2017年八下数学第19章一次函数全章名师教案（人教版）

2017年八下数学第19章一次函数全章名师教案（人教版）第十九章一次函数1了解常量、变量的意义和函数的概念,体会“变化与对应”的思想,了解函数的三种表示方法列表法、解析式法和图象法,能结合图象分析简单的函数关系2能确定简单的实际问题中函数自变量的取值范围,并会求函数值3结合具体情境体会和理解正比例函数和一次函数的意义,能根据已知条件确定它们的表达式,会画它们的图象,能结合图象讨论这些函数的增减变化,能利用这些函数分析和解决简单的实际问题1通过讨论一次函数与二元一次方程等的关系,从运动变化的角度,用函数的观点加深对已经学习过的方程等内容的认识,构建和发展相互联系的知识体系2进行探究性课题学习,以选择方案为问题情境,进一步体会建立数学模型的方法与作用,提高综合运用函数知识分析和解决实际问题的能力以探索简单实际问题中的数量关系和变化规律为背景,经历“找出常量和变量,建立并表示函数模型,利用函数模型解决实际问题”的过程,体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型本章主要内容包括常量与变量的意义,函数的概念,函数的三种表示法,一次函数的概念、图象、性质和应用举例,一次函数与二元一次方程等内容的关系以及以建立一次函数模型来选择最优方案为素材的课题学习本章是在学习了平面直角坐标系的基础上进行学习的,为画一次函数的图象进而研究性质奠定了基础一次函数是初中阶段研究的第一个具体的函数,它的研究方法具有一般性和代表性,并为后面学习反比例函数、二次函数奠定了基础一次函数和一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程等有着密切的联系,学习一次函数将为它们的解法提供新的方法和途径,并使学生更为深刻地理解数形结合的重要思想本章在整个教材中具有承上启下的作用【重点】结合实例掌握变量、常量和函数的概念,掌握函数的三种表示方法,能结合图象讨论函数的基本性质,运用一次函数的图象和性质解决实际问题【难点】函数的概念以及一次函数的图象和性质的应用本章内容是初中数学教学中的重点,也是难点要重视学生对基本概念的理解,及时了解学生在学习过程中的状况,探索有效地教与学的各种方式在具体的实施过程中应注意1加强与学生已学知识的联系在代数式、方程、不等式等内容的学习、探索中都已渗透了变化的思想,要注意引导学生在原有知识的基础上理解变量和函数的概念2创设丰富的现实情境,重视直观感知的作用3注重学生对必要的数学语言和符号的理解和准确应用运用数学的语言和符号去理解、描述现实世界的变化规律,是本章学习的主要目的之一要在现实情境中鼓励学生运用自己的语言进行描述和交流,进而逐步学习和掌握规范的数学语言,增强符号感4给学生充分的自主探索时间191函数1911变量与函数2课时1912函数的图象2课时4课时192一次函数1921正比例函数2课时1922一次函数3课时1923一次函数与方程、不等式1课时6课时193课题学习选择方案1课时单元概括整合1课时191函数1理解自变量的取值范围和函数的意义,会求自变量的取值范围,会根据自变量的取值范围求函数的值2掌握用描点法画出一些简单函数的图象,能根据函数图象所提供的信息获取函数的性质3全面理解函数的三种表示方法,会根据具体情况选择适当方法表示函数1在探究问题的过程中,体会从具体的实例中寻找常量和变量,判断两个变量之间是否满足函数关系的过程2学生通过自己动手,体会用描点法画函数的图象的步骤1从图象中获得变量之间的关系的有关信息,并预测变化趋势,进行科学决策,应用于社会生活2让学生通过实际操作,体会函数三种表示法在实际生活中的应用价值,渗透数形结合思想,体会到数学来源于生活,又应用于生活,培养学生的团结协作精神、探索精神和合作交流的能力【重点】会用描点法画函数的图象,并能利用函数的三种表示方法解决实际问题【难点】函数的概念的理解1911变量与函数理解自变量的取值范围和函数的意义,会求自变量的取值范围,会根据自变量的取值范围求函数的值在探究问题的过程中,体会从具体的事例中寻找常量和变量,判断两个变量之间是否满足函数关系的过程通过列举自己身边的事例,体验数学与生活的密切联系,学会观察与发现,激发同学们探究问题的兴趣【重点】函数的概念和函数自变量的取值范围【难点】求函数自变量的取值范围第课时1了解常量与变量的含义,能分清实例中的常量与变量2学会用含一个变量的代数式表示另一个变量经历观察、分析、思考等数学活动过程,发展合情推理,以提高分析问题和解决问题的能力引导学生探索实际问题中的数量关系,渗透事物是运动的,运动是有规律的辩证思想,培养学生对学习的兴趣和积极参与数学活动的热情【重点】认识变量、常量,会用式子表示变量间的关系【难点】用含有一个变量的式子表示另一个变量【教师准备】教学中出示的教学插图和例题【学生准备】预习教材内容导入一当我们用数学的眼光来分析现实世界的各种现象时,会遇到各种各样的量,如物体运动中的速度、时间和距离圆的半径、周长和圆周率购买商品的数量、单价和总价某城市一天中各时刻变化着的气温等在某一个过程中,有些量固定不变,有些量不断改变为了更好地认识和了解这些变化现象中所隐含的变化规律,从本节课开始我们将学习这一部分知识设计意图利用学生较熟悉的生活实例引入本课学习的内容,调动学生学习的积极性导入二飞机从武汉飞往北京,在这个行驶的过程中,哪些量没有发生改变,哪些量发生了改变学生说出自己的看法如飞机上乘客的人数不变飞机离地面的高度