《信号与系统》-第十章-数字滤波

第十章数字滤波101线性相位FIR滤波器结构、时谱特性FIR滤波器的流图结构FIR滤波器冲激响应01HNN，已知，输入，则有HNX10NKYNHXNK（101）10NKKYZHXZZ（102）横向滤波器结构XNZ1Z1Z1Z1H0H1H2H3HN1YN图101横向滤波器结构因果系统。单位样值响应为有限序列，100NNNHZHZZ，存在域为必然是BIBO稳定。在原点Z0处有N阶极点，系统有N1个零点，因此也称为全零点滤波器，或称为滑动平均（MOVINGAVERAGE,MA）结构。线性相位系统的时谱对称性在Z平面单位圆上，是数字角频率，则有JZE10JNJJNZENHHE（103）是周期函数，周期JE2，。20,12,JMJH，定理若，为偶/奇对称，则具有理想HNNNJHE线性相位特性。偶对称，则有HN1HNNN100111100110111222NNNNNNMNMMNNNNNNNHZZHZZHZZZHZZHZHZZ，令则0N（104）于是将代入上式，可得JE1201COS2NJJJNHEHN（105）对相位的贡献是0或者10COSNNHNH，为实序列，可见系统为线性相位，参见书表109。讨论（1）当N为奇数时，关于偶对称。见书表109情况JHE1。（2）当N为偶数时，关于奇对称，且0，可JH见不能作为高通滤波器。参见书表109情况2。（3）群延迟为，为模拟角频率，T为采样12DNT间隔，T为数字角频率。奇对称，仿照上述过程，可推得HNHNN1112220NNNNZZHZ（106）11201SIN2NJJJNNHEEH（107）可见，系统为线性相位，参见书表109。讨论（1）对于任意，引入一个/2相移，此时，FIR滤波器是一个具有理想线性相移的正交移相器。（2）当N为奇数时，关于奇对称，且0，同JHEH时又由于0，不能作高通，也不能作低通，只能作带通。见0书表109情况3。（3）当N为偶数时，关于偶对称，且0，可见JE0不能作为低通。见书表109情况4。（4）群延迟为，为模拟角频率，T为采样12DNT间隔，T为数字角频率。FIR滤波器的实现不存在反馈回路，因而称为非递归结构。情况1偶对称，N为偶数，延迟环节HN1HNNZ1为奇数。112021210NNNNNNNNNNHZZHZHZ（108）直接型结构实现参见图1049B。要求学生掌握由公式（108）画出直接型结构图，并理解减少运算量的道理。情况2偶对称，N为奇数，延迟环节HN1HNNZ1为偶数。112120NNNNNHZHZ（109）直接型结构实现参见图1049A。情况3、4奇对称，N为偶数或奇数，滤H波器实现结构与上述讨论相同，差别只在于一边的斜线上乘（1）。零点分布特性当偶对称时，令HN1100NNNNNHZHZHZ，则，1MN111100MNMNMN即1NZZ当奇对称时，有HN1NHZ讨论由于ZZ，中含有因此若ZI是HZ的零点，则1/ZI也是HZ的零点。若ZI在单位圆上，1/ZI也在单位圆上。若ZJ、ZJ为共轭极点对，则ZJ1、ZJ1也为共轭极点对；四个极点构成一个四阶系统ABZ1CZ2BZ3AZ4。若ZP实数，则ZP11也为实数；ZP与ZP1构成一个二阶系统。线性相位FIR滤波器不是最小相位系统。102FIR滤波器的时窗加权设计方法问题的提出滤波问题，首先根据频率特性要求确定一个理想的频率响应，JDHE例如理想低通滤波器，如图102所示。而理想滤波器不可实现，因此须根据实际需求确定数字滤波器的频域容差，如式（102）所示。图102滤波器频域容差示意图112JPJSSPHE，过渡带宽度（1010）这些性能指标只是基本要求。其它要求还有稳定性、因果性、相频特性等约束。确定了容差范围后，滤波器设计问题就成为满足不等式约束的逼近问题。11110P22JDHE阻带通带S过渡带理想滤波器是周期为2的周期函数，与理想冲击响应的关系JDHEDHN为傅立叶级数对，或单位圆上的Z变换关系。