热力学统计物理-热力学与统计物理答案

第一章热力学的基本规律习题11试求理想气体的体胀系数,压强系数和等温压缩系数。T解由得NRTPVVNRTPV所以,11TV/PNRTP/12习题12试证明任何一种具有两个独立参量的物质,其物态方程可由实验P测得的体胀系数及等温压缩系数,根据下述积分求得T如果,试求物态方程。LNDPTV1TP解因为,所以,我们可写成,由此,0,FV,因为DPTVDTPTTPPV1,1所以,DTV,所以,当DPVTLNP/1,/C,L得到习题13测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为和15084K，可近似看作常量，今使铜块加热至10C。问（1压1708NTPT,强要增加多少才能使铜块体积不变（2若压强增加100，铜块的体积改NP多少解分别设为，由定义得VXN74410810851085VT所以，7,62PXN习题14描述金属丝的几何参量是长度，力学参量是张力，物态方程是L实验通常在下进行，其体积变化可忽略。线胀系数定义为0,TLFNP1等杨氏摸量定义为其中是金属丝的截面积，一般说1TLAY来，和是的函数，对仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范不大，可Y看作常数。假设金属丝两端固定。试证明，当温度由降2T时，其张力的增加1为12TA解,0,LTF所以，DTDL因AYLTT1DTAYDTAYDL,0所以所以,12习题17在下，压强在0至1000之间，测得水的体积C25NP如果保持温度不变，将1326314170618MOLCPV1MOL的水从1加压至1000，求外界所做的功。NN解外界对水做功JDPPDPWNNP13310641075068813习题18解外界所作的功LDJW0DLBTL020LBT02008BT560TL习题110抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体充入。当压强达到外界压强P0时将活门关上。试证明小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能与原来大气中的之差为，其中是它原来在大气中U0U0VP0的体积。若气体是理想气体，求它的温度和体积。解假设先前的气体状态是（P0，DV0,T0）内能是U0，当把这些气体充入一个盒子时，状态为（P0,DV,T）这时的内能为U，压缩气体所做的功为,依绝热过程的热力学第一定律，得0DVP000DVPU积分得0VPU对于理想气体，上式变为1VRTVCV故有0所以01CTVP对于等压过程0101习题115热泵的作用是通过一个循环过程将热量从温度较低的环境传送扫温度较高的物体上去。如果以理想气体的逆卡诺循环作为热泵的循环过程，热泵的效率可以定义为传送到高温物体的热量与外界所作的功的比值。试求热泵的效率。如果将功直接转化为热量而令高温物体吸收，则“效率”为何解AB等温过程BAVRTMQLN11BC绝热过程CD等温吸热CDVRTMQLN22DA绝热，21ACDBAVRTMTLNLNL21由绝热过程泊松方程；21RCRBV112RAR；DACDB212121TTT将功A直接转化为热量，令高温物体吸收。有AQ1。1QAQ习题116假设理想气体的CP和CV之比是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T和V的关系。该关系试中要用到一个函数FT，其表达式为TDF1LN解准静态绝热过程中，10DQPVU对于理想气体，由焦耳定律知内能的全微分为2DTCV物态方程3VNRPP2，3代入1得（其中）DVN1DTTNRTCD1关系式DVT1LN1为T的函数V1为T的函数。VTF1。1VTF第二章均匀物质的热力学性质习题21温度维持为25,压强在0至1000PN之间，测得水的实验数据如下（）P4510314106PCM3MOL1K1TV若在25的恒温下将水从1PN加压到1000PN,求水的熵增和从外界吸收的热量。解利用麦氏关系求熵增S从PTS而,0572JMOL1K1157JMOL1QTSQ习题22已知在体积保持不变的情况下,一气体的压强正比于其绝对温度试证明在温度保持不变时,该气体的熵随体积而增加。解由题意得。VFTKP因V不变,T、P升高,故KV0据麦氏关系223式得VKV0TSPKTGD由于KV0,当V升高时或V0V,VV0,于是KT不变时,S随V的升高而升高。23设一物质的物态方程具有以下形式，试证明其内能与体积无关。