在改变飞机油箱中的汽油在不停的减少,飞机离武汉越来越远,离北京越来越近,教师也可以让学生举出自己熟悉的例子,据此引出今天学习的课题变量与函数设计意图由学生经历的事情提问题,能引起学生的好奇心1变量与常量的概念问题汽车以60KM/H的速度匀速行驶,行驶时间为TH填写表191,S的值随T的值的变化而变化吗出示教材表191表191T/H12345S/KM学生填表,并思考1根据题意填写下表T/H12345S/KM2在以上这个过程中,变化的量是不变化的量是3试用含T的式子表示S教师引导学生交流从题意中可以知道汽车是匀速行驶,那么它1H行驶60KM,2H行驶260KM,即120KM,3H行驶360KM,即180KM,4H行驶460KM,即240KM,5H行驶560KM,即300KMT/H12345S/KM60120180240300因此其中行驶里程S与时间T是变化的量,速度60KM/H是不变的量行驶里程SKM与时间TH之间有关系S60TS随T的增大而增大设计意图挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情境,让学生经历探索具体情境中的变量与常量问题电影票的售价为10元/张,第一场售出150张票,第二场售出205张票,第三场售出310张票,三场电影的票房收入各是多少元设一场电影售出X张票,票房收入为Y元,Y的值随X的值的变化而变化吗学生分析问题,并同桌交流1电影票的售价为10元/张,第一场售出150张票,则第一场电影的票房收入为元第二场售出205张票,则第二场电影的票房收入为元第三场售出310张票,则第三场电影的票房收入为元2设一场电影售票X张,票房收入Y元,则用含X的式子表示Y为教师解析第一场电影的票房收入为150101500元第二场电影的票房收入为205102050元第三场电影的票房收入为310103100元用含X的式子表示Y为Y10X,Y随X的增大而增大设计意图通过适当地把问题进行分解,引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律问题你见过水中涟漪吗如图所示,圆形水波慢慢的扩大在这一过程中,当圆的半径R分别为10CM,20CM,30CM时,圆的面积S分别为多少S的值随R的值的变化而变化吗学生活动填表,并讨论1填表半径RCM102030圆面积SCM22S与R之间满足下列关系S教师解析1半径RCM102030圆面积SCM2314125628262SR2圆的半径越大,它的面积就越大设计意图挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情境,让学生经历探索具体情境中两个变量关系的过程,直接获得探索变量关系的体验问题用10M长的绳子围成一个矩形,当矩形的一边长X分别为3M,35M,4M,45M时,它的邻边长Y分别为多少Y的值随X的值的变化而变化吗学生活动小组讨论后,教师进行解析因为矩形两组对边相等,所以它的一边长与它的邻边长的和应是周长10M的一半,即5M若矩形一边长为3M,则它的邻边长为532M若矩形一边长为35M,则它的邻边长为53515M若矩形一边长为4M,则它的邻边长为541M若矩形一边长为45M,则它的邻边长为54505M若矩形一边长为XM,则它的邻边长为Y5XM,Y随X的增大而减小设计意图在本环节中,设计了问题情境,目的是让学生在现实情境中感知变量和常量的存在和意义,体会变量之间的互相依存关系和变化规律此外,希望通过这几个问题引出常量、变量的概念,使学生体验从具体到抽象的认识过程这些问题反映了不同事物的变化过程,涉及多个量,你能将这些问题中出现的量按照某种标准进行分类吗学生分组讨论,交流自己的看法按照有无变化,我们发现其中有些量例如时间T,路程S售出票数X,票房收入Y的值是变化的,有些量的值始终不变例如速度60KM/H电影票的单价10元,因此可分为两类师生共同总结出变量和常量的定义并板书变量和常量的定义在某个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量数值始终不变的量叫做常量设计意图通过上述的四个问题进行具体的讲评,借助实例来理解变量、常量的概念,在讲解概念后强调常量与变量的区别与联系,使学生进一步理解、领会有关常量和变量的概念2问题讲解在学习与生活中,经常要研究一些数量关系,先看下面的问题问题1下图是某地一天的气温变化图象,任意给出这天中的某一时刻T,你能说出这一时刻的气温T吗这一问题中涉及哪几个量它们变化吗学生结合图,说出每一时刻所对应的温度值,教师进行确认问题2弹簧原长22CM,弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度YCM与所挂物体的质量XKG有如下关系X/KG0123456Y/CM22225232352424525在这个问题中变化的量是什么不变化的量是什么学生讨论发现弹簧的原长不变,为22CM,弹簧伸长的长度随着物体质量的变化而变化因此,弹簧的总长原长伸长的长度问题3你能举出生活中类似的例子吗可以小组讨论学生讨论、举例,在上述实例的解决过程中,体会在一个变化过程中各个量的变化规律,进而发现有的量变化、有的量不变教师引导学生概括在上面的问题中,我们研究了一些数量关系,出现了各种各样的量,有些量,它们始终保持不变,我们称之为常量,而有些量,在某一变化过程中,可以取不同数值,我们称之为变量设计意图在本环节中,设计了问题情境,并让学生举出生活中类似的例子,目的是让学生在