高中数学人教版必修4全套教案

高中数学必修4教案1111任意角教学目标（一）知识与技能目标理解任意角的概念包括正角、负角、零角与区间角的概念（二）过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写（三）情感与态度目标1提高学生的推理能力；2培养学生应用意识教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写教学难点终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写教学过程一、引入1回顾角的定义角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形二、新课1角的有关概念角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形角的名称角的分类正角按逆时针方向旋转形成的角零角射线没有任何旋转形成的角注意在不引起混淆的情况下，“角”或“”可以简化成“”；零角的终边与始边重合，如果是零角0；角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角练习请说出角、各是多少度2象限角的概念定义若将角顶点与原点重合，角的始边与X轴的非负半轴重合，那么角的终边端点除外在第几象限，我们就说这个角是第几象限角例1如图中的角分别属于第几象限角B1YOX45B2OXB3Y3060O例2在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角60；120；240；300；420；480；负角按顺时针方向旋转形成的角始边终边顶点AOB高中数学必修4教案2答分别为1、2、3、4、1、2象限角3探究教材P3面终边相同的角的表示所有与角终边相同的角，连同在内，可构成一个集合S|K360，KZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整个周角的和注意KZ是任一角；终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同终边相同的角有无限个，它们相差360的整数倍；角K720与角终边相同，但不能表示与角终边相同的所有角例3在0到360范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角120；640；95012答240,第三象限角；280,第四象限角；12948,第二象限角；例4写出终边在Y轴上的角的集合用0到360的角表示解|90N180,NZ例5写出终边在上的角的集合S,并把S中适合不等式360720的元素X写出来4课堂小结角的定义；角的分类正角按逆时针方向旋转形成的角零角射线没有任何旋转形成的角象限角；终边相同的角的表示法5课后作业阅读教材P2P5；教材P5练习第15题；教材P9习题11第1、2、3题思考题已知角是第三象限角，则2，各是第几象限角解角属于第三象限，K360180K360270KZ因此，2K36036022K360540KZ即2K136022K1360180KZ故2是第一、二象限或终边在Y轴的非负半轴上的角又K18090K180135KZ当K为偶数时，令K2NNZ，则N36090N360135NZ，2此时，属于第二象限角2当K为奇数时，令K2N1NZ，则N360270N360315NZ，此时，属于第四象限角负角按顺时针方向旋转形成的角高中数学必修4教案3因此属于第二或第四象限角2112弧度制（一）教学目标（四）知识与技能目标理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数（五）过程与能力目标能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题（六）情感与态度目标通过新的度量角的单位制弧度制的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美教学重点弧度的概念弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明教学难点“角度制”与“弧度制”的区别与联系教学过程一、复习角度制初中所学的角度制是怎样规定角的度量的规定把周角的作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制360二、新课1引入由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的,角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度弧度制，它是如何定义呢2定义我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制在弧度制下,1弧度记做1RAD在实际运算中，常常将RAD单位省略3思考（1）一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是否是确定的与圆的半径大小有关吗（2）引导学生完成P6的探究并归纳弧度制的性质半圆所对的圆心角为整圆所对的圆心角为R2R正角的弧度数是一个正数负角的弧度数是一个负数零角的弧度数是零角的弧度数的绝对值|L4角度与弧度之间的转换将角度化为弧度；2360180RAD017458RADN180将弧度化为角度高中数学必修4教案4；2360ADP0NP5常规写法用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少的形式,不必写成小数弧度与角度不能混用6特殊角的弧度角度030456090120135150180270360弧度04324365237弧长公式LRAA弧长等于弧所对应的圆心角的弧度数的绝对值与半径的积例1把6730化成弧度例2把化成度RAD53例3计算；4SIN11T例4将下列各角化成0到2的角加上2K（KZ）的形式；3952例5将下列各角化成2KKZ,02的形式,并确定其所在的象限；161解1,7239而是第三象限的角,是第三象限角6793P2是第二象限角1516,6P,2是圆的半径是扇形弧长其中积公式利用弧度制证明扇形面例RLLRS证法一圆的面积为,圆心角为1RAD的扇形面积为,又扇形弧长为L,半径2R21为R,扇形的圆心角大小为RAD,扇形面积LLRLS2证法二设圆心角的度数为N，则在角度制下的扇形面积公式为，又此时弧长3602RNS，180RNLLRS2180可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多ORL高中数学必修4教案521RLS扇形面积公式7课堂小结什么叫1弧度角任意角的弧度的定义“角度制”与“弧度制”的联系与区别8课后作业阅读教材P6P8；教材P9练习第1、2、3、6题；教材P10面7、8题及B2、3题4121任意角的三角函数（三）教学目的知识目标1复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；2利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；3利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。