大学数学竞赛-大学高等数学竞赛试卷

装订线山东建筑大学第八届数学竞赛试卷共6页第1页2010至2011第2学期课程名称数学（一）专业全校各专业考试性质闭卷考试时间180分钟题号一二三四五六总分分数一、填空题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、2LIMXXE2、设函数，求LNXYDY3、设有三阶连续导数，且，则；F3101EXFXLIM0F0F；0F4、若,则NNA21654321NALI5、当时,有_；0DXA26、；X4COSIN17、设是曲线在上的弧段绕轴旋转所得的体积,并且0TV21XYT,0X,则常数2LIMCT8、设悬链线在上的弧段绕轴旋转所得旋转体的侧面积为,则XEYT,0XS；得分评卷人9、（1）（2分）为曲线在处的曲率,则；K3TYX1TK2（1分）曲面由方程确定,曲面在点,UFZV,UFXYZV处的梯度,23GRAD1210、设与是任意的二阶可导函数，则FTYUXFGX222UXYY11、假设一批产品中一、二、三等品各占60、30、10，从中任意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为12、设和为两个随机变量，且，则XY730,YXP740YPX0,MAXP13、设总体的概率密度为，而是来自总体的简单随机,0XEFN,21X样本，则未知参数的矩法估计量为14、设，且求B1234A121,ABE15、设A为三阶实对称矩阵，是的解，是1,TA0AX2,1TA的解，则常数0EX_二、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其代码写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。16、设随机变量服从正态分布，则随的增大，概率是【】X,2NXP（A）单调增大；（B）单调减少；（C）保持不变；（D）增减不定得分评卷人班级_姓名_学号_共6页第2页17、设随机变量的密度函数为，且，是的分布函数，则对任意实数XXFXFFFX，有【】A（A）；（B）；ADF01ADF021（C）；（D）18、设，是来自正态总体的简单随机样本，是样本均值，记1X2N,2NX，NIIS122NIIXS1NIIS123，则服从自由度为的T分布的随机变量是【】II4（A）；（B）；（C）；（D）1/NSXT1/2NSTNST/3NSXT/419、设向量组线性无关，向量可由线性表示，而向量不能由线23,2,2123,性表示，则对于任意常数，必有【】K（A）必线性无关；（B）必线性相关；12312,12312,K（C）必线性无关；（D）必线性相关K20、下列二次型正定的是【】（A）；（B）；221231,FXX21231,FXX（C）；（D）23213X21、设有齐次线性方程组AX0和BX0,其中A,B均为矩阵，现有4个命题NM若AX0的解均是BX0的解，则秩A秩B；若秩A秩B，则AX0的解均是BX0的解；若AX0与BX0同解，则秩A秩B；若秩A秩B，则AX0与BX0同解以上命题中正确的是【】A；B；C；D22、设阶方阵，。记向量组N12,NA12,NB1,NAB，III，如果向量组III线性相关，则【】12,N12,N12,NA向量组线性相关；B向量组线性相关；C向量组与都线性相关；D向量组与至少有一个线性相关23、设函数具有二阶连续导数，且，则函数在FX0FXFLNZFXFY点取得极小值的一个充分条件是【】0,（A）；（B）；1,0FF1,0FF（C）；（D）024、设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增量，XFYXFXFX0与分别为在点处对应的增量与微分。若，则【】D0（A）（B）（C）（D）Y0DY0DYYD25、设函数为连续函数，则等于【】,XFRRF104SIN,CO（A）（B）2120XDYD22XDYD（C）（D）2,YXF210,YF三、计算题（本大题共4小题，每小题7分，共28分）26计算三重积分。其中是椭球体。VDXYZCBYAXI22V122CZBYAX解得分评卷人装订线共6页第3页27、计算曲面积分其中为曲面23,IXZDYZXYD的下侧。21014YZXZ解28、求，其中。DSZYXIC221292ZXY解29、计算，其中S,DSZYXIS3421432ZYX0,ZYX解装订线共6页第4页四、求解题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）30求球面与锥面所截出的曲线上的点处的切线与法平面5022ZYX22ZYX5,43方程。解31、设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导且在处取得,XYGFZFXG1极值，求和1G1,2YX21,XYZ解得分评卷人32、设二维随机变量的概率密度函数为,YX,22,YXAEYXFXY求常数及条件概率密度AXY解装订线共6页第5页33、一城市局部交通流如图所示单位辆/小时3020150350X1X2X3X5X41建立数学模型2要控制至多200辆/小时,并且至多50辆小时是可行的吗2X3X34、设是取自双参数指数分布的一个样本，密度函数为12,NX（）其它，,0,122121XEF20求参数和的矩法估计和极大似然估计。