现实情境中感知变量和常量的存在和意义,体会变量之间的互相依存关系和变化规律此外,希望通过这几个问题引出常量、变量的概念,使学生体验从具体到抽象的认识过程知识拓展1常量与变量是相对而言的,是相对某个变化过程来说的,换句话说,在这个变化过程中是变量,而在另一个变化过程中有可能以常量身份出现如SVT中,若V20,此式子为S20T,可见S,T为变量,若T10,此式子为S10V,S,V为变量,变量与常量的身份可以相互转化2判断一个量是常量还是变量关键是看这个量所在的变化过程中,该量的值是否发生变化3常数也叫常量,如SR2,其中常量是3例题讲解补充若球体体积为V,半径为R,则VR3其中变量是、,常量是解析根据变量和常量的概念进行求解,解题时注意是一个常量答案VR补充写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量1圆的周长C与半径R的关系式2火车以60千米/时的速度行驶,它驶过的路程S千米和所用时间T小时的关系式解析先根据实际问题确定所给问题的关系式,再根据变量和常量的概念进行求解解1C2R,2是常量,R,C是变量2S60T,60是常量,T,S是变量设计意图通过上述几个问题进行具体的讲评,借助实例来理解变量、常量的概念本节课从现实问题出发,找出了寻求事物变化中变量之间变化规律的一般方法步骤它对以后学习函数及建立函数关系式有很重要的意义1确定事物变化中的变量与常量变量和常量的定义在某个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量数值始终不变的量叫做常量2尝试运算寻求变量间存在的规律3利用学过的有关知识公式确定关系式设计意图通过小结、课堂训练和学生反思,进一步理顺学生的学习思路,加深对变量、常量有关概念的理解1学校购买某种型号的钢笔作为学生的奖品,钢笔的价格是4元/支,则总金额Y元与购买支数X支的关系式是,其中变量是,常量是解析钢笔的价格是4元/支,总金额Y元与购买支数X支的关系式是Y4X,变量为X,Y,常量为4答案Y4XX,Y42在圆的周长公式C2R中,下列说法正确的是A,R是变量,2是常量BR是变量,C,2,是常量CC是变量,2,R是常量DC,R是变量,2,是常量解析C2R,变量为C,R,常量为2,故选D3分别指出下列各关系式中的变量与常量1三角形的一边长为5CM,它的面积SCM2与这边上的高HCM的关系式是SH2若直角三角形中的一个锐角的度数为度,则另一个锐角度与度间的关系式是90解1SH,变量为S,H,常量为290,变量为,常量为1,904要画一个面积为10CM2的圆,圆的半径应取多少圆的面积为20CM2呢怎样用含有圆面积S的式子表示圆半径R解根据圆的面积公式SR2,得R,面积为10CM2的圆半径R178CM面积为20CM2的圆半径R252CM用圆面积S的式子表示圆半径R的关系式为R第1课时1变量与常量的概念变量在一个变化过程中,数值发生变化的量为变量常量在一个变化过程中,数值始终不变的量为常量2例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第71页练习【选做题】教材第81页习题191第1,2题二、课后作业【基础巩固】1甲、乙两地相距S千米,某人行完全程所用的时间T小时与他的速度V千米/时满足VTS,在这个变化过程中,下列判断中错误的是AS是变量BT是变量CV是变量DS是常量2小军用50元钱去买单价是8元的笔记本,则他剩余的钱Q元与他买这种笔记本的本数X之间的关系式是AQ8XBQ8X50CQ508XDQ8X5032015临沂中考已知甲、乙两地相距20千米,汽车从甲地运输匀速行驶到乙地,则汽车行驶时间T单位小时关于行驶速度V单位千米/时的函数关系式是AT20VBTCTDT4长方形相邻两边长分别为X,Y,面积为30,则用含X的式子表示Y为,则这个问题中,是常量是变量5汽车开始行驶时油箱内有油40升,如果每小时耗油5升,那么油箱内剩余油量Q升与行驶时间T小时的关系式是6根据下列题意写出适当的关系式,并指出其中的变量与常量1多边形的内角和W与边数N的关系2甲、乙两地相距Y千米,一自行车以每小时10千米的速度从甲地驶向乙地,试用行驶时间T小时表示自行车离乙地的距离S千米【能力提升】7某种报纸的价格是每份04元,买X份报纸的总价为Y元,先填写下表,再用含X的式子表示Y份数/份1234价钱/元X与Y之间的关系式是8现有笔记本500本,学生X人,若每人5本,则余下Y本笔记本,用含X的式子表示Y为Y,其中常量是,Y和X都是量9夏季高山上温度从山脚起每升高100米降低07,已知山脚下的温度是23,则温度Y与上升高度X米之间的关系式为【拓展探究】10圆柱形物体如下图横截面那样堆放试确定圆柱形物体的总数Y与层数X之间的关系式【答案与解析】1A解析某人行完全程,甲、乙两地距离不变,故S是常量,因此A不正确2C解析单价是8元的笔记本,买这种笔记本X本用了8X元,故Q508X故选C3B解析根据时间,有T故选B4Y30X,Y解析由长方形的面积长宽进行求解5Q405T解析根据剩余油量总油量已用油量进行求解6解1WN2180,变量为W,N常量为2,1802SY10T,变量为S,T常量为10,Y704081216Y04X解析根据总金额单价数量进行求解85005X500,5变解析根据剩余笔记本数总的笔记本数已发的笔记本数进行求解9Y23X10解析要求变量间的关系式,需首先知道两个变量间存在的规律是什么不妨尝试堆放,找出规律,再寻求确定关系式的办法解由题