2014-2015学年高二数学教案：333《函数的最大（小）值与导数》（新人教a版选修1-1）

333函数的最大小值与导数教师用书独具三维目标1知识与技能了解函数在某点取得极值，会利用导数求函数的极大值和极小值，以及闭区间上函数的最大小值2过程与方法培养学生数形结合、化归的数学思想和运用基础理论研究解决具体问题的能力3情感、态度与价值观经历和体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的作用，激发学生学习数学知识的积极性，树立学好数学的信心重点、难点重点会求闭区间上连续函数可导的函数的最值难点理解确定函数最值的方法本节课突破难点的关键是理解方程FX0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点教师用书独具教学建议本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后，引导学生通过观察闭区间内的连续函数的图象，自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置，进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤，并优化解题过程，让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学对于求函数的最值，高中学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用在本堂课学习中，学生发挥主体作用，主动地思考探究求解最值的最优策略，并归纳出自己的解题方法，将知识主动纳入已建构好的知识体系，真正做到“学会学习”教学流程创设问题情境，引出问题；极值是不是最值引导学生观察具体图象，对比、分析，揭示最值与极值的关系通过分析最值的特点总结出求函数在闭区间上最值的步骤通过例1及其变式训练，使学生掌握求已知函数在闭区间上最值的方法通过例2及其变式训练，使学生掌握求含义参数的函数的最值的方法通过例3及其变式训练，使学生掌握利用最值解决恒成立问题的方法归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正对应学生用书第61页课标解读1理解函数最大值与最小值的定义难点2掌握求函数最大值最小值的方法重点3能根据函数的最值求参数的值难点函数FX在区间A，B上的最值【问题导思】1如图，观察区间A，B上函数FX的图象，你能找出它的极大值、极小值吗【提示】FX1、FX3、FX5是极小值，FX2、FX4是极大值2在上图中，你能找出FX在区间A，B上的最大值与最小值吗【提示】函数FX在A，B上的最小值是FX3，最大值是FB如果在区间A，B上函数YFX的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在A，B上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得求函数YFX在A，B上的最值的步骤1求函数YFX在A，B内的极值；2将函数YFX的各极值与端点处的函数值FA，FB进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值对应学生用书第61页求函数在闭区间上的最值求下列函数的最值1FXXSINX，X0,2；122FXEXEX，X0，A，A为正常数【思路探究】求导令FX0求极值与端值比较得出最值【自主解答】1FXCOSX，令FX0，12解得X或X2343当X变化时，FX、FX的变化情况如下表X00，232323，434343，22FX00FX03322332由上表可知，当X0时，FX有最小值，F00；当X2时，FX有最大值F22FXEXEX1EX1EX1E2XEX当X0，A时，FX0恒成立，即FX在0，A上是减函数故当XA时，FX有最小值FAEAEA；当X0时，FX有最大值F0E0E001熟练掌握求函数在闭区间上最值的步骤，其中准确求出函数的极值是解题的关键2求函数的最值应注意以下两点1注意定义域，要在定义域给定区间内列表；2极值不一定是最值，一定要将极值与区间端点值比较，必要时需进行分类讨论求下列函数的最值1FXX33XX，332FXX32X23X3,2【解】1FX3X23令FX3X210，得X1，F12，F12，F0，F033故FX的最大值为2，最小值为22FX3X24X，由FXX43X0，得X0，43当X变化时，FX及FX的变化情况如下表X33,000，4343，2432FX00FX48极小值3极大值113273故当X3时，FX取最大值48，当X0或X2时，FX取最小值3求含参数的函数的最值已知函数FXAX36AX2B，问是否存在实数A、B，使FX在1,2上取得最大值3，最小值29，若存