TFP解，TP0得证。VFPU,VVFF习题24求证0HPSUS证由式212得DPD等H过程HHT（）H0T0S由基本方程DSDUDVTPUDS1（）U0习题25已知0,求证0。TVUTP解由式227得P0TVTVP0U,U,TU00。TVPTP习题26试证明一个均匀物体在准静态等过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减。解FUTS,将自由能F视为P,V的函数FFP,VSDTDUSDT,PVS,PTS,V,PTS,PV由关系。CPPPCP习题27试证明在相同的压强降落下,气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落。（提示证明0）STH证DSHPHTDPDTPSTDSTPSPPS,1,联立（1），（2）式得SPTHPTSPSTHPSC据DVDU熵不变时，（DS0）,DUDPTSDHSH；原题得证。SH0PCV习题28实验发现,一气体的压强P与比容V的乘积及内能U都只是温度的函数,即PVFTUUT，试据热力学理论,讨论该气体物态方程可能具有什么形式。解PVCT，其中C是一个常数。）（）；（TUTFPV由式（227）及0；TVVPPV）（TPSP即VTFFT1；DFDF习题29证明并由此导出TVC,2VPTPC,2P；200DVV200DPTVPP根据以上两式证明,理想气体的定容热容量和定压热容量只是温度T的函数。证据式（225）TVCVUVSTT2VP2类似可证TP2习题210证明范氏气体的定容热容量只是温度T的函数,与比体积无关。证范氏气体RBVAP2由式227TPTUV2VABTV2A,0TFUV；与V无关。VCVF习题211证明理想气体的摩尔自由能可以表为00LNTSVRDTUDFVVSCTVL02解；，对于理想气体TSUFSDUDF，CVTUVT选上图示积分路径，过程DCQSVL；TUV0TDSV0001SCUSFVV过程0UQTSF2，根据热力学第一定律0LN0VRDPVQ00021LVTSDTCUDFFVV习题214一弹簧在恒温下的恢复力X与其伸长X成正比,即XAX；今忽略弹簧的热膨胀,试证明弹簧的自由能F、熵S和内能U的表达式分别为；210,ATXDXS,2210,XTTUX解,TAXXDUDTXXUTASFSFXXTATXF21,2TBXATXFSXD2由于,UFTBXATBAXTF2211DD22X0时，U0,即不考虑自身因温度而带来的能量。实际上，0或DTBDTB0,U即得2210,XAUX,AXTFDTST0,2习题215承前15和18题试求将理想弹性体等温可逆地由L0拉长至2L0时所吸收的热和内能的变化。解设自由能为W,DWSDTFDL20LBTFLT,002A显然，当时有0L,2,000LTLBTW；BTLWLTA0023,000LWBTLTLBLWS,2323002002（注意到）TTLWLBLB,23232000020000,STWL02200323TLBLBS25100200BS0200TSTQL进而求略。U习题216承215题，试求弹簧性体在可逆绝热过程中温度随长度的变化。解上接EX215，LTSCSTL,03302021L习题219计算辐射能在等温过程中体积由变到时所吸收的热量。V解；等T过程VAS34412ATSQ习题220试讨论以平衡辐射为工作物质的卡诺循环,计算其效率。解，吸放吸吸W210PDVTSDUT1线上131DVU；由41ATVUVA4；DD3在等T过程中）（241结合012式得144141133VATDATSQ）（吸类似地，22V吸绝热过程UPD0；常数CV3103；代入ABDCVATU；4123124121TVQDCDCAB吸放习题221如下图所示，电介质的介电常数与温度有关，试求电路为EDT闭路时电介质的热容量与充电后再令电路断开后的热容量之差。解当电路闭合时，电容器电场恒定EETSC当电路断开时，电容器电荷恒定DDSDUETF，因而D23DTETDSSCDETDE习题222已知顺磁物质的磁化强度为，若维持物质温度不变,使磁HCM场由0增至H,求磁化热。解；据式277HTCMVMTHS0VHMTC20等T下200HVDQ习题223已知超导体的磁感应强度；求证CM与M无关，0MB只是T的函数，其中CM是在磁化强度M保持不变时的热容量；020UDUM0SDTCS解超导体HMB0式279TCHS；MTCMHHS据式273DMDU0V代入表达式MC00VT，其中U0为0K时的内能。