意可知堆放1层,总数Y1,堆放2层,总数Y12,堆放3层,总数Y123,堆放X层,总数Y123X,即YXX1本节课以问题为载体、以学生为主体、以合作交流为手段、以能力提高为目的在探究知识上,以学生自主探究分组交流为主线,发挥学生的主体作用在课堂教学中选择贴近生活的实例,与变量和常量的概念紧密结合,能使课堂效果达到最佳状态在某个变化过程中,变量和常量是相对而言的,学生理解较困难,解题时学生容易出现把看成变量这种错误教学时通过对比教学多举出变量和常量是相对而言的事例,让学生真正理解变量和常量的概念练习教材第71页解1变量为X,Y常量为42变量为T,W常量为02,303变量为R,C常量为4变量为X,Y常量为10函数的起源函数的概念在17世纪已经引入,牛顿ISAACNEWTON,16421727,英国科学家的自然哲学的数学原理中提出的“生成量”就是雏形的函数概念笛卡儿R名言“我思故我在”引入变量后,随之而来的便是函数的概念他指出Y和X是变量“未知量和未定的量”的时候,也注意到Y依赖于X而变这正是函数思想的萌芽,但是他没有使用“函数”这个词最早把“函数”FUNCTION这个词用作数学术语的数学家是莱布尼茨GOTTFRIEDWILHELMLEIBNIZ,16461716,德国数学家,但其含义和现在不同,他把函数看成是“像曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线段长度等所有与曲线上的点有关的量”1718年,瑞士数学家约翰贝努利JOHNBERNOULLI,16671748,欧拉的数学老师将函数概念公式化,给出了函数的一个定义,同时第一次使用了“变量”这个词他写到“变量的函数就是变量和变量以任何方式组成的量”他的学生,瑞士数学家欧拉LEONARDEULER,17071783,被称为历史上最“多产”的数学家将约翰贝努利的思想进一步解析化,他在无限小分析引论中将函数定义为“变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式”,欧拉的函数定义在18世纪后期占据了统治地位我国“函数”一词,是代数积拾级中首先使用的这本书把函数定义为“凡此变数中含彼变数,则此为彼之函数”这里的“函”指包含的意思这个定义相当于欧拉的解析表达式定义在一个式中“包含”着变量X,那么这个式子就是X的函数函数这个概念已成为数学中最重要的几个概念之一,而变量这个词却逐渐被新的词所代替第课时初步了解函数三种表示方法以及三种表示方法的优缺点,会根据具体情况选择适当方法表示函数1经历回顾思考,训练提高归纳总结能力2利用数形结合思想,根据具体情况选用适当方法解决问题的能力通过分析具体的问题中的一个变量的值对应着另一个变量的值,体会到函数是刻画变量之间的对应关系的数学模型【重点】函数表示方法的应用【难点】确定实际问题中函数自变量的取值范围【教师准备】带有网格的纸,三角板【学生准备】三角板,铅笔,带有网格的纸导入一你听说过“两个铁球同时落地”的故事吗站在比萨斜塔顶部,让两个铁球自由下落,在铁球下落的过程中,随着时间的变化,铁球下落的速度是怎样变化的铁球下落的速度V随下落的时间T的变化而变化这就是我们今天要继续学习的内容设计意图结合学生熟悉的故事导入新课,激发学生的学习兴趣,并且提高学生对新知识的求知欲,为本节课的学习打下基础导入二1有根弹簧原长10CM,每挂1KG重物,弹簧伸长05CM,设所挂的重物为MKG,受力后弹簧的长度为LCM,根据上述信息完成下表M/KG012335L/CM受力后弹簧的长度L是所挂重物质量M的函数吗2有一辆出租车,前3公里内的起步价为8元,每超过1公里收2元,有一位乘客坐了TT3公里,他付费Y元,用含X的式子表示Y3如图所示的是某地某一天的气温变化图学生自由思考,自由发言上面用图、表格或关系式表达的问题反映了两个变量之间的关系设计意图出示题目,同时提出新的问题,让学生在解决旧知的基础上提出问题,从而激发学生的学习兴趣,并且提高学生对新知识的求知欲,为本节课的学习打下基础1自变量、函数和函数值思路一过渡语前面我们学习了变量与常量,下面我们一起来思考下面的问题1下图是体检时的心电图其中横坐标X表示时间,纵坐标Y表示心脏部位的生物电流,它们是两个变量在心电图中,对于X的每个确定的值,Y都有唯一确定的对应值吗2在下面的我国人口数统计表中,年份与人口数可以记作两个变量X与Y,对于表中每一个确定的年份X,都对应着一个确定的人口数Y吗中国人口数统计表年份人口数/亿1984103419891106199411761999125220101371学生通过观察发现在问题1的心电图中,对于X的每个确定值,Y都有唯一确定的值与其对应在问题2中,对于表中每个确定的年份X,都对应着一个确定的人口数Y引导学生归纳上面用图或表格表达的问题中的两个变量互相联系,当其中一个变量取定一个值时,另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应教师总结一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量X与Y,并且对于X的每个确定的值,Y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说X是自变量,Y是X的函数如果当XA时,YB,那么B叫做当自变量的值为A时的函数值学生分析上面两个问题中的自变量和函数,并交流在以上心电图问题中,时间X是自变量,心脏电流Y是X的函数人口数统