12JJNDDNJJEHEHH（1011）是双边序列，非因果，因此必须截断，选取时限函数，使得DHNWNDHNWN（1012）一般地，其单位圆上的Z变换为01NWN，10JJNNWEE由DHW（1013）有12JJJDJJHEWHED（1014）由于信号非带限，在频域有主瓣，有旁瓣，因此，时窗加权必然WN造成谱扩展和泄露。为了减少谱扩展，的选择一般应满足两条原则WN第一，的主瓣应尽可能窄，第二，旁瓣电平10NJJNNWEEJWE应尽可能低。显然，这是两个矛盾的模糊性原则。为此，也产生了若干种最佳化原则，最佳逼近时涉及到的有关量有以下几种能量221EWTDWD能量矩22MT振幅矩2210MDW常用的时窗函数矩形窗1，WN01N1120SINNJJJNWEE（1015）理想情况JJNDDNHH截断以后2NJJNDNEE等价于用有限项傅立叶级数逼近无限项傅立叶级数。矩形窗截断，具有最小均方误差特性，即使得221JJDHED（1016）最小。主瓣宽度；副瓣与主瓣比，13DB；过渡带094N232NBARTLETT窗（三角窗）21012NNWWNNN，（1017）频域10TWTOTHER，24SINWJ（1018）HANNING窗12CS011NNNN，（1019）2OWTTT，2SINWJ（1020）HAMMING窗20546COS011NWNN，（1021）TT，22086SINWJ（1022）BLACKMAN窗24045COS08COS0111NNWNNN，（1023）2TTT，22SIN0160844WJ（1024）KAISER窗20011NWNIINNN，（1025）0IX是零阶第一类修正贝塞尔函数4682202213MNXXXIX1是窗的形状参数，一般取49。大，则主瓣宽度宽，旁瓣低。2001TWTIIT，220220SINIHIWJI，（1026）KAISER窗是最佳时窗函数，它在给定旁瓣电平时使能量比Q最大。2JJWEDQ（1027）为主瓣宽度。KAISER窗使主瓣具有最大能量，。2N六种窗函数性能比较表窗函数主瓣宽度最大旁瓣电平过渡带宽度最大阻带起伏矩形2（2/N）13DB09（2/N）21DB三角形4（2/N）25DB21（2/N）25DBHANNING4（2/N）31DB31（2/N）44DBHAMMING4（2/N）41DB33（2/N）53DBBLACKMAN6（2/N）57DB35（2/N）74DBKAISER96（2/N）67DB57（2/N）90DB注意（1）上面给出的是时窗特性，而非滤波器特性，滤波器频率特性为。JJDWEH（2）最大旁瓣电平的降低与最大阻带起伏的减少，是以主瓣展宽和过渡带变宽为代价的。设计时，根据具体要求，确定窗函数及序列长度。（3）具有对称性，可用来设计线性相位FIR滤波器。WN（4）最大旁瓣电平和最大阻带起伏均与N无关；主瓣宽度与过渡带宽度随N增加而减小。设计步骤（1）给定，求出JDHEDHN（2）根据允许的主瓣宽度和过渡带宽度，选择窗函数及相应序列长N（3）DHNW（4）计算JJJEWE时窗方法存在的问题（1）时窗方法难于精确控制滤波器通带边缘（3DB点）C（2）若不能用简单函数表示，计算十分困难。此时，可先对JDHEDHN采样得，然后用离散傅立叶反变换得到JDKIDFTDHNHK103IIR滤波器的冲激响应不变设计方法引言IIR滤波器往往采用递归（有反馈）结构实现。参见书图1041、42。常用的方法是借助模拟滤波器的间接设计方法。先设计相应的模拟滤波器，再转换为数字系统。具体步骤如下1）根据给定的数字滤波器指标要求，确定相应的模拟滤波器性能指标；2）综合一个满足指标要求的模拟滤波器的HS；3）采用适当的变换方法确定HZ；4）实现HZ。冲击响应不变方法数字滤波器单位样值响应等于模拟滤波器的冲击响应的均匀采样值TNTH考虑的极点为P1、P2、P3、PNSHTL12KAAHPSSPS其中REKKKPH理想采样时，0STNHTTHTNT（1028）回顾第八章结论，可知，只要已知系统1KNPTKAHZZEZ函数的极点及其部分分式展开的系数，则可完全确定对应的数字系统函数，从而可根据实现数字滤波器。