线性代数-华南理工大学线性代数与几何试卷上12a答案

诚信应考,考试作弊将带来严重后果华南理工大学期末考试线性代数与几何试卷A（试卷号20131时间120分钟，总分100）注意事项1考前请将密封线内填写清楚；2所有答案请直接答在试卷上密封线装订区内、草稿纸上答题均无效；3考试形式闭卷；4本试卷共五大题，满分100分，考试时间120分钟。题号一二三四五总分得分评卷人一、计算（10分）1；21212NNAABAABYXXXY解1；12121212000NNNNBBBAAB211YXXXXYYXXY100110NYXYNYNXYX二、解方程组（12分）_姓名学号学院专业座位号密封线内不答题密封线线12345123456219XX解12342136300541213945RAB22341317/13/050524500RR等价方程组为，即124537135XX124537135XX令为通解1221425312345/7100,/5XXCCCCX三、（12分）设向量可被向量组线12,R性表出，但不能被向量组线性表出。证明1、向量不能被向量组12,RR线性表出；2、向量能被向量组线性表出。121,RR121,R证1、（反证法）反设向量能被向量组线性表出，则由定义知存在一系R12,R列数，使得；21,RLL12RRLL又向量可被向量组线性表出，从而由定义知，存在一系列数，2,R12,RK使得。121RRKK进而121RRRLL，即可被向量组1122RRRRKLKLK线性表出，这与已知矛盾，而推理无误，因此反设错了，命题得证。；121,R2、由已知，向量可被向量组线性表出，从而由定义知，存在一系列数12,R，使得。1,RK1RRKK不能为零，否则与可不能被向量组线性表出这一已知矛盾。从而R21,R，即向量能被向量组线性表出。121RRRRKKR121,R四、（12分）求过点，且垂直于平面,和的平面方程。7XYZ32150XYZ解垂直两个平面的平面，其法向量必与这两个平面的法向量相垂直。从而可设该平面的法向量为1211,2,10,5232N从而有点法式方程，得所求平面为105XYZ即213,2360XYZZ五、（20分）设实对称矩阵254A1、求；2、求正交矩阵，使得为对角形。1AP1A解1、213201054RI331122325010109/52/53/RRR，从而1209/1/532/R19/0/532/A2、2313221545401RIAI3124240912980R，令21021230,1IA解312112,4,402RIAXX等价方程组为，得两线性无关解1230X12,01正交化12122/5,44,500单位化112222/5/51,4,5,0/解3143828080,54,25925RIAXX，等价方程组为，解得，2123940RR2310X32223,1单位化，从而33/,2/123/52/41/3,10/P可使101A六、（14分）当为何值时，线性方程组有惟一解无解有无穷多解有解时求出解。123123541XX解321287025412451RAB31245101872R23201154R当时，方程组有无限多解13RA223110240RRB等价方程组为，令1230X11222332,010XCXCC当且时，方程组有惟一解，72RAAB21342093154R，323122922670108541RR12222356108541R221223236854X当时，方程组无解。1732RAR七、（8分）设是阶对称方阵。证明是,ABNAB对称矩阵的充分必要条件是B证先证必要性由是对称矩阵，得，而，故ATT，TAB又是阶对称方阵，从而；,N,TAB再证充分性由，而，又是阶对称方阵知BT,AN，故，从而；由对称矩阵定义知是对称矩,TBATAB阵。八、（12分）写出二次型的矩阵A，并将它化为标准型；判断它是2212313123,4FXXX正定二次型还是负定二次型二次型的秩等于多少F解312000112,12RAIA2122231041R，令，得242140123,5,1解31210100,2,RIAXX等价方程组为，得解3120X10解13/52250501,20,5211RIAXX等价方程组为，得解13250X25解13/5230010,5,2121RIAXX等价方程组为，得解13250X325单位化1122/1/01,0/。从而33/121,/123/51/0/,2/2P可使，1051PA1015AP，从标准型222