能力目标掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。德育目标学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点正弦、余弦、正切线的概念。教学难点正弦、余弦、正切线的利用。教学过程一、复习引入1三角函数的定义2诱导公式ZTAN2TANCOSCOSIIKK练习1D_60的值是3C3BA练习2B_,0COSIN在则若第二、四象限第一、四象限第一、三象限第一、二象限DC练习3C_0SIN2CS的终边在则若上第二象限第四象限第三象限第一象限DCBA二、讲解新课当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值,PXY21XY的几何表示三角函数线。1有向线段坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。规定与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。高中数学必修4教案6有向线段带有方向的线段。2三角函数线的定义设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点OXP，,XY过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向PM1,0A延长线交与点T由四个图看出当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有,OMXPY，SIN1YPRCOS1RTANMPATXO我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。,AT说明（1）三条有向线段的位置正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，XX三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。（2）三条有向线段的方向正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。（3）三条有向线段的正负三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反XYXY向的为负值。（4）三条有向线段的书写有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。4例题分析例1作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。（1）；（2）；（3）；（4）3562136解图略。例21COSIN20上上OXYTPOXYMTAXYOTPAXYOMPA（）（）（）（）高中数学必修4教案754TAN32T5COS32SII13上上上21SIN204上上上X上上65D326C65B6,A例5利用单位圆写出符合下列条件的角X的范围21SINX21COSX答案（1）7,66KKZ；（2）；22,66KXKZ三、巩固与练习P17面练习四、小结本节课学习了以下内容1三角函数线的定义；2会画任意角的三角函数线；3利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。五、课后作业作业4参考资料例1利用三角函数线比较下列各组数的大小1与2与32SIN5I3TAN54T解如图可知TANTANSI4IN例2利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角1SIN2TAN3解12XYOP1P2XYOTA21030高中数学必修4教案8301503090或210270补充1利用余弦线比较的大小；COS64,2852若，则比较、的大小；42INCOSTAN3分别根据下列条件，写出角的取值范围（1）；（2）；（3）3COST13SIN24121任意角的三角函数（1）教学目的知识目标1掌握任意角的三角函数的定义；2已知角终边上一点，会求角的各三角函数值；3记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。能力目标（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。德育目标（1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。教学难点利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来教学过程一、复习引入初中锐角的三角函数是如何定义的在RTABC中，设A对边为A，B对边为B，C对边为C，锐角A的正弦、余弦、正切依次为,ABSINCOSTN角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。二、讲解新课1三角函数定义在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为P，它与原点的距离为，那么,XY22|0RXYXY（1）比值叫做的正弦，记作，即；RSINIR（2）比值叫做的余弦，记作，即；COS高中数学必修4教案9（3）比值叫做的正切，记作，即；YXTANTYX（4）比值叫做的余切，记作，即；CO说明的始边与轴的非负半轴重合，的终边没有表明一定是正角或负角，以及的大小，只表明与的终边相同的角所在的位置；根据相似三角形的知识，对于确定的角，四个比值不以点在的终边,PXY上的位置的改变而改变大小；当时，的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等2KZY于，0所以无意义；同理当时，无意义；TANYXKZYXCOT除以上两种情况外，对于确定的值，比值、分别是一个确定的YR实数，正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。2三角函数的定义域、值域注意1在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与X轴的非负半轴重合2是任意角，射线OP是角的终边，的各三角函数值（或是否有意义）与OX转了几圈，按什么方向旋转到OP的位置无关3SIN是个整体符号，不能认为是“SIN”与“”的积其余五个符号也是这样4任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的性质，“R”同为正值所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程5为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与X轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆3例题分析例1求下列各角的四个三角函数值（通过本例总结特殊角的三角函数值）（1）；（2）；（3）02解（1）因为当时，所以0XR0Y函数定义域值域SINYR1,COTA|,2KZR高中数学必修4教案10，不存在。