12解装订线共6页第6页35计算，其中是沿圆周由224LNCYDXYXRDYRC22XYR依逆时针方向到的半圆，为常数,0A,0B0解五、证明题（本大题共2小题，36题8分，37题7分，共15分）36、设幂级数在内收敛，其和函数YX满足0NAX,证明并求YX的表达式24,1YXYY2,12,NNA证明得分评卷人37、已知二元函数,001222YXYXYXF,SIN,证明1,在点处不连续,（2）在点处可微FY,F,证明装订线装订线山东建筑大学第七届数学竞赛试题评分标准非数学专业类型一、填空题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、；2LIMXXE解221220201100111LNLNLN0001LILIMLIIMLIIILIMXXXXXXXXXXXXXEEEXEEEE00111222LILIXXEE2、设函数，求；LNXYDY11LNLNL2LXXX解因为，所以LNLNLLN11LLLNXXXXXEX2LNLNLNLN12XXXXELLLN2LN11LNLLLLXXXXXXXXDY3、设有三阶连续导数，且，则0；0；4；XF3101EXFXLIMFF0F得分评卷人4、若,则NNA21654321NALIM1解因为，NNNN121276543216543212，NNNNN4121543216543216且，用罗比达法则求得,即，1LIMN4LIN1LIMLI12LIM12LI2112LNNEENNN所以NA5、当时,有；0DX2CAXARCT2132解因为，DXADXAXDXAXAD222222222221111所以CAXXAAXDAXDXAXDRCTN21212212132322226、；DX4COSIN1CXX3OS1CSO1LN2解法1DXXDXXDXSIN1COSICSINCOSINCOSII24242422TAN1COSINCSICOSSISII1I2422424XDXDXCXTLSS13解法2令，则进而TCOXDSINTTDTTDTX24424242111COISINDTTTDTTTT12332223CXXTTCOS1LN2COS31L解法3用万能代换公式令,则，即,所以2TANDXTXDT22SECDT2121SINTX21COSTXDTTDTTDX422452411COSIN17、设是曲线在上的弧段绕轴旋转所得的体积,并且,则常数0TV2XYT,0X2LIMCVTT18、设悬链线在上的弧段绕轴旋转所得旋转体的侧面积为,则；XET,STETT24解TEETEXDEXDXTETYESTTTTTTTXTXTXXTX222002002020411441219、（1）为曲线在处的曲率,则；K3TYXTK23LN9解因为，29LNTDXT，52242813LNL381L3LTTTTTXYDYTTT所以，进而3LN1T7LN31TY23LN9DSK（2）曲面由方程确定,曲面在点处的梯度,UFXZV,UFXYZV1,23GRAD1,23F1,23,1,23XYZFFF10、设与是任意的二阶可导函数，则FTGYXFG22UUXYYYFTFTGTX因为，222UYYFTXTGTFTFTT，所以11UXFTGTFTGTYX，2222322334YYYYFTFTFTGTTXXXYTGTTXX，2211UFTTFTGTYX，222223111YYFTFTFTTGTXXXYG进而2222UUYYXYFTFTGTXXX11、假设一批产品中一、二、三等品各占60、30、10，从中任意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为3212、设和为两个随机变量，且，则XY730,YXP740YPX0,MAXYXP7513、设总体的概率密度为，而是来自总体的简单随机样本，则未知参数的矩法估计量为,XEFN,211NIIX14、设，且求1234A12,ABE13264BA15、设A为三阶实对称矩阵，是的解，是1,TA0AX2,TA的解，则常数或0EX02二、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其代码写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。16、设随机变量服从正态分布，则随的增大，概率是【C】X,2NXP（A）单调增大；（B）单调减少；（C）保持不变；（D）增减不定17、设随机变量的密度函数为，且，是的分布函数，则对任意实数，有【B】XXFXFFFXA得分评卷人（A）；（B）；ADXF01ADXF021（C）；（D）18、设，是来自正态总体的简单随机样本，是样本均值，记，则服从自由度为的T分布的随机变1X2N,2NXNIIXS1221NIIXS12NIIXS123NIIXS1241N量是【B】（A）；（B）；（C）；（D）1/NST1/2NSXTNST/3NST/419、设向量组线性无关，向量可由线性表示，而向量不能由线性表示，则对于任意常数，必有【A】23,2,2123,K（A）必线性无关；（B）必线性相关；11,K1312K（C）必线性无关；（D）必线性相关232,2,20、下列二次型正定的是【C】（A）；（B）；221231,FXX21231,FXX（C）；（D）23213X21、设有齐次线性方程组AX0和BX0,其中A,B均为矩阵，现有4个命题NM若AX0的解均是BX0的解，则秩A秩B；若秩A秩B，则AX0的解均是BX0的解；若AX0与BX0同解，则秩A秩B；若秩A秩B，则AX0与BX0同解以上命题中正确的是【B】A；B；C；D22、设阶方阵，。