《线性代数》-课本习题答案1和2章

习题一1计算下列排列的逆序数1）9级排列134782695；2）级排列。N12解（1）；347869504201（2）。NN2选择和，使得IK1）1274569成奇排列；2）1254897为偶排列。解（1）令，则排列的逆序数为，排列为奇排列。3,8IK127435689从而。,I（2）令，则排列的逆序数为，排列为奇排列。,6IK与题意不符，从而。33由定义计算行列式。1234124345550AAA解行列式，因为至少有一个大于123451234512345JJJJJJAA123,J3，所以中至少有一数为0，从而（任意123JJA123450JJJ），于是。1245,J123451234512345JJJJJJ4计算行列式1）；2）；3）；4032114120574）；5）。64113792852222222213AABBCCDD解（1）40；（2）16；（3）0；（4）1008；（5）0。5计算阶行列式N1）；2）；0000XYXYY13100201NN3）（）；4）。121NAA0I2232N解（1）原式（按第一列000XYXY1000NYXXY展开）。1NNXY（2）行列式（后列和加到第一列，1231001020NNN1N再按第一列展开）121NN。（3）行列式（第一行第一列为添加的部分，注意1201NAA此时为级行列式）1N2131NRR120NAA1231NCAC11200NNAA。121NNA（4）行列式2131NRR002N（按第二行展开）21002N。N提高题1已知级排列的逆序数为，求排列的逆序数。N121NJJK12NJJ解设原排列中1前面比1大的数的个数为，则1后面比1大的K数的个数为，于是新排列中1前比1大的个数为1K2NJJ个；依此类推，原排列中数前面比大的数的个数为，1NK121IIIK则新排列中前比大的个数为个记21NJJIIK121NJJ，故新排列的逆序数为12KK。121NK22NKK2由行列式定义计算中与的系数，并说明理由。132XF4X3解由于行列式定义中的每一项来自于不同行和不同列的个元素的乘积。而N该行列式中每个元素最高含的一次项，因此的项只能由对角线上的元素乘X4X积所得到，故的系数为2。4X4134同样的考虑可得的系数为1。3X3设，其中互不相同。2112211NNNXAAPXI1）说明是一个次多项式；X2）求的根。0P解1把按第一行展开得。X112NPXAXAX而，所以是一个次多项式。211212110NNNNAAPX1N根据范德蒙行列式12112121232NNNNPXAXAAAA2因为（）代入中有两行元素相同，所以行列I,PX式为零，从而的根为。0PX121,NA习题二解答1计算1）；1213232AXX2）已知；求、。01A2A34解1）；2221121313323AXXAXAAX2）；。01A301A40A2设1），求。3220BB2），求。1ABCA1ACBA解1）；2）。2042223ABCCBACA3设是阶实方阵，且。证明。AN0A证明设，则。从而。121212NNNAA121212NNNAA。212212210NNNAAAAA所以。因为2222112NNAAA为实数，故（）。即。IJ0IJ,IJ0A4设，互不相同。证明与可交换的矩阵12NAA12,NAA只能为对角矩阵。证明设与可交换的矩阵为，由得A121212NNNBBBAB。11212122122122NNNNNNABABAB即（）。由于互不相同，所以时，IJJIAB,J1,NAIJ。故。即为对角矩阵。0IJB120NBBB5证明任一方阵可表示成一对称矩阵和一反对矩阵之和。证明设为方阵，记，则可知为对称矩阵，A2A2ACB为反对称矩阵。且。CB6设，定义，其中10MFAA10MFAAE是阶方阵。已知，计算。AN2F2130AFA解。251802FAE7已知方阵满足。证明及可逆，并求它们的逆矩7A2E阵。证明由，可得。所以可逆，且20AE7。同理由，可得。所以1727032可逆，且。213A8求下列矩阵的逆阵1）；2）；3）；31223104）；5）。1112解1）；2）；3）；351314143564）；5）。11842689已知，且，求。2013A2AB解由，可得。又B1E，所以。102132AE1205612AB10设是阶方阵，如果对任意矩阵均有。证明。NNX证明记，取，由，可得（121212NNAAA100A10IA）。同理可得（）。从而。1,2I0IJA,1,IJN11已知4阶方阵的行列式，求。A5A解因为，两边取行列式有。所以E43512A。12设，分别为，阶可逆方阵，证明分块矩阵可逆，并求逆。BMN0CB证明因为，可逆，所以，。故，从A0AB0A而可逆。记是的逆，则，0ACB12X0ACB0ACB12XE于是，解得。故矩阵的逆为1210EAXBC12110XBA0B。110A13设，其中，存在，求。XC1AC1X解因为，所以的逆为100E0AC10C。14求下列矩阵的秩1）；2）；3231705414130233）。231ABC解1）2。2）4。3）当时，秩为1；当有某两个相等时，ABC,ABC秩为2；当互不相等时，秩为3。,ABC提高题1秩为的矩阵可表示为个秩为1的矩阵之和。RR证明设矩阵的秩，由推论结果可知存在可逆矩阵和使得APQ，即，其0REPQ1111000RREIIPQ中（）表示第行列元素为1、其余元素为0的阶方阵。记KI1,2RKR（），则的秩为1，且。10KKAPQ,2RKA1KA2设矩阵的秩为1，证明MNA1）可表示成；1NMAB2）是一个数。AK证明1）因为的秩为1，所以存在某元素。记的第行元素为0IJAAI，则的任一行向量可由第行线性表示（否则与行向量线性无关，,NBI与的秩为1矛盾）。记依次为第1行、第行的表示系数，则有A1,NAN。1NMAB2）由1），所以1NMAAB11121NNNNMMMABABBAA（其中）。1NMKB1NK3设是阶方阵，是矩阵，证明ANX11）的第个元素等于的第行元素之和；IAI2）如果可逆，且的每一行元素之和等于常数，则的每一行元素A1A之和也相等。证明1）记，则。121212NNNAAA121212NNNAAAX2）若的每一行元素之和等于常数，由1），由于AAAX可逆，所以。从而，即的每一行元素之和等于常数0A1XA1A1A。4证明1）上（下）三角矩阵的乘积仍是上（下）三角矩阵；2）可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵。证明1）记，为上三角矩阵，。则IJNAAJKNBBCAB时，。对任意，当时，当时IJK0IJJSI0ISAKIS，即任意，。从而时，0SBSISKI。故上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵。10IKIJIINKCABA同理可证明下三角矩阵的情形。2）对可逆的上三角矩阵，（），12120NNAA0I1,2IN对于，先进行第二类初等行12120001NNAAAE变换（），再作第三类初等行变换把左边变成单位矩阵时，右1IRA,2边即为上三角矩阵。亦即可逆的上三角矩阵的逆仍是上三角矩阵。5已知实三阶方阵满足1）；2）。求。AIJIJAA31AA解因为，所以。由于，从而有。AE3AIJIJAAA于是或。01若，则，由于为实三阶方阵，由习题3可得。00此与矛盾。从而。3AA6设，其中是非零矩阵。证明AE1N1）的充分必要条件是；22）当时，是不可逆矩阵。1证明1）若，即有。又是非零矩22EE1N阵，所以是非零矩阵，从而，即。以上每步可N1逆，故命题成立。2）当时，由1）