由II中已应用了DTCSM；TSM0S忽略因体积变化带来的影响。习题224实验测得顺磁介质的磁化率。如果忽略其体积的变化,试求特性函数FM,T,并导出内能和熵。解显然只与T有关；THM,020DMHDMTSDU0TSUFSDTDFF0MHVTDDTMSDFTH00；VHF0TFMVFVF020020既已知FS020SDTMTF；DMTDU0UF0202SFDTVSF第三章单元系的相变习题32试由及证明及。0VC0TVPPC0SV证由式221PVPTPPHPSVVUVTSDPVTDTVSSPVDVPSVDTSVT1TVTSSP2VTPVST由麦氏关系223代入1式中SVPTVPSSVTTST,S,S,V,SVPT,2,SSV2,由式225；即VCT0VCTS于是0正数TPS于是0）,故对积分可得M，MHSDD22DHS2SL22习题64在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为。试求在体积VCP内，在到的能量范围内能量范围内三维粒子的量子态数。D解DPHVPHVNZYXSIN233由于只与有关，与、无关，于是C203223234SINHCVDPHDPHDD以上已经代入了CP于是，324HCVD习题65设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N粒子间的相互作用很弱，可看作是近独立的。假设粒子可分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。试证明，在平衡态下两种粒子的最概然分布分别为和。其LEALLLEALL中和L是两种粒子的能级，和是能级简并度。LLL证粒子A能级，粒子数分布AL简并度LL粒子B能级，粒子数分布AL简并度LL由2121NLN即使最大，达到最大。1LLEALL（注与在此情况下独立）LLLLAL讨论，若将一系作为子系统，意味总能守恒，于是参照教材玻尔兹曼分布证明0LNLNLLLLLLLLLAAAA同一，原题得证。这也是满足热平衡的要求。0第七章玻耳兹曼统计习题71根据公式证明，对于非相对论粒子LLVAP，0，1，2，21222ZYXNLMPSZYXN,有,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。VU3证LLAP2122ZYXLNNLMVA223ZYXL其中VAUL3LP21223ZYXLNNVM对同一,L22ZYXNAL122ZYXN35ML22LZYX5VVU32习题72试根据公式证明，对于极端相对论粒子LLVAP，0，1，2，212ZYXNLCPZYXN,有,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。VU31证；LLVAP对极端相对论粒子212ZYXNLCP类似得32VVAPILVUVALL31341习题73当选择不同的能量零点时，粒子第个能级的能量可以取为，LL或以表示二者之差。试证明相应的配分函数存在以下关系，并LL11ZE讨论由配分函数Z1和Z1求得的热力学函数有何差别。证配分函数LEZL111ZELLL以内能U为例，对Z11NNU对Z1UNEZZ1LNL1习题74试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为SPNKSLN式中PS是总粒子处于量子态S的概率，,对粒子的所有1ZESSS量子态求和。证法一出现某状态几率为PSS设S1,S2,SK状态对应的能级；S设SK1,SK2,SW状态对应的能级；S类似；则出现某微观状态的几率可作如下计算根据玻尔兹曼统计；NEPSS显然NPS代表粒子处于某量子态S下的几率，。于是SEPS代表处于S状态下的粒子数。例如，对于能级SES个粒子在上的K个微观状态的概率为KSSE1SKSSESPP1粒子数类似写出KSSE1等等。于是N个粒子出现某一微观状态的概率。SPKSSE1KSSEP1一微观状态数，（基于等概率原理）1LNKSWSKSKSSEEPP11KKWKSSSSEE11LNLN将带入；SNPSSSPKNL习题75固体含有A、B两种原子。试证明由于原子在晶体格点的随机分布引起的混合熵为其中N是总原子数，KS1LNL1XXXXX是A原子的百分比，（1X）是B原子的百分比。注意X1，上式给出的熵为正值。证显然121XNNSN；KLNL1LNXXNK由于1，故；原题得证。XX0S习题76晶体含有N个原子。原子在晶体中的正常位置如图中O所示。