SIN001COSTAN0COT0（2）因为当时，所以XRY，不存在，（3）因为当时，所以32，不存在，SIN1COS03TAN23COT02例2已知角的终边经过点，求的四个函数值。,P解因为，所以，于是,3XY21R；1SINR13COSXR；TA2X2TY例3已知角的终边过点，求的四个三角函数值。,0A解因为过点，所以，,5|RA,XA当；20SIN5|YAR时，5COSR；1TN2COTECS当；2250SIN5|YAAR时，；COX15TANCOTSEC5SC224三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（YR0,YR）；0,余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（X,X）；,R正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）YX,Y,XY说明若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。练习确定下列三角函数值的符号（1）；（2）；（3）；COS250SIN4TAN672（4）TAN3例4求证若且，则角是第三象限角，反之也成立。SITAN05诱导公式由三角函数的定义，就可知道终边相同的角三角函数值相同。即有，IN2SIK高中数学必修4教案11，其中COS2COSKKZ，TANTAN这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为02间角的三角函数值问题例5求下列三角函数的值（1），（2），9S41TAN6例6求函数的值域XYTANCOS解定义域COSX0X的终边不在X轴上又TANX0X的终边不在Y轴上当X是第象限角时，COSX|COSX|TANX|TANX|Y2,0Y,|COSX|COSX|TANX|TANXY2,|COSX|COSX|TANX|TANXY0,YX四、小结本节课学习了以下内容1任意角的三角函数的定义；2三角函数的定义域、值域；3三角函数的符号及诱导公式。五、巩固与练习1、教材P15面练习；2、作业P20面习题1A组第1、2、3（1）（2）（3）题及P21面第9题的（1）、（3）题。4122同角三角函数的基本关系教学目的知识目标1能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系；2熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。能力目标牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角的思维能力；教学重点同角三角函数的基本关系式教学难点三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用教学过程一、复习引入1任意角的三角函数定义设角是一个任意角，终边上任意一点，它与原点的距离为,PXY，那么，22|0RXYXYSINRCOSXRTANYX2当角分别在不同的象限时，SIN、COS、TG的符号分别是怎样的3背景如果，A为第一象限的角，如何求角A的其它三角函数值；53SIN4问题由于的三角函数都是由X、Y、R表示的，则角的三个三角函数之间有什么关系高中数学必修4教案12二、讲解新课（一）同角三角函数的基本关系式（板书课题同角的三角函数的基本关系）1由三角函数的定义，我们可以得到以下关系（1）商数关系（2）平方关系CONSITA1SIN22CO说明注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等；2SIN4CO注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如；TANCOT1,2KZ对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如，等。SSIN2I1COSSINTA2例题分析一、求值问题例1（1）已知，并且是第二象限角，求12SI3CS,TNCOT（2）已知，求4CO5SIN,TA解（1），22SIN1222215COS1I3又是第二象限角，即有，从而COS05，SITANCO55TAN12（2），22I12243SICS5又，在第二或三象限角。4S0当在第二象限时，即有，从而，；SIN03SINSINTACO4当在第四象限时，即有，从而，53总结1已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。2解题时产生遗漏的主要原因是没有确定好或不去确定角的终边位置；利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。例2已知为非零实数，用表示TANTANSI,CO解，2SICOS1C，即有，22TOST1221STAN又为非零实数，为象限角。AN高中数学必修4教案13当在第一、四象限时，即有，从而，COS0221TANCOSTAN；TANINTA当在第二、三象限时，即有，从而，COS0221TANCOSTANTAINTA例3、已知，求COS2SICOS2I54解TAN61TNCOS2SI54强调（指出）技巧1分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以,将分子、COS分母转化为的代数式；TA2“化1法”可利用平方关系，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关1COSSIN22系化归为的分式求值；TA小结化简三角函数式，化简的一般要求是（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧妙的变形，二、化简练习1化简2SIN40解原式23681SIN802COSS80练习23COCS化简三、证明恒等式例4求证O1INIX证法一由题义知，所以CS0SI0,1SINXX左边右边2CO1INIXCO原式成立证法二由题义知，所以CSSI,SIXX又，22SII1IN22COSSII高中数学必修4教案14COS1INISX证法三由题义知，所以CO0X1SIN0,SIXX，SI1INXCO22CO1SIN0XCOSS总结证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有（1）从一边开始，证明它等于另一边；（2）证明左右两边同等于同一个式子；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。