Z的频率响应特性由第八章另一结论Z211SSSSSTJNTJNTTNTJTHSHHTEEFD，FS展开其中L（1029）1112SSJNTSTJNTSNNSHSHHTETEHJTJJTTLL有SSKHJJK由第八章所述Z域与S域关系，有1LNSTZEZ或1LNSZTZHNH（1030）取，则由（1029）、（1030）两式得JZE12JKHEJKT（1031）由PW准则，带限不可实现，因此，是非带限的。由HS按HJ照冲击响应不变法得到的数字系统的频率响应是周期的，周期为，2ST而且存在频域混迭现象，因而造成频响失真。S平面到Z平面的多对一映射关系，是混迭现象的原因。此外，由（1031）式可知，系统增益与采样间隔T有关，为此，通常取THN作为数字系统的冲击响应。设计举例给定数字滤波器特性如下，求HZ。023DB通带为，带内允许起伏1；阻带为，阻带内衰减5。解用冲击响应不变法。（1）令采样周期T1，由，则模拟滤波器指标为T023DB通带为，带内允许起伏1；阻带为，阻带内衰减5。（2）由指标要求，采用BUTTERWORTH滤波器，设截止频率为C202115202021303NCHJJ通带阻带由上两方程解得N58858，取N6，代入1式得C07032RAD/S将代入BUTTERWORTH函数，有。极点满足JS212CHS方程，共有12个极点，1221JCKSE210JKSE，其中6个在左半平面上，分别对应K3,4,5,6,7,8，712380J9124703JSE。取此六个极点构成HS56JSE6611CRRAHSS116043528SAJ2257S3349160SHSJ（3）6111KKKSSSKAAZZEZEZ112122029454586036073ZZ（4）C由1式求得，阻带略有“富余”，可防止混迭的不良影响。XXXXXXXXXXXXJ029045130Z1Z1070XNYN214115107Z1Z1037186063100Z1Z1026图10312个极点分布图104六阶IIR滤波器结构图104IIR滤波器的双线性变换设计方法冲击不变方法存在频域混迭现象，其原因盖出于多对一映射。双线性变换法也是一种间接设计方法。首先确定滤波器，然后利用双HS线性变换建立，使二者的谱特性相似。HZ通过微分方程与差分方程的对应关系，可以导出S域与Z域的单值映射关系12ZST1ZS（1032）这就是所谓的双线性变换，参见第二版教材106节（1083）、（1084）两式。注意，双线性变换其实是S域与Z域的非线性变换。假设已知，通过（1032）建立HSH12ZSTZ单值映射关系令，由（1032）式，有，即SJ2JZ2TZ（1）S平面虚轴，单位圆01Z，。SZ平面虚轴，由，一对一映射到平面单位圆，（2）S平面左半开平面，单位圆内。01（3）S平面右半开平面，单位圆外。01Z因此，双线性变换不但不产生混迭，也不改变系统的稳定、全通、最小相位等特性（如果有）单值映射关系S平面虚轴与Z平面单位圆为一对一映射，因此，令，则JJZESJ121TJTGJJ2T（1033）数字系统频率模拟频率0PS0图105双线性变换下的数字频率与模拟频率的关系可见，模拟系统谱经双线性变换变成数字系统谱。在低端近似线性，在高端被压缩，但保持单值对应关系。这意味着幅频压缩，相频非线性畸变，这种压缩效应将使二者的通带边界与阻带边界出现较大差异。PS因此，在确定的与时应预畸变，根据所要求的数字系统的HSS和来确定和，再变换回来，可得到希望的和。PSPSPS，。2PTGT2STGT设计举例（与前面的例子条件相同）给定数字滤波器特性如下，求HZ。SP|HJ|HEJ|模拟频率023DB通带为，带内允许起伏1；阻带为，阻带内衰减5。解用双线性变换。（1）预畸变对，02P064982PPTGT，3S1ST（2）由指标，选BUTTERWORTH滤波器，设截止频率为C2011202506498106498NCHJJ通带阻带由上两方程解得N53044，取N6；求C时，由于无混迭，因而按阻带计算，结果会使通带指标有富余，即由上面第二