计表中,年份X是自变量,人口数Y是X的函数当X2010时,函数值Y1371思路二过渡语生活中有许许多多的图形与图象,比如体检时的心电图,心电图直观地反映了心脏生物电流与时间的关系,电流随时间的变化而变化又如投篮后,篮球划过的一道优美的弧线抛物线,有些问题中的函数关系很难列式子表示,但我们可以通过图象来直观反映,比如心电图直观地反映心脏生物电流与时间的关系抛物线直观地反映了篮球的高度与水平距离之间的函数关系,即使对于能列式表示的函数关系,若也能画图表示,则会使函数关系更清晰教师随着学生的思考渐渐提问你去过游乐园吗你坐过摩天轮吗你能描述一下坐摩天轮的感觉吗当人坐在摩天轮上时,人的高度随时间在变化,那么变化有规律吗摩天轮上一点的高度H与旋转时间T之间有一定的关系,下图就反映了时间TMIN与摩天轮上一点的高度HM之间的关系,你能从下图中观察出有几个变化的量吗当T分别取3,6,10时,相应的H是多少给定一个T值,你都能找到相应的H值吗学生围绕问题先独立思考,再进行小组交流当人坐在摩天轮上时,人的高度随时间在变化,人的高度随时间的变化先增加后减小,然后再增加,接着再减小,按这个规律变化从图上可以看出,有两个变量,旋转时间T和摩天轮上一点的高度H,当T分别取3,6,10时,相应的H是47,3,35,给定一个T值,都能找到相应的H值提问瓶子或罐头盒等圆柱形的物体,常如下图那样堆放随着层数的增加,物体的总数是如何变化的填写下表层数N12345物体总数Y学生边数边填写上表,观察发现按如图那样堆放,随着层数的增加,物体的总数逐渐增加层数N12345物体总数Y1361015提问一定质量的气体在体积不变时,若温度降低到273,则气体的压强为零,因此,物理学把273作为热力学温度的零度热力学温度TK,它与摄氏温度T之间有如下数量关系TT273,T01当T分别等于43,27,0,18时,相应的热力学温度T是多少2给定一个大于273的T值,你能求出相应的T值吗同桌交流自己的计算方法,再独立完成解答过程由热力学温度TK与摄氏温度T之间的数量关系TT273,T0可得1当T分别等于43,27,0,18时,相应的热力学温度T是230,246,273,2912给定一个大于273的T值,利用公式TT273,能求出相应的T值引导学生归纳上面用图或表格表达的问题中的两个变量互相联系,当其中一个变量取定一个值时,另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应教师总结一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量X与Y,并且对于X的每个确定的值,Y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说X是自变量,Y是X的函数如果当XA时,YB,那么B叫做当自变量的值为A时的函数值练一练你能说说上面三个问题中的自变量,函数和函数值吗学生代表发言,教师点评设计意图通过上面三个问题的展示,使学生们初步感受到现实生活中存在大量的变量间的关系,并且一个变量是随着另一个变量的变化而变化的变量之间的关系表示方式是多样的图象、列表和解析式等,初步了解三种方式表示两个变量之间关系的各自特点知识拓展1当已知函数解析式时,给出自变量的值,求相应函数值,就是将自变量X的值代入函数解析式,求代数式的值2当已知函数解析式时,给出函数值,求相应自变量X的值,就是解方程3已知函数解析式,当自变量确定时,函数值也唯一确定当函数值确定时,自变量不一定唯一确定2例题讲解过渡语函数是刻画变量之间的对应关系的数学模型,许多问题中变量之间的关系都可以用函数来表示教材例1汽车油箱中有汽油50L如果不再加油,那么油箱中的油量Y单位L随行驶路程X单位KM的增加而减少,平均耗油量为01L/KM1写出表示Y与X的函数关系的式子2指出自变量X的取值范围3汽车行驶200KM时,油箱中还有多少汽油师生共同分析1油箱中的油量总量用去的油量2X代表的实际意义为行驶路程,因此X不能取负数行驶中的耗油量为01X,它不能超过油箱中现有汽油量503汽车行驶200KM时,油箱中的汽油量是函数Y5001X在X200时的函数值解1行驶路程X是自变量,油箱中的油量Y是X的函数,它们的关系为Y5001X2仅从式子Y5001X看,X可以取任意实数但是考虑到X代表的实际意义为行驶路程,因此X不能取负数行驶中的耗油量为01X,它不能超过油箱中现有汽油量50,即01X50因此,自变量X的取值范围是0X5003汽车行驶200KM时,油箱中的汽油量是函数Y5001X在X200时的函数值将X200代入Y5001X,得Y500120030故汽车行驶200KM时,油箱中还有30L汽油归纳总结当函数关系式表示实际问题时,自变量的取值必须使实际问题有意义补充求下列函数中自变量X的取值范围1Y3X12Y2X273Y4Y学生独立分析用数学式子表示的函数,一般来说,自变量的取值范围是使式子有意义的值,对于上述的第12两题,X取任意实数,这两个式子都有意义,而对于第3题,X2必须不等于0式子才有意义,对于第4题,X2必须是非负数式子才有意义解1X为任意实数2X为任意实数3根据题意,得X20,则X24根据题意,得X20,则X2归纳总结含分式的函数,自变量的取值范围应满足的条件是分母不为0含二次根式的函数,自变量的取值范围应满足的条件是被开方数为非负数既含分式又含二次根式的函数,自变量的取值范围应满足的条件是分母不为0且被开方数为非负数3解析式在例1中,像Y5001X这样,