；其中，为滤波器B传递函数分子多项式系数，为滤波器传递函数分母多项式系数，如式37所示。A称为连续时间系统传递函数（或称系统函数）。HS求出传递函数形式（分子和分母多项式的系数为，）表,WFREQSBWBA示的滤波器的对应于频率点的复数频率响应H（包括实部和虚部），这里W为一个矢量，表示对应的角频率。若该函数不写输出变量，则执行后绘出该滤波器的幅频响应和相频响应图。312应用实例例31为模拟带通滤波器，我们将设计指标改为通带频率10002000HZ，两侧过渡带宽500HZ，通带波纹1DB，阻带衰减100DB。检验信号，其中TFTFTFTX321SIN50COS502SINF1100HZ，F21500HZ，F32900HZ。信号的采样频率为10000HZ。由此只需改变程序如下SAMPLE31WP100020002PIWS50025002PIRP1RS100LINSPACE1,3000,10002PITITLEBUTTERWORTHANALOGBANDPASSFILTERPLOT500500,YLIMPLOT25002500,YLIM并增加程序如下FIGURE2DT1/10000模拟信号采样间隔F1100F21500F32900输入信号的三个频率成分XSIN2PIF1T05COS2PIF2T05SIN2PIF3T输入信号HTFB,A滤波器在MATLAB系统中的表示Y,T1LSIMH,X,T模拟输出SUBPLOT2,1,1,PLOTT,X,TITLEINPUTSIGNAL绘出输入信号SUBPLOT2,1,2,PLOTT1,Y绘制输出信号TITLEOUTPUTSIGNAL,XLABELTIME/S运行程序其输出图形为05001000150020002500300016001400120010008006004002000200FREQUENCY/HZMAGNITUDE/DBBUTTERWORTHANALOGBANDPASSFILTER图32例31设计的模拟滤波器幅频响应，两条竖线表示阻带边界由上图可见，滤波器的幅频响应完全符合要求。在阻带边界确实下降到100DB。2900HZ和100HZ的频率均在阻带内，只有1000HZ的频率在通带内。图33例31中滤波器的输入信号和输出信号由上图可见，通过模拟系统后，2900HZ的高频成分和100HZ的低频成分被滤除了，输出只含有1500HZ频率成分的振动。例32将6阶BUTTERWORTH原型滤波器变换为模拟带阻滤波器，其中上边界频率为07RAD/S，下边界频率为15RAD/S。SAMPLE32Z,P,KBUTTAP6设计阶数为6的BUTTERWORTH模拟原型滤波器B,AZP2TFZ,P,K将零点极点增益形式转换为传递函数形式H,WFREQSB,A,00012计算指定频率点的复数频率响应SUBPLOT2,1,1,PLOTW,ABSH2绘制平方幅频响应XLABELW/WCYLABELBUTTERWORTH|HJW|2TITLEPROTOTYPEBUTTERWORTHIIFILTERWITHWC1W107W215带阻滤波器的下限及上限频率W0SQRTW1W2BWW2W1计算中心点频率和阻带宽度BT,ATLP2BSB,A,W0,BW频率转换HT,WTFREQSBT,AT,00012计算带阻滤波器指定点的复数频率响应SUBPLOT2,1,2,PLOTWT,ABSHT2绘制平方幅频响应XLABELW/WCYLABELBUTTERWORTH|HJW|2TITLEBUTTERWORTHFILTERWITHWC07,15USINGFREQUENCYTRANSFER程序运行结果为图310。可见，该程序实现了由低通原型滤波器到带阻滤波器之间的转换，并且频带参数与所要求的完全一致。图34将6阶BUTTERWORTH原型滤波器变换为模拟带阻滤波器的结果图32CHEBYSHEVI型逼近321CHEBYSHEVI型滤波器CHEBVSHEVI型模拟低通滤波器的平方幅值响应函数为38CNCAJH2221式中，为小于1的正数，表示通带内的幅值波纹情况；为截止频率，C/，称为的归一化频率，N为CHEBYSHEV多项式阶数，CC图35分别画出了阶数为奇数与偶数时的切比雪夫I型滤波器幅频特性（A）N为奇数的情况（B）N为偶数的情况图35切比雪夫I型滤波器幅频特性为CHEBYSHEV多项式，定义为CNC391COSH1XNXCN当时，；当时，；当时，；010X1212XC当N3时，。