高等数学-微积分12下32

第二节常数项级数的收敛性质及其判别法一、正项级数及其审敛法设是正项级数的部分和数列，则是单调递NS1NUNS增数列，如果是有界的则一定存在极限（单调有界S准则）定理1正项级数收敛的充分必要条件是其部分和1NU数列有界。定理2（比较判别法）设级数和都是正项级1NU1NV数，且，若级数收敛级数也,21NVU1N1NU收敛；若级数发散级数也发散。1N1NV证明设收敛于，是正项级数的部分和1NVNS1NU数列，则有NNNVVUUS2121由定理1可得所需结论。推论1设和都是正项级数，如果级数收敛，且存在1NU1NV1NV自然数，当时有则级数收敛；如果NNNKVU01NU级数发散，且存在自然数，当时有1NVNNNKVU则级数发散；0K1NU例5讨论级数的敛散性（）P1NP0P解设，则XNPPNXNX11,PNPPD111由比较判别法，级数与级数同敛散。1NP1NPDX我们考虑级数，其部分和1NPDX111PPLDXSPNP当时，级数收敛；LIMNS1NPDX当时，不存在，级数发散。1PNLI1NP例6证明收敛。12N解因为，而级数收敛，232123N由比较判别法级数收敛。12N定理3（比较判别法极限形式）设和都是正项级1NU1NV数，如果LLVUN0LIM则级数和同时收敛或同时发散。1NU1NV证明由极限定义，取，存在自然数，当时有2LNNNNNNVLUVLVULLVU233由推论1可的所需结论。例7判别级数的敛散性。1SIN解因为，级数发散LIMN1N所以级数发散。1SIN例8判别级数的敛散性。12LN解因为，级数收敛LIM2NN12N所以级数收敛。12LN定理4（比值判别法）若正项级数的后一项与前一项1NU之比值的极限等于，即PPUN1LIM1）当时级数收敛；2）当时级数发散；P3）当时不能确定。证明1）如果，由极限的定义，取适当使得（无妨设11P），存在自然数，当时有PRNNRPUUNN111111121,NNNNNNNNRURURR由比较判别法得收敛。1NU1）如果，自己证明。3）由调和级数与例8说明。P例9判别级数的敛散性12N解因为1232311NLIMNLIULIMNN级数发散。123N例10证明级数是收敛的。123N解因为1323211NLIMLIULIMNNN级数收敛。123N例11判别级数的敛散性1N解因为1111ENLIMNLIULIMNN级数收敛。1N定理5（根式判别法）设是正项级数，如果1NU，则PUNLIM1）当时级数收敛；2）当时级数发散；P3）当时不能确定。证明1）如果，取适当使得（无妨设1P1），存在自然数，当时有PRNNNNRUUU由比较判别法得收敛。1N例12判别级数的敛散性。12NN解因为LIMN有根式判别法级数收敛。12NN二、交错级数及其审敛法级数中如果含有无限项正项和无限项负项，则称1NU1NU为任意项级数。各项正负交错的级数，叫交错级数。如是正项级数，1NU则级数是交错级数。1NNU定理6如果交错级数满足条件1NNU1）2）,1UN0LIMN则级数收敛，且其和，其余项的绝对值1NN1USNUR证明02143212NNUUS254312NN由单调有界准则，又因为，所以SN2LIM1212NNSUSN1LI三、绝对收敛和条件收敛定理7如果级数收敛，则级数收敛。1NU1NU证明设，但02NNVNV注逆定理不成立。如1N定义对于一般的级数如果级数收敛则称级数1NU1NU绝对收敛；如果级数发散而级数收敛，则称1NU1N1N级数条件收敛。1NU例12判别级数的敛散性。（绝对收敛）12NN解先考虑级数的敛散性，因为1N236122332NCCNNNN级数收敛，由比较判别法收敛126N1N原级数绝对收敛。例13判别级数的敛散性。（发散