用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系,是描述函数的常用方法这种式子叫做函数的解析式1在变化过程中有两个变量X,Y,如果对于X的取值范围内的每一个确定的值Y都有唯一的值和它对应,那么就说Y是X的函数,X是自变量2函数解析式中自变量的取值范围必须使函数解析式有意义可分为下列几种情况当函数解析式是整式时,自变量的取值范围是全体实数当函数解析式是分式分母中含有字母时,自变量的取值范围要使分母不为零当函数解析式是偶次根式时,自变量的取值范围必须使被开方数是非负数在实际问题中,自变量的取值范围除使函数解析式有意义外,还要使实际问题有意义自变量的取值范围可以是有限或无限的,也可以是几个数或单独的一个数如Y中,自变量Z的取值范围是Z0Y中,自变量X的取值范围是X2教师说明函数解析式是等式,指明了哪个是自变量,哪个是函数,书写函数解析式是有顺序的例如YX4表示Y是X的函数若XY5,则表示X是Y的函数,也就是说求Y关于X的函数解析式,必须用含自变量X的代数式表示Y,即等式的左边是一个变量Y,右边是一个含X的代数式师生共同回顾本节课所学的主要内容1在变化过程中有两个变量X,Y,如果对于X的取值范围内的每一个确定的值Y都有唯一的值和它对应,那么就说Y是X的函数,X是自变量2函数解析式中自变量的取值范围必须使函数解析式有意义1当函数解析式是整式时,自变量的取值范围是全体实数2当函数解析式是分式分母中含有字母时,自变量的取值范围要使分母不为零3当函数解析式是偶次根式时,自变量的取值范围必须使被开方数是非负数4在实际问题中,自变量的取值范围除使函数解析式有意义外,还要使实际问题有意义1下表表示Y与X的函数关系,则此函数的解析式为X642024Y321012解析根据表格中的数据知Y是X的一半的相反数,故Y05X故填Y05X2自来水的收费标准是每月不超过10吨,每吨水12元,超过部分每吨水18元,小王家5月份用水X吨X10,应交水费Y元,则Y与X的函数关系式为解析小王家的水费10吨的水费超过10吨部分的水费即Y101218X101218X1818X6故填Y18X63甲车速度为20米/秒,乙车速度为25米/秒现甲车在乙车前面500米,设X秒后两车之间的距离为Y米求Y随X0X100变化的函数解析式解由题意可知X秒后两车行驶路程分别是甲车为20X米,乙车为25X米两车行驶路程差为25X20X5X米,两车之间距离为5005X米,所以Y随X变化的函数关系式为Y5005X0X100第2课时1自变量、函数和函数值2例题讲解3解析式一、教材作业【必做题】教材第74页练习第1题教材第81页习题191第3题【选做题】教材第82页习题191练习第5题二、课后作业【基础巩固】1下列Y与X的函数关系式中,Y是X的函数的是AXY2BYXCY2X1DY|X|22015内江中考函数Y中自变量X的取值范围是AX2BX2且X1CX2且X1DX132015广安中考如图所示,数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围,则这个函数解析式为AYX2BYX22CYDY4若函数Y则当函数值Y8时,自变量X的值是AB4C或4D4或5下列函数中,自变量的取值范围错误的是AY2X2中,X取全体实数BY中,X取X1的实数CY中,X取X2的实数DY中,X取X3的实数【能力提升】6下列每组函数是相同函数的是填序号YX与YY|X|与YY与YXY与Y27已知两个变量X,Y满足关系式2X3Y10,试问Y是X的函数吗X是Y的函数吗若是,写出Y与X的关系式,若不是,说明理由8国际上广泛用“身体体重指数”作为判断人体健康状况的一个指标,这个指数B等于人体体重G千克除以人体身高H米的平方所得的商1写出身体体重指数B与G,H之间的函数关系式2下表是国内健康组织提供的参考标准,若黄老师体重为70千克,身高为170米,则他的身体健康状况属于哪一种身体体重指数范围身体健康状况B18不健康瘦弱18B20偏瘦20B25正常25B30超重B30不健康肥胖9某市出租车收费标准如下3KM以内含3KM收费8元超过3KM的部分每千米收费16元1写出收费Y元与出租车行驶路程XKM之间的函数关系式X32小亮乘出租车行驶4KM,应付车费多少元3若小波付车费16元,则出租车行驶了多少千米【拓展探究】10某礼堂共有25排座位,第一排20个座位,后面每一排比前一排多1个座位,写出每排的座位数M与这排的排数N的函数关系式,并写出自变量的取值范围在其他条件不变的条件下,请探究下列问题1当后面每一排都比前一排多2个座位时,则每排的座位数M与这排的排数N的函数关系式是1N25,且N为正整数2当后面每一排都比前一排多3个座位、4个座位时,则每排的座位数M与这排的排数N的函数关系式分别是,1N25,且N为正整数3某剧院共有P排座位,第一排有A个座位,后面每一排都比前一排多B个座位,试写出每排的座位数M与这排的排数N的函数关系式,并写出自变量N的取值范围【答案与解析】1D解析任意给出一个X的值,求出的Y值只能有一个故选D2B解析由题意得所以X2且X1故选B3C解析AYX2,X为任意实数,故错误BYX22,X为任意实数,故错误CY,X20,即X2,故正确DY,X20,即X2,故错误故选C4D解析把Y8代入Y中,先代入上边的解析式得X,X2,X不合题意舍去,X再代入下边的解析式得X4,X2,X4故选D5D解析D选项中自变量的取值范围应是X3,故此选项错误6解析两个函数如果相同,那么这两个函数化简后的关系式相