记向量组，III，如果向量组III线性相关，则【D】N12,NA12,NB12,NAB12,N12,N12,NA向量组线性相关；B向量组线性相关；C向量组与都线性相关；D向量组与至少有一个线性相关23、设函数具有二阶连续导数，且，则函数在点取得极小值的一个充分条件是【】FX0FXFLNZFXFY0,A（A）；（B）；01,01,0（C）；（D）FFFF24、设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分。若，则【A】XY0XFXX0YDXF00X（A）（B）（C）（D）YD0DY00DY0YD25、设函数为连续函数，则等于【C】,XFRRF104SIN,CO（A）（B）2120XDYD22XDYD（C）（D）2,YXF210,YF三、计算题（本大题共4小题，每小题7分，共28分）26计算三重积分。其中是椭球体。VDXYZCBYAXI22V122CZBYAX解由于，DXYZCDXYZBDXYZAIVVV222其中，DAVDYZXDXYZA22这里表示椭球面D2221AXCZBY或。1122AXZAX它的面积为。11222AXBCAXCB于是。BCDDXYZAAV54222同理可得，BCZBV1542得分评卷人。ABCDXYZCV1542所以。I327、计算曲面积分其中为曲面的下侧。2,IXZDYZXYD21014YZXZ解补充曲面，取上侧则21,04DVXYDDZZXYDZZAXYDZAXYI323211其中为与所为成的空间区域，D为平面区域，1240Z由于区域D关于X轴对称，因此又30XYD101023323211DZZDXYZXYXYDZZAZZDAYIDDV其中XY24Z28、求，其中。DSIC22C1292ZXY解化为。进行坐标变换，。则1292ZXY142ZXYCOS21INZYX20182922022DZYXDZSIC29、计算，其中S,SIS341432ZYX0,ZYX解因为，所以。进而，。142ZYX1Z2XZ34Y，D30,614321432DXYYXDSZYXIDS四、求解题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）30求球面与锥面所截出的曲线的点处的切线与法平面方程。5022ZYX22ZYX5,43解设（1）确定，则（1）两端对求导，则有，解之得，点处的切向量为，所以曲线在处的切线方程为,22ZYXZYGFXZYX02ZYX01ZYX5,430,4315,43，05431法平面方程为，5ZYX即。034YX31、设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导且在处取得极值，求和,XYGFZFXG11G1,2YXZ21,XYZ得分评卷人装订线解因为函数可导且在处取得极值,则XG11G0又因为,所以,21XYXFYFZ,11212XYGFGFXGYFX,进而,2221FXYYFF1YXZ1,1,1,221GFFFFFF。,12FFF21121,XYZFFF32、设二维随机变量的概率密度函数为,YX,22,YXAEYXFXY求常数及条件概率密度AXYFXY解因为,所以1,FDYAEDXDYAEDXXFYXX222,1作变量替换，即SINCORR020SINCORYX则RRYRXJCOSSIIN,所以,进而ADEDAEDXRYX0222122222211,XYXYYXXFFYFE2222222220111,XYXYXYTTEEEXTDYTDD222222211001,1XYXYXYUUEEETUT22222,1XYXYEE33、一城市局部交通流如图所示单位辆/小时3020150350X1X2X3X5X41建立数学模型2要控制至多200辆/小时,并且至多50辆小时是可行的吗2X3X解1将上图的四个结点命名为A,B,C,D,如下图所示3020150350X1X2X3X5X4ABCD则每一个结点流入的车流总和与流出的车流总和应当一样,这样这四个结点可列出四个方程如下DXCXBA350214321对增广矩阵进行变换00351213501013500213500211132412321RRR可见X3和X5为自由变量,因此令X3S,X5T,其中S,T为任意正整数车流量不可能为负值,则可得X1500ST,X2ST200,X4350T2令X2200,X3S50,代入上面的X2的表达式,得20050T200,求出T350,则X1500ST100,X40,是可行的34、设是取自双参数指数分布的一个样本，密度函数为2,N（）其它，,01,122121XEXF20求参数和的矩法估计和极大似然估计。12解12112XEXED1212211X令222111NIIX解得的矩法估计为12,221NININXS似然函数12112,NIXLE两边取对数12211LN,LNNIX对求偏导，知是的递增函数，取到其最大的可能值使达到最大，故的极大似然估计为。112L,0LLL11LLN1112MIN,NX对求偏导，212121LN,0NIX可解得的极大似然估计为。222MI,NX35、计算，其中是沿圆周由依逆时针方向到的半圆，为常数24LNCYDXYXRDYRC22XYR,0A,0BR0解令，取，,方向依逆时针方