四、小结本节课学习了以下内容1同角三角函数基本关系式及成立的条件；2根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；五、课后作业习案作业第五课时参考资料化简1SIN40CO解原式22S40INCOS40I|SIN40思考1已知，求51COSIN的值。及33COITA解1由,20COS,0,2S得由联立57SIN49CI得34TA53COSI57COSIN121294I33332、已知求是第四象限角，,5COS,52SNM的值。TAN解SIN2COS21153422化简，整理得8,00821当M0时，是第四象限角不合）与，53COS,54SIN当M8时，51TAN112，高中数学必修4教案1513诱导公式（一）教学目标（一）知识与技能目标理解正弦、余弦的诱导公式培养学生化归、转化的能力（二）过程与能力目标（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明（三）情感与态度目标通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质教学重点掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式教学难点运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明教学过程一、复习诱导公式（一）TAN360TANCOS360COSSIN360SINKKK诱导公式（二）T18T18I18I诱导公式（三）TANTACOSSSINSI诱导公式（四）TAN180CS180180对于五组诱导公式的理解可以是任意角；公式中的这四组诱导公式可以概括为符号。看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名的三角函数值，等于它,Z2K总结为一句话函数名不变，符号看象限练习1P27面作业1、2、3、4。2P25面的例2化简二、新课讲授1、诱导公式（五）SIN2COSSSIN2、诱导公式（六）2总结为一句话函数正变余，符号看象限例1将下列三角函数转化为锐角三角函数317SIN4,519COS3,61SIN2,53TAN练习3求下列函数值高中数学必修4教案16580TAN,670SIN3,41SIN2,65COS1例2证明（1）CO（2）SICOS例3化简29SINSI3SINC1CI的值。求已知例SI24CO2,TAN解3TAN,T7342T4A2SI原式小结三角函数的简化过程图三角函数的简化过程口诀负化正，正化小，化到锐角就行了练习4教材P28页7三课堂小结熟记诱导公式五、六；公式一至四记忆口诀函数名不变，正负看象限；运用诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数四课后作业阅读教材；习案作业七13诱导公式（二）教学目标（一）知识与技能目标理解正弦、余弦的诱导公式培养学生化归、转化的能力（二）过程与能力目标（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明（三）情感与态度目标通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质教学重点公式一或二或四任意负角的三角函数任意正角的三角函数003600间角的三角函数00900间角的三角函数查表求值公式一或三高中数学必修4教案17掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式教学难点运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明教学过程一、复习诱导公式（一）TAN360TANCOS360COSSIN360SINKKK诱导公式（二）T18T18I18I诱导公式（三）TANTACOSSSINSI诱导公式（四）SINSINCOSCOSTANTAN诱导公式五SIN2COSS2SIN诱导公式（六）II二、新课讲授练习1将下列三角函数转化为锐角三角函数317SIN4,519COS3,61SIN2,53TAN练习2求下列函数值580TA,670I,4I,6COS1例1证明（1）COS23SN（2）INCO例2化简29SINSI3SIC1CSI的值。求已知例I4CO32,TAN3解TAN7342TASI4CO32原式例4COS3TANIN,0COS,5SIN的值求且已知小结三角函数的简化过程图公式一或二或四任意负角的三角函数任意正角的三角函数003600间角的三角函数00900间角的三角函数查表求值公式一或三高中数学必修4教案18三角函数的简化过程口诀负化正，正化小，化到锐角就行了练习3教材P28页7化简2COSSIN25SICO1SI360TACOO例5273021C,IN2的两根，且的方程是关于已知AXX90SI18OS6CO26TA的值求三课堂小结熟记诱导公式五、六；公式一至四记忆口诀函数名不变，正负看象限；运用诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数四课后作业阅读教材；学案P16P17的双基训练141正弦、余弦函数的图象教学目的知识目标（1）利用单位圆中的三角函数线作出的图象，明确图象RXY,SIN的形状；（2）根据关系，作出的图象；2SINCOX,CO（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题；能力目标（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法；（2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法；德育目标通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神；教学重点用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象；教学难点作余弦函数的图象。教学过程一、复习引入1弧度定义长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。