高数习题答案- 华南理工大学高等数学统考试卷下2003

2003高等数学下册期考试试卷姓名班级成绩单号一、填空题1、3分与向量都垂直的单位向量是。1,48,12、3分设则。,0ARCTNXYZDZ3、3分将积分交换积分次序（变成先积FDX01,DYXF201,分后积分），其结果是。XY4、3分设曲面是位于第一卦限部分，则曲面积分632ZYX的值等于。DSZYX235、3分微分方程适合初始条件的特解是0KYDX0YX。二、单项选择题1、3分设有平面和直线，则他们的关567ZYX91621ZYXL系是AB与斜交CDLL/2、3分二元函数在点处的两个偏导数和都,YXF,0Y,0YXF,0YXF存在，是在该点连续的,FA充分条件而非必要条件；B必要条件而非充分条件；C充分必要条件；D既非充分条件又非必要条件；3、3分曲线积分与路径无关的条件是DYCBXADYBXAL2222A任意，B任意，A1,CB,11C任意D任意，2,1BA2C4、3分设为球心在原点，半径为的球体，则R2DVZYXAA；B；C；D43R432421R5、3分微分方程的一个特解形如（），式中XEY23为待定常数。QPNM,ABXEPXY22XEMY23CDXQ23XN2三、解答下列各题1、8分设可微，方程，其中确定了,VUG0,VUGXZYVZXU22,是的二元可微隐函数，试证明ZYX,ZXY422、6分设长方体过同一顶点的三条棱长之和为，问这三条棱长各为何值时，A3长方体的表面积最大3、化工类做本题，非化工类不做本题，本题7分在球面上求922ZYX一点，使得过该点的切平面与已知平面平行。02ZYX四、（共35分）1、7分计算二重积分，其中由所确定。DYD202AYA2、8分设为两球，的公共部分，计算2RZXRZYX2。ZDV3、7分设有连续导函数，计算曲线积分U2,YXU，式中是第一象限中连接点LDYXX2L的任意光滑曲线。4,30,5BA4、6分计算曲面积分，式DXYZDZXYDYZX222232323中是上半球面的上侧。AZ5、化工类做本题，非化工类不做本题，本题7分上半球体被圆柱面截成两部分，求位于柱面220YXAZ02RXY内部那部分的体积。五、化工类不做本题，非化工类做本大题，本题14分1、7分讨论级数（为待讨论的参数）的收敛性01NX,2、7分求幂级数的收敛半径，并判断在和处的幂级02N231X数的收敛性。六、14分1、7分求的通解22XEYX2、7分求的通解AXY65高等数学统考试卷（20032004学年第二学期）参改解答一、1（漏“一”号扣一分）4,792DYXYX22310DF475Y0EKX二、6D7D8C9B10C三、11解法1记22,FXYZGXYZXVUXG2VUYVUZGYF，XZVUXGYZ2VUXGYZ22Y221VUVUVUYZYXZXZXYYGVV24解将原方程两边同时对X、Y求导ZZX,Y得（1）02ZXZYVU（2）2Y联立（1）、（2）消去GU、GV得ZZZZXYXXYY02212设三条移长分别为X,Y,Z，则长方体表面积为求U2XY2ZX2YZ，其中XYZ3A方法一由得ZYXFF11YXZ得XYZA为所求唯一解故当XYZA时U6A2为所求条件最大值方法二作3,ZYXAYZXZYXF解科XYZA（唯一解）02XYZ（一般不要求判定）判定法（亦是初等解法）222116836AUUXYZXYZX203XYZ2AU且等号仅当XYZA时或立，故XYZA时U取得条件最大值26UA13记,21N,2,ZYXZYXN令即代入曲面方程1/所求点为2,1,29222YY1Y或2,1,214原式2AAXDDAA2115方法一（投影法，柱面坐标法）原式22RXYXYDDZD2234RDXYY20322RR223/21240R45838R方法二截面法，用平行于XOY平面的平行平面截所给立体域截面积RZZRZSD2021原式DXYZXYRDD220212RZZZ4224316412RRR56158144R15方法（球面坐标法）作锥面将分为1及2两部分3原式12ZDVZ3002023COS2022CSINCOSINRRDDDD324452031ISICO681RR4425632172PQXYUYXUY故积分与路径无关选L1，从点A5,0到B3,4225DXABXDXX1253532348亦可改选L2折线A5,0,C3,0,B3,434225096ABCBXDYYD92598311VU,2YVX18作辅助01Z原式1上下上外上22211066DVXZYXDVZYX5220202SINR5521820COS222RDRDYXRVDX3/COS2001|RR203332SIN1RDR191|UIMLXUILNN当|X|原级数发散当X1当1时原级数收敛UN当时原级数发散当X1当1时原级数绝对收敛1NN当0时原级数条件收敛当原级数发散20记0NB1NNLIMLIE故RE当幂级数绝对收敛X|23|1当幂级数发散212XYE解标准化122XYDX方法一先解求得021XCY改设代入方程（）1YU22XEX2XEUCE故得2212XEY方法二P21XPXD2LNL21XEPDX1PXDEDXEXCEYPDX12212X方法三原方程为22