工科数学分析-2012级高等数学上 期中考试卷

诚信应考,考试作弊将带来严重后果华南理工大学期末考试微积分（上）试卷A（试卷号2012期中时间120分钟，总分100）注意事项1考前请将密封线内填写清楚；2所有答案请直接答在试卷上密封线装订区内、草稿纸上答题均无效；3考试形式闭卷；4本试卷共五大题，满分100分，考试时间120分钟。题号一二三四五总分得分评卷人一、填空题（每小题3分，15分）1已知函数在区间上单调递增，则的单调递增区间为FX,29FX0,2函数的定义域是，则函数的定义域为F,ABBAFF,2BA3当时，与是同阶无穷小，则50X2COSXXENN4设，则00LIMXFFAX0FX2A5设，则该函数在上满足拉格朗日微分中值定理的ARCTNF,141二、计算下列各题（每小题5分，共25分）6、求极限2221LIMNN解2222222111NNN又3分221LILINN由夹逼准则2分2221LIM1NN_姓名学号学院专业座位号密封线内不答题密封线线7、求极限20LIMSNXE解221分220000LILILIMLI122XXXXEEE8、设，求SINYX2,DYX解方程两边对求导，视，有COS2Y即，解得2分2COS2Y2SY上面的方程两边对再求导，视，有X,XY，即2分2SINCOS0YY2SINCO因此1分34INS9、设，求2ARCOTXYE0,XDY解4分2222111XXXEDEDD1分0XY10、设，求XENY解1XYE2XXXEE31213XYE分从而1NNX证明如下当时，已经验证公式成立。设时，2K1KKXYE分则，得证公式成立。111KKKXXXYEEE三、解答下列各题（每小题7分，共35分）11、求心形线在点处的切线和法线方程COSR2解1,SIN1COSINXYR在点处，2分20,YSINCOSICOS,SICSODD在处有，从而3分1,XD1YX因此切线方程为，即；0Y法线方程为，即2分XY12、设，求导函数，并讨论在处的连续性21SIN,0,FXFXFX0解当时，2分0X200SI1LMLISNXXF当时，221INCOCOX从而2分,2SI,0FXX由于不存在，所以在处不连续3分001LIMLIINCOSXXFFX013、设是方程确定的隐函数，求Y23LSINYXLIMNY解当时，方程化为，从而对应0XLN100Y方程两边对求导，视，有YX232COSXX代入，得4分0X0COS1从而3分03LIMLI30NXYYY14、用泰勒公式求极限20SIN1LLXEX解由泰勒公式3分231LN1,SINXXOEXOXOX从而23220011SI1LMLIMLNXXXEX4分23301316LI26XXO15、求函数的极值2F解，33,10,XFX2213,0,1XFX令，得驻点3分210123,00,3列表X,3,1,Y单调减单调增单调减单调增单调减单调增从而函数有极大值331239Y极大值4分010四、证明题（每小题6分，共12分）16、证明不等式当时，X1LNL2XX证设1LNLN1LN22FX则在时连续、可导，且FX0LN1LN2FXX令，得3分LN1LN20X又，从而函数有极小值且为最小值,FXF10F故当时，即3分0F1LLN2XX17、设函数在内可微，且。试证X,IM0XFFLIMXF证由于，从而对所有，对，存在，当LIM0XFF120X时，2XX1F分对，在上用柯西中值定理，则存在，使得,XXFFEG,X,X即，XXXFEFFF也即2分1XXXFFEFFE又由于，对，当时，LIM0XXX210,F1XX2XE从而当时，从而2分121FLIM0XF五、应用题（本题13分）18、研究函数的性态（包括单调区间、极值、凹凸区间、拐点、渐近线ARCTNYX等），画出简图，并根据的具体取值范围讨论方程的根的情况。B2ARCTNXB解函数定义域为、为奇函数，非周期函数,，令得驻点；211XY210XY1X，令得2224XXY0列表5分X,11,00,11,Y00Y0单调增、凸极大单调减、凸单调减、凹极小单调增、凹极大值，极小值，拐点12Y12Y0,无铅直和水平渐近线，ARCTNLIMLI1