高中数学必修4教案192正、余弦函数定义设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（X,Y）P与原点的距离R022YXYXR则比值叫做的正弦记作RYRSIN比值叫做的余弦记作XCO3正弦线、余弦线设任意角的终边与单位圆相交于点PX，Y，过P作X轴的垂线，垂足为M，则有，PRYSINORXCOS向线段MP叫做角的正弦线，有向线段OM叫做角的余弦线二、讲解新课1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识（1）函数YSINX的图象第一步在直角坐标系的X轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与X1O轴的交点A起把圆分成N这里N12等份把X轴上从0到2这一段分成N这里N12等份（预备取自变量X值弧度制下角与实数的对应）第二步在单位圆中画出对应于角，,，2的正弦线正弦线（等价于6,032“列表”）把角X的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与X轴上相应的点X重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点”）第三步连线用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数YSINX，X0，2的图象根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着X轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2，就得到YSINX，XR的图象把角X的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与X轴上相应的点X重合，则R正弦线的终点的轨迹就是正弦函数YSINX的图象RYX,P高中数学必修4教案20（2）余弦函数YCOSX的图象探究1你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象根据诱导公式,可以把正弦函数YSINX的图象向左平移单位即COSIN2X2得余弦函数YCOSX的图象（课件第三页“平移曲线”）正弦函数YSINX的图象和余弦函数YCOSX的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线思考在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点2用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）正弦函数YSINX，X0，2的图象中，五个关键点是0,0,1,02,12,023余弦函数YCOSXX0,2的五个点关键是哪几个0,1,0,1,02232,1只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以3、讲解范例例1作下列函数的简图1Y1SINX，X0，2，（2）YCOSX探究2如何利用YSINX，0，的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到（1）Y1SINX,0，的图象；（2）YSINX/3的图象小结函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。探究如何利用YCOSX，0，的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到YCOSX，0，的图象小结这两个图像关于X轴对称。探究如何利用YCOSX，0，的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到Y2COSX，0，的图象小结先作YCOSX图象关于X轴对称的图形，得到YCOSX的图象，YCOSXYSINX2345623456654326543211YX11OXY高中数学必修4教案21再将YCOSX的图象向上平移2个单位，得到Y2COSX的图象。探究不用作图，你能判断函数YSINX3/2和YCOSX的图象有何关系吗请在同一坐标系中画出它们的简图，以验证你的猜想。小结SINX3/2SINX3/22SINX/2COSX这两个函数相等，图象重合。例2分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的X的集合1SIN152COS,02X三、巩固与练习四、小结本节课学习了以下内容1正弦、余弦曲线几何画法和五点法2注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系五、课后作业习案作业八142正弦、余弦函数的性质一教学目的知识目标要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；能力目标掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。德育目标让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。教学重点正、余弦函数的周期性教学难点正、余弦函数周期性的理解与应用教学过程一、复习引入1问题（1）今天是星期一，则过了七天是星期几过了十四天呢（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢2观察正（余）弦函数的图象总结规律自变量X320232函数值SIN011010正弦函数性质如下SINFX（观察图象）1正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；22525OXY1高中数学必修4教案222规律是每隔2重复出现一次（或者说每隔2K,KZ重复出现）3这个规律由诱导公式SIN2KXSINX可以说明结论象这样一种函数叫做周期函数。文字语言正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；符号语言当增加（）时，总有XKZ2SIN2SINFXKXF也即（1）当自变量增加时，正弦函数的值又重复出现；（2）对于定义域内的任意，恒成立。SI2SINKX余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。二、讲解新课1周期函数定义对于函数FX，如果存在一个非零常数T，使得当X取定义域内的每一个值时，都有FXTFX那么函数FX就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。问题（1）对于函数，有，能否说是它的周SINYXR2SINSIN63623期（2）正弦函数，是不是周期函数，如果是，周期是多少（，IK且）KZ0（3）若函数的周期为，则，也是的周期吗为什么FXTKZFX（是，其原因为）2FXFTKT2、说明1周期函数X定义域M，则必有XTM,且若T0则定义域无上界；T|，则的方向与相同，且|ABABABA|；B若|0时与方向相同；0，AB|A|B|COS，AB|A|B|COS，AB|A|B|COS，若0，向量，经过定点A（0，A）以为方向0,NAMNM向量的直线与经过定点B（0，A）以为方向向量的直线相交于点P，其中2R求点P的轨迹C的方程；例2设平面内的向量,，点P是直线OM上的一个动71OA151,2OM点，求当取最小值时，的坐标及APB的余弦值P解设点P在直线OM上，,YXP高中数学必修4教案77与共线，而，X2Y0即X2Y，OPM1,2O有