当原子离开正常位置而占据图中位置时，晶体中就出现缺位和填隙原子，晶体这种缺陷叫做弗伦克缺陷。1假设正常位置和填隙位置数都是N，试证明由于在晶体中形成N个缺位和填隙原子而具有的熵等于；LN2KS2设原子在填隙位置和正常位置的能量差为U。试由自由能FNUTS为极小值证明，温度为T时，缺位和填隙原子数为N设NNKTUE2证1LNLNKSL2略，参见EX77习题77如果原子脱离晶体内部的正常位置而占据表面上的正常位置，构成新的一层，晶体将出现缺位，晶体的这种缺陷称为肖脱基缺陷。以N表示晶体中的原子数，N表示晶体中的缺位数。如果忽略晶体中体积的变化，试由自由能为极小的条件证明，温度为T时N设NN其中W为原子在表面位置与KTWE正常位置的能量差。证,设原子皆未跳出到表面时,U0,则形成N个空位需要能量SUF；,而在N个格点上形成N个空位，其可能的状态数NWLKSN利用LNLNL1LNLM1NLLLNKTKTKTNWF利用自由能判据0NF1L11L0NKKNNKKLNTNT；。,KWEKTWE习题78气体以恒定的速度沿方向作整体运动。试证明，在平衡状态下分子动量的最概然分布为E2022PPMXYX3LDPVZYX证设能级这样构成同一中，P相同，而P与P在变化，于是有LLZXY3021LZLZLLLLAPPEANL参照教材玻耳兹曼分布证明；有,ENLNZP其中）（221ZYXLM由1知NDPEHVZYXPZ3将代入并配方得LZYXPMDEHVZYX23NPZYXPZYX2223其中MPYX,2对比PAGE238式（724）得23232KTHNKHVNEM整个体积内，分布在内分ZZZYYXXDPDPDP,子数为ZYXZYXZYXMPFEMKTNZYX,212223由条件（3）知0,NPDPFZYXZYXZ计算得ZMPZYXDEDEPMKTZ22231ZMPYXDEDPEMKTZYX222310NDPFZYX0代入得出分布32202“HDPVEZYXPPMZYX其中,20习题79略结合（78）求平均值。习题710表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维理想气体。试写出在二维理想中分子的速度分布和速率分布。并求平均速率，最概然速V率和方均根速率。MVSV解对于二维情形，212YXPM（准）连续能量下的简并度面积SHDY玻耳兹曼分布；利用YXPKTMDEYX212KTMNEHSHSNDPEHSYXPMYX2242222YXVKTMDEYX22速度分布率进而推出速率分布VKNT2习题711试根据麦克斯韦速度分布率导出两分子的相对速度和相12VR对速率的概率分布，并求相对速率的平均值。RVRV解两分子的相对速度在内的几率RVRZYRXDV2121123121212121KTMEDVEVVDVVRXRZRYRXZYXVKZYXVVVKTR同理可求得分量为和ZYV1,212KTMERYVK212KTMERVKT2323328RRVKVKTMREV引进，速度分布变为2RVKTMDER223利用球极坐标系可求得速率分布为RVKTMDER2234相对速率平均值DEVKTVRVKTMRRR824203习题712试根据麦氏速度分布率证明，速度和平均动量的涨落为2223,83EMKV解；（略）222VV22习题713试证明，单位时间内碰到单位面积上，速率介于与之间的分VD子数为DEKTNDKTMV32/3证在斜圆柱体内,分速度为的方向的分子数为ZDTSVVVNFDZZYX,圆柱STEKTMSTFVZYXZKTZYX2/32对于0,积分得从对从ZYXV时间碰撞到面积上的分子数（）DTDSDV02232DSTVEKTMNZYXZVKTMYXSTDVKTVCOS/03223得到若只计算介于分子数则为（只对积分）DV,DVEKTMNKTM322/31VKT32/3习题714分子从器壁小孔射出，求在射出的分子束中，分子平均速度和方均根速度。解；变量代换DVEKTMNVKTNVKM302/3042/32DXMKTVXNKT22045/2/322X8/3252/3KM032/3302/32DXETNDVEKTNTKM/122/3MK略类似求,892/183/1SVMKTKV习题715已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为其中是常数，求粒子的平均能量。BXAPMZYX22A,解422,21222据均分律四个平方项ABXAPZYXKTB4/42习题716气柱的高度为，截面为，在重力场中。试求解此气柱的内能和HS热容量。