XX343由此可归纳处高阶切比雪夫多项式的递推公式为211XXCNN（310）图36示出了阶数时的切比雪夫多项式特性0,45N图36时的切比雪夫多项式曲线0,45N由图可见（1）切比雪夫多项式过零点在的范围内；1X（2）当时，在范围内具有等波纹性；1XCN（3）当时，双曲线函数，随X单调上升。X这样，当时，在0至之间波动，函数1的值在1与X2N22XCN1之间波动。1的导数即是幅度平方函数。那么在上有不波22XCAP,0动，最大值为1，最小值为1/1。当时，随加大，很快接近于2P20。图37分别画出了切比雪夫I型和巴特沃斯低通滤波器的幅频特性，清楚地表明切比雪夫滤波器比巴特沃思滤波器有较窄的过渡特性。CHEBYSHEVI型滤波器特点是通带内具有等波纹起伏特性，而在阻带内则单调下降，且具有更大衰减特性；阶数愈高，特性愈接近矩形。传递函数没有零点，极点分布在椭圆上4。图37比雪夫I型与巴特沃思低通的曲线2AMATLAB信号处理工具箱函数CHEB1AP设计N阶CHEBYSHEVI型模拟低通滤波器原型。因为CHEBYSHEVI型模拟原型滤波器通带内具有波纹特点，所以在调用时需增加通带波纹所能下降的最低限度RP（DB）。由于RP为相对于增益1的下降分贝数，所以该值越小滤波器在通带内越接近1，滤波器的性能越好，通常取值范围为15（DB）。此函数的调用格式为Z，P，KCHEB1APN，RP式中，为滤波器的阶数，为通带波纹，单位为DB，分别为滤波器的NPR,ZPK零点、极点和增益。322应用实例例33设计带通CHEBYSHEVI型模拟滤波器WS103PIRAD/SWS208PIRAD/SRS50DBWP105PIRAD/SWP207PIRAD/SRP2DB。SAMPLE34WP0507PI给出滤波器的通带边界频率，用弧度表示WS0308PI给出滤波器的阻带边界频率，用弧度表示RP2RS50给出滤波器的通带波纹和阻带衰减N,WNCHEB1ORDWP,WS,RP,RS,S根据滤波器要求求滤波器的最小阶数Z,P,KCHEB1APN,RP用求得滤波器最小阶数设计CHEBYSHEVI滤波器B,AZP2TFZ,P,K将零点极点增益形式转换为传递函数形式WOSQRTWN1WN2计算中心点频率BWWN2WN1计算频带宽度BT,ATLP2BPB,A,WO,BW模拟原型低通滤波器转换为带通滤波器H,WFREQSBT,AT,128计算滤波器的复数频率响应PLOTW/PI,20LOG10ABSH绘制滤波器的振幅响应XLABELANGULARFREQUENCY/PIYLABEL|HJW|/DBGRIDONHOLDONPLOT0202,YLIMPLOT0808,YLIM绘阻带界限以显示阻带衰减PLOT0404,YLIMPLOT0808,YLIM绘通带界限以显示衰减运行程序及输出见图38。可以看到，设计的滤波器的通带范围确实为05PI07PI，并且在阻带边界处下降分贝数大于50DB，满足了用户的设计要求。程序中YLIM函数是提取现行坐标轴Y轴的下限和上限。程序用它绘出了阻带边界。图38例33设计的CHEBYSHEVI型带通滤波器的幅频响应例34设计一个CHEBYSHEVI型模拟带阻滤波器，设计指标为通带频率10002000HZ，两侧过渡带宽500HZ，通带波纹1DB，阻带衰减大于50DB。SAMPLE34WS100020002PIWP50025002PIRP1RS50滤波器设计参数，乘以2转换为弧度/SN,WNCHEB1ORDWP,WS,RP,RS,S求模拟滤波器的最小阶数和截止频率WLINSPACE1,3000,10002PI设置计算复数频率响应的频率点B,ACHEBY1N,RP,WN,STOP,S设计带阻滤波器HFREQSB,A,W计算给定频率点的复数频率响应MAGHABSHPHAHUNWRAPANGLEH求滤波器的幅频响应和相频响应PLOTW/2PI,20LOG10MAGH以频率为横轴绘制幅频响应XLABELFREQUENCY/HZYLABELMAGNITUDE/DBTITLEBUTTERWORTHANALOGBANDSTOPFILTERHOLDONPLOT10001000,YLIMPLOT20002000,YLIM绘阻带边界GRIDON程序的输