线性代数期末考试试题及答案

20052006学年第一学期一填空题（每小题3分，共15分）1013215202若阶方阵A的秩,则0NRNA3设，是5阶方阵，且3,则基础解系中含2个解向量0XR4若阶矩阵的特征值为，则125设是对称阵的两个不同的特征值，是对应的特征向量，则021,A21,P,21P二选择题（每小题3分，共15分）1若为3阶方阵，且，则C2A4416162设为阶方阵，满足等式，则必有（）BA,NOB或或O0OBA03设元线性方程组，且，则该方程组NBXANBAR,有无穷多解有唯一解无解不确定4设P为正交矩阵，则P的列向量（A）A组成单位正交向量组B都是单位向量C两两正交D必含零向量5若二次型为正定,则对应系数矩阵A的特征值FX都大于0；都大于等于0；可能正也可能负都小于0三（8分）计算行列式的值21D解21234314210555RRR四（8分）设，求1023A1A解E102021R（或用伴随矩阵）13201R21A五（8分）求齐次线性方程组的基础解系及通解032414321XX解321A01021通解方程组，基础解系，通解为，（04321X01221K为任意常数）21,K六8分已知向量，求向量组的秩及一个极大线性无3211253关组，并把其余向量用极大线性无关组表示解5132,21A20101012极大无关组，且21,2七（10分）讨论取何值时，非齐次线性方程组2321321XX1有唯一解；2无解；3有无穷多解解法1312A（）当且时，有，方程组有惟一解；030A（）当时，931260321，所以无解；32AR（）当时，方程组有无穷多解001AR法2220111A200113八（8分）用配方法将二次型化为标准形，并求可312321324,XXXF逆的线性变换（或上届题）解，23231232164,XXF232316令，即，所以，32XY32YX3213210YX变换矩阵标准形,10C0C23216YF九（10分）求矩阵的特征值与最大特征值所对应的特征向量4032A解，特征值12E1,4321当时，解得，的对应于42104XEA0112A的全体特征向量为，）21221K21K十（每小题5分，共10分）1设向量组线性无关，讨论向量组的线性相关性321,12123,解令即1230,KK123K因为线性无关，所以有，321,12330K由于方程组只有零解，故线性无关。12123,设为满足等式的矩阵，证明A可逆，并求AOEA321解32123E所以A可逆，且1220082009学年第一学期A卷一、填空题（共75分每空3分）1设，则6，3102AA1/361/02A362得分2,210320112584323行列式18，行列式_12_6322014两个向量的内积为3，夹角为,21,016/把用施密特正交化方法得21，0,/121）（，5若向量，则用组合的表达式是3,742121,216向量组的线性相关性为3,0,1,0432线性相关，它的秩是37已知向量组11,0,0,22,5,2,31,5,K线性相关,则K_2_8若3阶方阵A的三个根分别是1，2，3，则方阵A的行列式69设矩阵A，则矩阵A的秩为2，线性方程组001的基础解系的向量个数为3OXA10给定线性方程组,2321321XX）（则当1且0时，方程组有唯一解；当1时方程组有无穷解；当0时方程组无解11矩阵的特征值为2、1，对应于特征值的12A1特征向量为0,1K12设设方阵满足,则_AEA113二次型的矩阵的系数矩阵为232212321,XXXXF，该二次型为正定二次型0二、计算题（共5分）设矩阵A,求矩阵X,使12EAX2解由AXA2E得21352033142即523X三、计算题（共6分）已知向量组12,34,12,41求向量组的一组极大线性无关组,并把其余向量用此组向量表示4321，出来姓名学号系别年级专业密封线内不答题密封线线得分得分解01213424321R，由此可知,为一组极大线性无关向量组,421，3四、计算题（共6分）求非齐次线性方程组的通解22431XX解增广矩阵210RB还原成线性方程组12431X可得方程组通解为,为任意常数2021021432CX1C五、限选题（共8分）（经管类学生可选做第1、2小题中的一题，理工类学生仅限做第2小题）1理工类学生不做此小题已知二次型，312321XXFA）出二次型所对应的矩阵AB）用配方法将二次型化为标准型，C写出相应的可逆线性变换矩阵。