中国海洋大学08-09线性代数试题及答案

数学科学学院线性代数课程试题A卷共4页第1页考试说明本课程为闭卷考试，满分为100分。注意本试卷共六大题，请将答案写在答题纸上。符号说明表示矩阵的秩，表示矩阵的伴随矩阵，表示阶单RAANI位矩阵，表示矩阵的转置矩阵，表示的代数余子式。TIJIJA一单项选择题（每题3分，共18分）1设都是阶方阵，则。,ABONA；B；TTABC若，则或；DBO2设向量组线性无关，则下列命题不正确的是。1234,A向量组线性无关；341,B向量组线性无关；1212234,C若存在常数，使成立，34,K10KK则；1230KD不能由线性表示4123,题号一二三四五六总分得分优选专业年级学号姓名授课教师座号装装装订订订线线线数学科学学院线性代数课程试题A卷共4页第2页3设均为阶非零方阵，且,则下列结论错误的是。,AB3NABOA都小于；B若，则；R2R0RAC若，则；DNIRN14设均为阶实对称矩阵，若存在正交矩阵，使成立,ABPB现有四个命题与合同；若为正定矩阵，则也是正定矩阵；AB与有相同的特征值和特征向量以上命题正确的是（）。A；B；C；D5设为矩阵，若非齐次线性方程组有多个解，则（）。AMNAXBA；B的列向量组线性无关；RC有非零解；D有可能为零矩阵0X6设为阶实对称的正定矩阵，则下列描述不正确的是（）。A可以有非零解；B是正定矩阵；A2AC是正定矩阵；D的特征值全大于0NI二填空题（每题3分，共21分）1设均为3阶方阵，且，则。,B13B122已知3阶非零实方阵满足，则。ATA3。20920871134已知4元非齐次线性方程组，又知为AXB,3RAB123,的3个解，且，则AXB14,0T23,06TAXB的全部解为。5二次型，则22123131323,40FXXXX的秩为。123,F6设行列式为，则第四行各元素的代数余子式之和为0427587若为3阶矩阵的一个特征值，为矩阵2A1,0TX2,10TX的对应于的特征向量，向量，则。A,2A三计算下列各题（28分）1计算4阶行列式；310252求阶行列式的值，其中。N123101NADA0,12,IAN3设矩阵,满足方程，求矩阵。0238A139BAXB4已知的两组基为与3R123,0,1,0,1,TTT，求123,7T（1）基到基的过渡矩阵；13,12,（2）向量在基下的坐标。5,T3,优选专业年级学号姓名授课教师座号装装装订订订线线线四设二次型，利用正交变换法将二次型2212313123,4FXXX化为标准型，并写出正交矩阵。（13分）F五设齐次线性方程组为，12340XX（1）求方程组的基础解系，（2）将基础解系正交化、单位化。（10分）六设向量组线性无关，试证明12,N（1）若非零向量与向量组中的每个向量都正交，则12,N线性无关；2,N（2）若可由表出，而不能由表出，12,N212,N则线性无关。（10分）21,N线性代数课程试题A卷答案一1B；2A；3D；4C；5C6A二1；21；3；4；53；68372034,103,1TTK0；2三157；2；3；2312NIAA2351X4（1）过渡矩阵为；（2）坐标为80613,T四，特征值为201A123,正交矩阵为，标准型为3261036P2213FY五。64981,02,1,27TT六利用内积与线性相关，线性无关的有关结论即可得证。中国海洋大学20082009学年第2学期期末考试试卷数学科学学院线性代数课程试题B卷共3页第1页考试说明本课程为闭卷考试，满分为100分。注意本试卷共六大题，请将答案写在答题纸上。以下是符号说明表示矩阵的秩，表示矩阵的伴随矩阵，RAA表示阶单位矩阵，表示矩阵的转置矩阵。NIT一单项选择题（每题3分，共15分）1设都是阶方阵，且,则下列结论错误的是。A2AOA若为实对称矩阵，则；B可逆；NIAC的特征值只能为0；D1R2设向量组线性相关，则。1234,A向量组线性相关；341,B向量组必线性相关；123,C若存在常数，使成立，4,K12340KK则必有不全为零；123,D中任意一个向量都可以由其余3个向量线性表示4题号一二三四五六总分得分授课教师命题教师或命题负责人签字线性代数课程组年月日院系负责人签字年月日优选专业年级学号姓名授课教师座号装装装订订订线线线数学科学学院线性代数课程试题B卷共3页第2页3设为矩阵，为矩阵，则下列结论不正确的是。AMNBMA当时，；B当时，有非零解；0N0ABXC若且，则的行向量组线性无关；MIAD当时，仅有零解NBX4设均为阶实对称矩阵，若存在正交矩阵，使成立,APTAB现有四个命题与相似；RA若为正定矩阵，则也是正定矩阵；B与有相同的特征值和特征向量A以上命题正确的是（）。A；B；C；D5阶矩阵相似于对角阵的充要条件是（）。NA有个不同的特征值；B有个线性无关的的特征向量；ANC的特征方程没有重根；D的行列式不为零二填空题（每题3分，共15分）1设均为3阶方阵，且，则。,AB312B13TB2已知，,则2,0TAI3TIAB。3设为阶实对称矩阵，则为正定矩阵的等价条件为。N4设，若矩阵相似于，则TTK,01,T03K。5若二次型可经正交线性变换化22123131,FXAXXXPY为标准型，则。Y中国海洋大学20082009学年第2学期期末考试试卷数学科学学院线性代数课程试题B卷共3页第3页优选专业年级学号姓名授课教师座号装装装订订订线线线三计算下列各题（40分）1求方程的所有根；30X2求阶行列式。2NABDBA3设均为3阶方阵，,且，求矩阵。,AB120A3BAIB4设向量组，123,0,1,5,2,175TTT，求向量组的一个极大无关组，并将其余向量5,23用极大无关组线性表出。5将对角化，并求。4A10A四设二次型，利用正交变换2212313132,484FXXXX法将二次型化为标准型，并写出正交矩阵。（10分）五求非齐次线性方程组的全部解。（10分）123401XX六证明维向量空间中，向量可由向量组唯一表示的充要条N12,N件是向量组线性无关。（10分）12,N中国海洋大学20082009学年第2学期期末考试线性代数课程试题B卷答案一1D；2A；3D；4C；5B二1；2；3正惯性指数为，或者个特征值全大于621904N零。（答案不唯一）；4；52K3A三1为3重根，为