同,同时自变量的取值范围相同7解Y是X的函数,YX是Y的函数,X8解1依题意,得B2G70,H170,B2422,20B25,黄老师身体健康状况正常9解1根据题意,得Y8X316,即Y16X32X32当X4时,Y1643296答小亮乘出租车行驶4KM,应付车费96元3当Y16时,1616X32,解得X8答若小波付车费16元,则出租车行驶了8KM10解MN191N25,且N为正整数1M2N182M3N17M4N163MN1BA1NP,且N为正整数本节课从知识与方法、能力与素质的层面确定了相应的教学目标把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要求学生在教师的引导下自主探索,合作交流,另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的在教学过程中,高估了学生的识图能力,主要的困难在于学生从图形获取信息的能力较弱,教学中忽略了对学生这方面能力的培养加强学生识图能力的教学,让学生多动手,多观察,熟练地从图形中获取信息练习教材第74页1解1X是自变量,S是自变量X的函数,函数解析式为SX22X是自变量,Y是自变量X的函数,函数解析式为Y01X3N是自变量,Y是自变量N的函数,函数解析式为Y4T是自变量,V是自变量T的函数,函数解析式为V10005T2解由题意知S2X3X32X5解析函数的定义函数的定义中包含三个要素1自变量的取值范围2两个变量之间的对应关系3后一个变量被唯一确定而形成的变化范围1函数不是数,函数的本质是对应,函数关系就是变量之间的对应关系,且是一种特殊的对应关系,必须是“对于X的每一个值,Y都有唯一的值与之对应”例如“一个数与它的绝对值”,若一个数用X表示,它的绝对值用Y表示,其中X可以取任意实数,即自变量的取值范围是全体实数,对应关系是一个数与它的绝对值对应,一个数的绝对值是这个数的函数2自变量与函数用什么字母表示无关紧要,自变量可以用X表示,也可以用T,U,P中任何一个表示,函数可用Y表示,也可用S,V,Q中任何一个表示3在我们所研究的范围内,如果两个变量之间虽有一定的关系,但不符合函数定义中的对应关系,也就是说,这种关系不是“唯一确定”的关系,那么这两个变量之间就不存在函数关系4函数的定义中指出“对于X的每一个值,Y都有唯一的值与之对应”但对于自变量X的每一个不同值,Y不一定都有不同的值与之对应1912函数的图象1掌握用描点法画出一些简单函数的图象,能根据函数图象所提供的信息获取函数的性质2全面理解函数的三种表示方法,进一步了解三种表示方法的优缺点3会根据具体情况选择适当方法表示函数1学生通过自己动手,体会用描点法画函数的图象的步骤2通过作图、交流、归纳等数学活动,会利用函数知识推测事物发展趋势的能力1从图象中获得变量之间的关系的有关信息,并预测变化趋势,进行科学决策,应用于社会生活2让学生通过实际操作,体会函数三种表示法在实际生活中的应用价值,渗透数形结合思想,体会到数学来源于生活,又应用于生活,培养学生的团结协作精神、探索精神和合作交流的能力【重点】会用描点法画函数的图象,并能利用函数的三种表示方法解决实际问题【难点】函数的三种表示方法的应用第课时掌握用描点法画出一些简单函数的图象,能根据函数图象所提供的信息获取函数的性质1结合实际问题,经历探索用图象表示函数的过程2学生通过自己动手,体会用描点法画函数的图象的步骤1从图象中获得变量之间的关系的有关信息,并预测变化趋势,进行科学决策,应用于社会生活2渗透数形结合思想,体会到数学来源于生活,又应用于生活,培养学生的团结协作精神、探索精神和合作交流的能力【重点】会用描点法画函数的图象【难点】能正确无误地观察函数的图象【教师准备】教学中出示的教学插图和例题【学生准备】坐标纸导入一下图是自动测温仪记录的图象,它反映了北京的春季某天气温T如何随时间T的变化而变化你从图象中得到了哪些信息教师引导学生从两个变量的对应关系上认识函数,体会函数意义可以指导学生找出一天内最高、最低气温及时间学生在教师引导下自由回答图中有一个直角坐标系,它的横轴是T轴,表示时间它的纵轴是T轴,表示气温这一气温曲线实质上给出了某日的气温T与时间T时的函数关系例如,14时的气温是8,表现在气温曲线上,就是可以找到这样的对应点,它的坐标是14,8实质上也就是说,当T14时,对应的函数值T8气温曲线上每一个点的坐标T,T,表示时间为T时的气温是T教师引导总结结论1一天中每时刻T都有唯一的气温T与之对应可以认为,气温T是时间T的函数2这天中4时气温最低,为314时气温最高,为83从0时至4时气温呈下降状态,即温度随时间的增加而下降从4时至14时气温呈上升状态,从14时至24时气温又呈下降状态4我们可以从图象中直观看出一天中气温变化情况及任一时刻的气温大约是多少5如果长期观察这样的气温图象,我们就能得到更多信息,掌握更多气温变化规律本节课我们一起来探究用描点法画出一些简单函数的图象,能根据函数图象所提供的信息获取函数的性质设计意图利用旧知导入新课,学生比较容易接受和进一步学习新知导入二过渡语我们在前面学习了函数意义,并掌握了函数关系式的确立但有些函数问题很难用函数关系式表示出来,然而可以通过图来直观反映例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关系即使对于能列式表示的函数关系,如果也能画图表示则会使函数关系更清晰如图,这是2014年3月23日上证指数走势图,你是如何从图上找到各个时刻