在，求出A、B的值；若不存在，请说明理由【思路探究】1FX在1,2上的最大、最小值是怎样求得的2在求解最值的过程中要不要对参数进行讨论【自主解答】显然A0FX3AX212AX3AXX4令FX0，解得X10，X24舍去1当A0时，当X变化时，FX，FX的变化情况如下表X1,000,2FX0FX最大值所以当X0时，FX取得最大值，所以F0B3又F216A3，F17A3，F1F2所以当X2时，FX取得最小值，即16A329，A22当A0时，当X变化时，FX，FX的变化情况如下表X1,000,2FX0FX最小值所以当X0时，FX取得最小值，所以B29又F216A29，F17A29，F2F1所以当X2时，FX取得最大值，即16A293，A2综上所述，A2，B3或A2，B29本题运用求解函数最值的方法确定参数A，B的值，解题的关键在于对函数中参数A的讨论，确定函数的最值在哪一点处取得已知函数FXX33X29XA1求FX的单调递减区间；2若FX在区间2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值【解】1FX3X26X9令FX0，解得X1或X3，函数FX的单调递减区间为，1，3，2F281218A2A，F281218A22A，F2F2于是有22A20，解得A2FXX33X29X2在1,3上FX0，FX在1,2上单调递增又由于FX在2，1上单调递减，F2和F1分别是FX在区间2,2上的最大值和最小值F113927，即函数FX在区间2,2上的最小值为7函数最值的综合应用问题已知函数FXX3AX2BXC在X与X1处都取得极值231求A、B的值及函数FX的单调区间；2若对X1,2，不等式FXC2恒成立，求C的取值范围【思路探究】1由已知条件如何求A、B的值并确定函数FX的单调区间2对X1,2，不等式FXC2恒成立应如何进行转化【自主解答】1FXX3AX2BXC，FX3X22AXB，F132AB0，FAB0，2312943解得A，B2，12FX3X2X23X2X1，当X变化时，FX，FX的变化情况如下表X，2323，12311，FX00FX极大值极小值函数FX的递增区间为，和1，；23递减区间为，1232由1知，FXX3X22XC，X1,2，12当X时，FC为极大值，23232227F22C，F22C为最大值要使FXC2，X1,2恒成立，只须C2F22C，解得C1或C2利用函数的最值解决不等式恒成立问题是函数最值的重要应用要使不等式FXH在区间M，N上恒成立，可先在区间M，N上求出函数的最大值FXMAX，只要HFXMAX，则上面的不等式恒成立同理，要使不等式FXH在区间M，N上恒成立，可先在区间M，N上求出函数FX的最小值FXMIN，只要FXMINH，则不等式FXH恒成立已知FXX3X22X5，当X1,2时，FXA恒成立，求实数A的取值范12围【解】FXX3X22X5，12FX3X2X2令FX0，即3X2X20，X1或X23当X变化时，FX及FX的变化情况如下表X1，2323，12311,2FX00FX1572772当X时，23FX取得极大值F；2315727当X1时，FX取得极小值F172又F1，F27112FX在X1,2上的最大值为F27要使FXA恒成立，需FXMAXA，即A7所求实数A的取值范围是7，对应学生用书第63页因忽略区间导致所求最值错误求函数Y536X3X24X3在区间2,2上的最大值和最小值【错解】Y366X12X2，令Y0，即12X26X360，解得X12，X2，32F257，F28，F223，3234函数的最大值为57，最小值为2834【错因分析】所求最大值57是在X2时取得的，不在所给区间2,2上，故求解错误【防范措施】在求解函数的最值时，一定要弄清所给区间的范围，解题时，常会出现某些极值点不在所给区间中，而误把该极值充当了最值的错误【正解】Y366X12X2，令Y0，即12X26X360，解得X1，X22舍去32当X2，时，FX0，函数单调递减；32当X，2时，FX0，函数单调递增32函数FX在X时取得极小值F28，无极大值，即在2,2上函数FX的323234最小值为28，无最大值341函数FX在区间A，B上连续是FX在区间A，B上有最值的充分不必要条件；如果FX在A，B上连续，那么FX在A，B上必有最大值和最小值，但在A，B内不一定有最大值和最小值2函数的最值是比较某个闭区间内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的；函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有3利用导数法求最值，实质是通过比较某些特殊的函数值得到最值，因此，我们可以在导数法求最值的思路的基础上进行变通令FX0得到方程的根X1，X2，直接求得函数值FX1，FX2等，然后与端点的函数值比较就可以了，省略了判断极值的过程当