解A）210AB223132321XXXF得分得分令321XY即有变换,321YX3213210YX把二次型化为标准型21221F21YXFC对应变换矩阵20P2（理工类学生必做此小题）已知二次型的秩为2,212321XXAFA写出二次型所对应的矩阵,并求参数AB求出二次型所对应的矩阵的特征值C求正交变换，把二次型化成标准形（不写正交变换）PYX解A）2301A1,2ARB解特征方程，得2EA3201，C）分别解方程组，得单位特征向量,IOXI）（，；021P022P103P及正交矩阵，正交变换2P1020PYX把二次型变为标准型123YF20082009学年第一学期B卷一、填空题（共66分每空3分）1设矩阵，则行列式6，3021A201BAA12，1/6，361A2设,则,20A98765431BB825876143BA,186423设是三阶方阵,则A88，0其中13121AAA13123132AAAA为的代数余子式IJIJ4，它的第3行第2列元素0的代数余子式202A323/11得分的伴随矩阵A20365向量与向量，则向量的长度,夹角），（1），（12的与，436向量，则向量组的秩等于2），（21），（34），（321，该组向量线性相关7设,则120AB321XX当2时，线性方程组有唯一解；BA当时，线性方程组的解为任意常数1XK,138设，是阶矩阵，2，则基础解系中含有3个解向量0XA54AR9设是对称阵的两个不同的特征值，是对应的特征向量，则021,21,P,21P10设2阶实对称矩阵的两个特征值分别为，则矩阵为负定定矩阵，3，A6；多项式，则55A2XFF二、选择题（共14分每空2分）1设元线性方程组，且，则该方程组BNBXANBAR,无解有唯一解有无穷多解不确定2设元线性方程组，且，则该方程组的解由A个向O1量构成有无穷多个1不确定KN3设为阶方阵，满足等式，则必有（B）BA,NA得分或或OAB0ABOBA04设为阶方阵，满足等式，则必有（D）,NOAR0BRNBRAB5设P为正交矩阵，则P的列向量（C）A可能不正交B有非单位向量C组成单位正交向量组C必含零向量6阶方阵的行列式,则的列向量（A）N0A线性相关线性无关0R0R7阶方阵的行列式是矩阵可逆的（C）充分条件必要条件充要条件无关条件三、计算题（共6分）向量，），（21），（21），（123请把向量组表示成向量组的线性组合3,0301），（1，321，解4042214321R，由此可知321224姓名学号系别年级专业密封线内不答题密封线线得分四、计算题（共6分）非齐次线性方程组当取何值时（1）无解；（2）有唯一解；321321X（3）有无穷解，并相应的通解解方程组的系数矩阵的行列式21A21A（1）当时，方程有唯一解；121且（2）当时，方程组无解；1（3）当时，增广矩阵，可得方程组有无穷多解0RB通解为21012CX五、计算题（共8分）试求一个正交的相似变换矩阵,把矩阵化为对角矩阵210A解解特征方程，得特征值30EA3，解方程,得相应的特征向量,1OX11021CCX021CC得分得分解方程,得相应的特征向量,1OXA310CX令，121012P，2103，正交相似变换，2210P301AP20082009学年第一学期C卷一、填空题（共60分每空3分）1行列式28，它的第2行第3列元素1的代数余子式2323A2若为3阶方阵，且，则16，BA，ABAB4，1/213设,则,210A20BBA42011A1024设是阶方阵,，则3得分3,013121AAAA2312121AAAA5向量与向量，则夹角，），（0），（0的与6向量，则向量组的秩等于2），（1），（2），（3321，该组向量线性相关7设,则20A1B321XX当0时，线性方程组有唯一解；BA当时，线性方程组的解（1，1，0）。8设，是阶矩阵，基础解系中含有1个解向量，则3XA43AR9设是对称阵的两个不同的特征值，是对应的特征向量，则021,21,P,21P10设3阶实对称矩阵的三个特征值分别为，则矩阵为正定矩阵,的A3，行列式611二次型所对应的矩阵为,该矩阵32321321,XXXF10A的最大特征值是2,该特征值对应的特征向量是,1C二、选择题（共20分每空2分）1设元线性方程组，且，则该方程组BNBXA1,NR有唯一解有无穷多解无解不确定2设元线性方程组，且，则该方程组的基础解系由COK个向量构成有无穷多个有唯一个不确定N3设矩阵，为阶方阵，满足等式，则下列错误的论述是（BBA,CNA）得分矩阵的行向量由矩阵的行向量线性表示；A矩阵的列向量由矩阵的列向量线性表示；CBA矩阵的行向量由矩阵的行向量线性表示4设矩阵，为阶方阵，满足等式，则下列关于矩阵秩的论述正确的是,NCAB（D）CRARNBRA5设P为正交矩阵，则P的列向量（C）A可能不正交B有非单位向量C组成单位正交向量组C必含零向量6阶方阵的乘积的行列式,则的列向量（B）NB，5AB方阵的列向量线性相关方阵的列向量线性无关5ARNR7阶方阵的行列式是齐次线性方程组有非零解的（C）注此N0OX空得分值为2分充分条件必要条件充要条件无关条件三、计算题（共6分）向量，请把向量表示成向），（21），（21），（123），（01量组的线性组合3，解解方程21902191,1321AX知即3即1321四、计算题（共6分）姓名学号系别年级专业密封线内不答题密封线线得分得分求非齐次线性方程组的通解2424321XX解增广矩阵210RB还原成线性方程组12431X可得方程组通解为,为任意常数021021432CX1C2五、计算题（共8分）用配方法将二次型化为标准形，并求可逆32123213214,XXXXF的线性变换解2233213216,F）（）（令321XY得3231YX即有可逆线性变换23213210YX把二次型化为标准形32123213