的上证指数的学生说出自己的观察情况图中,有一个直角坐标系,它的横轴表示时间它的纵轴表示上证指数这一指数曲线实质上给出了3月23日的指数与时间的函数关系例如,1430的指数是174626,表现在指数曲线上,就是可以找到这样的对应点,它的坐标是1430,174626实质上也就是说,当时间是1430时,对应的函数值是174626上面指数走势图是用图象表示函数的一个实际例子我们这节课就来解决如何画函数图象的问题及解读函数图象信息设计意图挖掘和利用现实生活中与函数图象有关的背景,让学生在观察中认识、理解函数的图象1函数的图象思路一我们先来看这样一个问题正方形的边长X与面积S的函数关系是什么其中自变量X的取值范围是什么计算并填写下表X0051152253354S学生计算发现函数关系式为SX2,因为X代表正方形的边长,所以自变量X0,将每个X的值代入函数关系式即可求出对应的S值教师启发好如果我们在直角坐标系中,将你所填表格中的自变量X及对应的函数值S当作一个点的横坐标与纵坐标,即可在坐标系中得到一些点大家思考一下,表示X与S的对应关系的点有多少个如果全在坐标纸中描出的话是什么样子可以讨论一下,然后发表你们的看法,建议大家不妨动手画画看学生在坐标纸中尝试描点,发现这样的点有无数个,如果全描出来太麻烦,也不可能我们只能描出其中一部分,然后想象出其他点的位置,用光滑曲线连接起来教师点评很好这样我们就得到了一幅表示S与X关系的图图中每个点都代表X的值与S的值的一种对应关系如点2,4表示X2时S4归纳总结一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象上图中的曲线即为函数SX2X0的图象思路二请同学们阅读教材第75页,独立完成下面的问题画函数SX2X0的图象第一步列表X0051152253S第二步描点以X的值为坐标,相应的函数值为坐标,描出表格中数值对应的各点第三步连线按照坐标由小到大的顺序,把所描各点从左到右用平滑的曲线连接起来注意原点要排除为什么,从所画的图象上可以看出,曲线从左向右,即当X由小变大时,S随X的增大而归纳一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的、坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的教师观察学生画图情况,参与小组讨论,引导学生归纳一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象上图中的曲线即为函数SX2X0的图象2用描点法画函数的图象思路一要做一个面积为12M2的长方形小花坛,该花坛的一边长为XM,周长为YM1变量Y是变量X的函数吗如果是,写出自变量的取值范围2能求出这个问题的函数解析式吗3当X的值分别为1,2,3,4,5,6时,请列表表示变量之间的对应关系4能画出函数的图象吗师生分析,共同完成解答1由于面积一定的长方形,当一条边长为XM时,另一条边长可以用X表示出来,那么长方形的周长Y随着X的变化而变化,由函数的定义可知,Y是X的函数,自变量X的取值范围是X02由长方形的面积公式可得,另一条边长为M,周长为Y2XM3列表X/M123456Y/M26161414148164描点,连线,如图所示归纳总结用描点法画函数图象的一般步骤第一步列表表中给出一些自变量的值及其对应的函数值第二步描点在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点第三步连线按照横坐标由小到大的顺序,把所描出的各点用平滑曲线连接起来设计意图根据函数图象的画法,让学生充分体会图象的作法和步骤思路二过渡语我们一起来试一试如何画函数图象画YX0的图象第一步列表X11523456YX0第二步描点以X的值为坐标,相应的函数值为坐标,描出表格中数值对应的各点第三步连线按照坐标由小到大的顺序,把所描各点从左到右用平滑的曲线连接起来观察从所画的图象上可以看出,曲线从左向右,即当X由小变大时,Y随X的增大而学生画图后,同桌交流,并与教材78页对照检查是否相同教师引导学生观察图象,曲线从左向右下降,即当X由小到大时,YX0随之减小你能总结下用描点法画图的步骤吗学生总结后,阅读教材79页内容知识拓展画实际问题的图象时,必须先考虑函数自变量的取值范围有时为了表达的方便,建立直角坐标系时,横轴和纵轴上的单位长度可以取得不一致3例题讲解教材例3在下列式子中,对于X的每一个确定的值,Y有唯一的对应值,即Y是X的函数画出这些函数的图象1YX052YX0解1从式子YX05可以看出,X取任意实数时这个式子都有意义,所以X的取值范围是全体实数从X的取值范围中选取一些数值,算出Y的对应值,列表计算并填写表中空格X3210123Y05051525根据表中数值描点X,Y,并用平滑曲线连接这些点从函数图象可以看出,直线从左向右上升,即当X由小变大时,YX05随之增大2YX0列表计算并填写表中空格X05115225335456Y63215根据表中数值描点X,Y,并用平滑曲线连接这些点补充王强在电脑上进行高尔夫球的模拟练习,在某处按函数关系式YX2X击球,球正好进洞其中,YM是球的飞行高度,XM是球飞出的水平距离1试画出高尔夫球飞行的路线2从图象上看,高尔夫球的最大飞行高度是多少球的起点与洞之间的距离是多少解析1高尔夫球飞行的路线,也就是函数YX2X的图象,用描点法画出图象在列表时要注意自变量X的取值范围,因为X是球飞出的水平距离,所以X不能取负数在建