解配分函数ZYXMGZPMDPDEHZZYX2321ZESHGXP0323MGHGMH12/52/3设；SA2/33MGHEAZ1LN2/5LN/1/5LN/KTGMGHEE12/5LN/0略VVTKGUCNZNU习题717试求双原子理想气体的振动熵。解振动配分函数EZV12/代入式（761）1LN2/LN1EZ/代入熵计算式。VVKTNKS其中/LN习题718对于双原子分子，常温下远大于转动的能级间距。试求双原子分子理想气体的转动熵。解由式（7514）转动配分函数21IZR其中/LN/LN2LLN11RTNKSIZRKIH2习题719气体分子具有固有电偶极矩，在电场下转动能量的经典表达式0D为，证明在经典近似下转动配分函数COSSIN1202DPIR01EHZDR解经典近似下，视为准连续能量R配分函数20COSSIN21210DPEDPEHDZIIR利用X2020COS2212SIN00DEHIDEIIZ习题720同19题，试证在高温极限下,单位体积电偶极矩（电极10化强度）为。KTD320解电极化强度11LN00DEZN高温极限下，保留至。其中020DKTN22VNN习题721试求爱因斯坦固体的熵。解将，代入至表达式即得，注意N取3N。略HEZ12S第九章系综理论习题91证明在正则分布中熵可表为其中是系统SSKSLNSESEZ1处在S态的概率。证多粒子配分函数LNLZKS1SSEEEEZ2LNKEKKEZ由1知SSSSZEZEZSLN1LN代至2得SSSSLLLN1L于是SSKZKSLNLL习题92试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程，内能和熵证221IZIYIXNISSEPMEZ符号IIZYIXDPD符号IIIQ2/33232331212122NNNPMNPMPHVZDEHVDEQZZYXNIIZYIXNIIZYIXM利用式（953）类似求。TKZP1LNSU,习题93体积内盛有两种组元的单原子混合理想气体，其摩尔数为和，温1N2度为。T试由正则分布导出混合理想气体的物态方程，内能和熵。解JJIIIZIYXPPMNDQPDPEHZJZJYXIZYIX22221312/3321121NNVKTPVKTZPL21习题95利用范氏气体的配分函数，求内能和熵。解QMNZN2/31ZQMNQUN/212/3LN2/32/31/DRFVQN1212/3EFEFDRFVNR12121212DRFVNTKURN12211/32一般认为较小；DRFV12VAKNTDRFVENTKU/2321/3112习题96被吸附在液体表面的分子形成一种二维气体，考虑分子间的相互作用，试用正则分布证明，二维气体的物态方程为，其中SBNTKPS/1为液体的面积，为两分子的互作用势。SRDENBKT212/解二维气体IIYXPNDPDEHZJIYIXM2221QMNQEDQRIYPXMJII21212其中定义NRQJII21IJRIJEFNJIJIIJDRFRF1只保留前部分21211VDRFDSNNIJJINN其中变量代换212RFQ1221/RRDFSN122据式（953）DRFSNRFV1212LNLNLNSBKTFTKPSQZP1LL112习题97仿照三维固体的地拜理论，计算长度为的线形原子链在高温和低温L下的内能和热容量。解一维线形原子链,10,/2,NKC共有个振动，存在最大频率LDDLDKN2/NDLCCNDD/20令DELUDEUKTKT10KTDXXKT/212020XXCCL高温近似KNTUDKLTU00低温近似其中DEXKNTUDCKLTU6/22010DK习题98仿照三维固体的德拜理论，计算长度为L的线形原子链（一维晶体）在高温和低温下的内能和热容量。解二维面积S内，波矢范围内辐射场振动自由度为YXDK224SDKSYX横波按频率分布为DCSKD21204纵波按频率分布为2202121CSBDBCSDDDD纵横DEBUEDDUDKTKT02011令TXXKT,DXEKTBUDKEBUXD02302011低温近似3023041KTBXET高温近似2300301KTUDXKBUDTD计算略。VCNND402习题99利用德拜频谱求固体在高温和低温下配分函数对数，从而求内能ZLN和熵。解式（394）IEEZ1LNLN20德拜频谱BND93对于振动1LNLLN2002XDEBDEEZDD代换DXEBDDD200321LN340340515DNUBU计算略S高温近似，T3LN1LNLN020DBDBZDDDAB02303LBBD9LN30（计算略）NL0习题910