然把导数法与函数的单调性相结合，也可以求最值对应学生用书第63页1下列是函数FX在A，B上的图象，则FX在A，B上无最大值的是【解析】在开区间A，B上，只有D选项所示函数FX无最大值【答案】D2给出下列四个命题若函数FX在A，B上有最大值，则这个最大值一定是A，B上的极大值；若函数FX在A，B上有最小值，则这个最小值一定是A，B上的极小值；若函数FX在A，B上有最值，则最值一定在XA或XB处取得；若函数FX在A，B内连续，则FX在A，B内必有最大值与最小值其中真命题共有A0个B1个C2个D3个【解析】当函数在闭区间上的最值在端点处取得时，其最值一定不是极值，不正确；函数在闭区间上的最值可以在端点处取得，也可以在内部取得，不正确；单调函数在开区间A，B内无最值，不正确【答案】A3FXX33X22在区间1,1上的最大值是A2B0C2D4【解析】FX3X26X令FX0得X0或X2舍去FX在1,0上递增，在0,1上递减，F0既为极大值也是最大值，F02【答案】C4求函数YX33X22，X2,3的值域【解】令Y3X26X0得X0或X2，X0时，Y2；X2时，Y2；X3时，Y52，函数的值域为2,52对应学生用书第113页一、选择题12013郑州高二检测函数FXLNXX在0，E上的最大值为A1EB1CED0【解析】FX1，令FX0，得0X1；令FX0，得1X1XE，FX在0,1上递增，在1，E上递减，FXMAXF11【答案】B2函数Y4XX21A有最大值2，无最小值B无最大值，有最小值2C最大值为2，最小值为2D无最值【解析】Y4X214X2X0X2124X11XX212令Y0，得X11，X21，当1X1时，Y0；当X1或X1时，Y0因此，Y的最大值为F12；最小值F124XX21【答案】C32013临沂高二检测函数YX2COSX在0，上取最大值时，X的值为2A0B6CD32【解析】Y12SINX，令Y0得SINX，故0X，令Y0得SIN126X，故X，原函数在0，上递增，在，上递减，当X时，函数取12626626得最大值【答案】B4已知函数FX、GX均为A，B上的可导函数，在A，B上连续且FXGX，则FXGX的最大值为AFAGABFBGBCFAGBDFBGA【解析】设FXFXGX，FXFXGX0，FX在A，B上是减函数FX在A，B上的最大值为FAFAGA【答案】A52013吉林高二检测已知函数FXX42X33M，XR，若FX90恒成立，12则M的取值范围是AMBM3232CMDM3232【解析】FX2X36X，令FX0得X0或X3，验证可知X3是函数的最小值点，故FF33M，由FX90恒成立得FX9恒成立，即XMIN2723M9，M27232【答案】A二、填空题6函数YXEX，X0,4的最小值为_【解析】YEXXEXEX1X，令Y0，得X1，而F00，F1，F4，YMIN01E4E4【答案】07已知FXX2MX1在区间2，1上的最大值就是函数FX的极大值，则M的取值范围是_【解析】FXM2X，令FX0得X，由题设得21，故M2M2M4，2【答案】4，28对于定义在区间A，B上的函数FX，给出下列命题若FX在多处取得极大值，那么FX的最大值一定是所有极大值中最大的一个值；若FX有极大值M，极小值N，那么MN；若X0A，B，在X0左侧附近FX0，在X0右侧附近FX0，且FX00，则X0是FX的极大值点；若FX在A，B上恒为正，则FX在A，B上为增函数其中正确命题的序号为_【答案】三、解答题9已知函数FXX24XA常数AR1求FX；2若F10，求FX在2,4上的最大值【解】1FXX3AX24X4A，FX3X22AX42由F10，得32A40，A12则FXX3X24X2，12FX3X2X43X1X43当X2，1时，FX0，43，4所以FX的单调递增区间是2，1与；43，4当X，FX0，1，43所以FX的单调递减区间是1，43又F1，F442，F20，F92434427FX在2,4上的最大值FXMAXF44210设A1，函数FXX3AX2B1X1的最大值为1，最小值为，求233262常数A，B的值【解】令FX3X23AX0，得X10，X2A由题意可知当X变化时，FX，FX的变化情况如下表X11,000，AAA,11FX00FX1A32BBBA321AB32从上表可知，当X0时，FX取得极大值B，而F0FA，F1F1，故需比较F0与F1的大小因为F0F1A10，32所以FX的最大值为F0B，所以B1，又F1FAA12A20，12所以FX的最小值为F11ABA，3232所以A，所以A326263综上，A，B163112013邢台高二检测已知函数FXAX4LNXBX4CX0在X1处取得极值3C，其中A，B，C为常数若对任意X0，不等式FX2C2恒成立，求C的取值范围【解】FX4AX3LNXAX44BX31XX34ALNXA4B在X1处取得极值3C，ERROR即ERROR解得A12，B3FX48X3LNXX