线性代数-线 性 代 数 试 卷(a)

线性代数试卷A一、选择题（每题3分，共15分）1_,2210的值为则的秩若矩阵AARAA1D1C0B或者或2_,|则，且为正交矩阵设AD）ACAAATT3设,是N维列向量,0T,N阶方阵TE,3N，则在A的个特征值中,必然_A有个特征值等于1B有1个特征值等于1C有1个特征值等于1D没有1个特征值等于14_,则阶方阵，且秩相等，既为设BRANBA,DR2,RCR205,BXNANM则非齐次线性方程组的秩设矩阵一定无解可能有解一定有唯一解一定有无穷多解二、填空题（每题3分，共15分）1设是N阶方阵A的伴随矩阵，行列式2|A，则|_2D中第二行元素的代数余子式的和412JJ_,其中D113已知实二次型32123232,4XAXXF正定,则实常数A的取值范围为_B42N阶行列式_AB,其中N阶矩阵A00BB5设A，102而N2为正整数，则_21NA三、计算题每题9分,共54分1计算N阶行列式MXXMDNNN3213212求矩阵X使1206,102,01BABXA，其中3设非齐次线性方程组3432121DXXCBA有三个解向量12，21，32求此方程组系数矩阵的秩,并求其通解其中TKJIDCBA,为已知常数4已知实二次型,321XF032321XX经过正交变换QYX,化为标准形5YY,求实参数及正交矩阵Q5设线性方程组为BXXA432143211730，问A,各取何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解在有无穷多解时求出其通解6在四元实向量构成的线性空间4R中,求A使4321,为R的基,并求由基3214321,到的过渡矩阵P,其中01012013141A12A0304四、证明题每题8分,共16分1设321,是欧氏空间V的标准正交基,证明1232123123也是V的标准正交基2设FAXT是N元实二次型,有N维实列向量21,X,使1AT0，20,证明存在维列实向量0,使00线性代数考试A参考答案一、选择题1A2B3B4D5B二、填空题112|NA；20；327|A；4NBA2；50A21N三、计算题1解各列加到第一列，提出公因式MXXMDNNNI221MXXNNI01218分11XNIN9分21BAXA3分1203201X12/03X9分3由题设条件知1,2,3是BA的三个解，因此316，321是对应的齐次线性方程组的线性无关解向量,因此,系数矩阵A的秩R2又A中有二阶子式052，AR2，因此R23分因此31，3为其导出组的基础解系。由此可得线性方程组的通解1K6243，21,K为任意常数9分4F的矩阵30A有特征值5,2,13由0,92|21得2分A对应的线性无关的特征向量1，02，135分A对应的单位正交特征向量121，02，10238分于是正交变换XQY中的正交矩阵,321Q109分5201431317250BABAA3分当A4时，方程组有唯一解当4，B2时，方程组无解5分当4，2时，RA34，方程组有无穷多组解,其通解为01K，K为任意常数9分6解A2分设,4321A,4321B,则10，01A4分设P,4324321,则0121ABAP9分四、证明题1证因为0,2,491,3231321214分1112323,4,1，所以32是V的标准正交基。8分2证F是不定二次型,