高等数学- 作业册- 第7章(01)

第七章多元函数微分学作业1多元函数1填空题（1）已知函数，则；2,YFX,FXY21Y（2）的定义域是；49ARCSIN22YZ2,49XY（3）的定义域是LXY；,0,1,0,1XYYXYX（4）函数的连续范围是全平面；,SIN,XYXF（5）函数在处间断2Z22求下列极限（1）；039LIMXYXY解000391LILILIM639XTTYTT（2）2LIMEXYXY）解322LILIMEXYXYXYXYE）由于，1LIELILI0TTTTE，222LIMLILILITTTTT故22LIMELIME0XYXYXYXYE）3讨论极限是否存在2630LIYXY解沿着曲线,有3,0K因而异，从而极限不存36622200LIMLI1XXYKK2630LIMYXY在4证明在点分别对于每个自变量0,0,22YXYXF,或都连续，但作为二元函数在点却不连续,解由于,FXFY从而可知在点分别对于每个自变量或都连续，但沿着曲线0XY,有因而异，,YKX22200LIMLI1XXYKKK从而极限不存在，故作为二元函数在点却不连续0LI,XYF0,作业2偏导数1填空题（1）设，则；2,YXYXF4,3XF25（2）（3）设，则；,LNF10XY（3）设，则0；2SIXUZY42UZ（4）曲线在点处的切线与轴正向的倾角是24Y,5OX42设，证明2EXYU02YUX证因为2231,XYYUE所以222230XXXXYYYYXE3设，求，XYZLN2ZYX解，LNXYE从而222LNLNLNLNLL,XYXYXYXZZYEE2LNLNLN1L1XYXYXEY4设，证明YZUARCT022ZUX解因为2222210,UYZUYZXYZZXXY22222,1ZZYXZZYXX2ARCTN,0,UUZYX所以22220XYZXYZZ5设函数221SIN,0,0XYXFY（1）试求的偏导函数；,F解当32222114SINCOSXYXYXYX，21,SINYF3,SIXF当2200SIN0,0,LIMLIMXXXYFYFXFY，00,LILIYYYFF32211,4SINCOSXFXXX（2）考察偏导函数在点处是否连续,，故在点处连续，200331LIM,LISIN0,3YYXXYFFX,YFX0,3不存在，从而2200331LI,LI4ICOSXXYYFX在点处不连续,XF,作业3全微分及其应用1填空题（1）在点处偏导数存在是在该点可微的,YXFZ,0Y,YXFZ必要条件；（2）函数在点处，当时有全增量23,102,01X，全微分；Z04DZ（3）设在点处的全增量为，全微分为，则,YXF,0YZDZ在点处的全增量与全微分的关系式是；,F0O（4）在点处的；2YXU1,DUX（5）,则；COSLNDUCOSCOSLNLSINLXXYYDY（6）,则；ZYXULZZX（7）,则221ZXDU3221Y2证明在点处连续，与存在，但,FY0,0,XF,YF在处不可微0,证由于从而但是,FYFX,YXFF不存在，从而在处不可微2200LIMLIXXYYZD0,3设函数221SIN,0,0XYXYF试证（1）函数在点处是可微的；,FXY0,证因为2001SIN,LIMLM0,XYXXFFFF又22222200ILILIXXYYYZDX所以函数在点处是可微的,F,（2）函数在点处不连续XY0证当222211,SINCOSXXFXYY不存在，22200LIM,LIIXXYYF故在点处不连续,XF,作业4多元复合函数的求导法则1填空题（1）设，则2LN,32YZUVXX；X32LY（2）设，则2,COS,INZXUVY；V33SININ2COSUV（3）设，则；,ZXYYX22LNZXYYX（4）设，则2,SINZDZCOSI2求下列函数的偏导数（1）设其中具有一阶连续偏导数，求和；,XYUFZF,UXYZ解11,FFXY1212222,UXXFFFFFYZYZ（2）设，其中均可微，求,UFZ,T,F和XY解因为1231212,DUFXDYFZDYTDYX从而12X132231FXFF所以13223121,UUFFFY3验证下列各式（1）设，其中可微，则；2YZFXFU21ZZXY证因为221,ZYFFF所以22211ZXFZXYFYFY（2）设，其中可微，则23Z220X证因为2,3YZYXX所以22ZY2223YXXY222033YXXY4设其中函数具有二阶连续偏导数，求2,YZFF2ZXY解因为2211,YYFXFFXFX所以222121ZYFFFFFXYXX31224FF4设其中函数具有二阶连续偏导数，试证XYU,0222UX证因为2222343,UYYYXXX2223211,UUXYYY从而左边222234323210YYYXXYXXX作业5隐函数求导法1填空题（1）已知，则；30XYDYX2（2）已知，则；2ZYXZY（3）已知，则；XZYD2LNZDX（4）已知，则；222COSCOS1SI2SINXDYZ（5）已知，其中具有一阶连续偏导数，则,ZFXYFD12DF2设其中具有二阶连续偏导数，求,0,FYZXF2ZX解2121,YZZX2212121221XXXFZFYYFZYYXF221212231Y3求由方程组所确定的及的导数及2230ZXYZXZDYXZ解由已知260246DZYDZXY0,13232ZXXYDZDD4设函数，又方程确定是的函数，其ZFUDXYUPTU,XY中与均可微；连续，且试证F,T10ZZPYXY证因为，,UUFFY,1PXUXX,YUYY011PXPYZZPXFFUU5设函数具有二阶连续偏导数，而满足方程FUESINXZF，求22EXZXYFU解因为22SIN,SINSINXXXZFYFEYFUEY22CO,COIXXXZFUEFUFY222E,0XXFFFFUX特征方程为212120,RRFCE作业6方向导数与梯度1填空题（1）在梯度向量的方向上，函数的变化率最大；（2）函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的模；（3）函数在点的梯度为；249ZXY2,1GRADZ16,8（4）函数在点处沿方向的方向导数U,COS,CSL是，且函数在该点的梯度是；COSCOSU1,（5）函数在点处沿方向的方向导数是EXUYZ0,2,L；23（6）函数在点处沿指向点方LN2ZYX1,A,3B向的方向导数是12求在点及点处的梯度间的夹角22ZYXU0,A0,AB解,AAGRAD2,2BBXYZ夹角余弦为COS02ABGRADU3求二元函数在点沿方向的方向导数及梯22ZXY1,1L度，并指出在该点沿那个方向减少得最快沿那个方向的值不变Z解1,1,3,GRAD，2,5L253,5ZL在该点沿梯度相反方向，即方向减少得最快；Z1,2沿与梯度垂直的那个方向，即方向的值不变,Z4设轴正向到得转角为，求函数XL22,0,0,YXYF在点处沿着方向的方向导数L解，22COS,IN,COS,SINXYLYX由于该函数在点处不可微，从而不能用公式，只能由定义得出0,沿着方向的方向导数L222000,LIMLIMLIXYFXYFFYX1COSINSI2作业7偏导数的几何应用1填空题（1）已知曲面上点的切平面平行于平面，24ZXYP21XYZ则点的坐标是；P1,（2）曲面在点处的切平面方程是；E23ZXY,204XY（3）由曲线绕轴旋转一周所得到的旋转曲面在点0Z处的指向内侧的单位法向量为；,2M1280,30（4）曲面在点处的法线方程是231XYZ,2；16（5）已知曲线上点的切线平行于平面，23,XTYZTP24XYZ则点的坐标是或P1,1,9272求曲线在对应于的点处的切线和2SIN,ICOS,XTYTZT4T法平面方程解切点为，241,2SINCO,SIN,COSIN1,02TTTT从而切线为，110,02XZXYZY法平面为1,02XZXZ3求两个圆柱面的交线在点处的切线和21XYZ1,2M法平面的方程解，12,0|/1,MNXY2,0|/,NXZ,T切线为，法平面为22,11XYZ102XYZ4求曲面在点处的切平面及法线的220ABCZAB0,方程解000,/,NXYXYCZ切平面为，法线为001ABCZ000XYZABC5求函数在点处沿曲线在此点21XYZ,2M21XYA的外法线方向的方向导数解2,MMXYGRADZBAB指向外侧为此点的外法线方向，方向导数为2,XYNBA2BZGRD6证明曲面在任意点处的切平面都通过原点，其中具有YZXFF连续导数证设切点为，0,XYZ则00000,1YYNFFFZXFX切平面为000000YYYFFXFZXX令，得左边等于右边，从而原点在任意点处的切平面上，也XZ即任意点处的切平面都通过原点。作业8多元函数的极值1填空题（1）函数的极值是0；3224ZXY（2）函数的极值点是；X1,（3）函数的极值点是；3239ZXY32（4）函数的极值是；22XY,0,1FF（5）函数的极值是EXZE2证明函数有无穷多个极大值点，但无极小值点1COSYYX证因为由IN0,COS0YXYZEZEXE得驻点坐标为,1KXKZ又1COS,CS2,SINYYYXXZEZEZE故12111220KKKKKKACBE只有当为偶数时才大于零，从而才有极值。而这时110KKE因此该函数有无穷多个极大值点，但无极小值点。3求函数在条件下的极值LN3ZXY25XY解令L则22211320,0,5,XYXYXY从而22MIN573,4LLN422XZ4求函数在圆域上的最大值与最小值2,FY2XY解先求圆内部的驻点得驻点，0,0XYFFXY再求圆周上的有约束极值，令224L则20,20,XYLLY240X若则必有矛盾，,XX若则必有或,Y,Y由于0,20424FFF从而要求的最大值为4，最小值为5在半径为的半球内求一个体积为最大的内接长方体R解设在第一卦限内的顶点坐标为，则,XYZ22,VXYZZR令，则由224LXYZYZ，0,40,420XYZLXYLXYZ22XYZ可得，其长宽均为，高为3MAX,93RYZV3R3R6求椭圆的长半轴和短半轴221Z解由对称性，得知椭圆的中心点为，从而问题转化为求在约束0,1条件下或的最值221XYRZ22DXYZ221DRZ取222LRXY由0,0,10,XYZLL从而，当时，由约束条件X1,2,3RXYZDR当时，由约束条件0,1Z2,于是椭圆的长半轴为和短半轴为22XYRZ3R第七章多元函数微分学测试试卷1单项选择题（每小题3分）（1）二重极限值为（D）240LIMXY（A）0；（B）1；（C）；（D）不存在21（2）二元函数在点处的两个偏导数和,YXF,0Y,0YXF都存在，则（D）,0FYXFA在该点可微；B在该点连续可微；C在该点沿任意方向的方向导数存在；D以上结论都不对（3）函数在处（A）0,2AYXF,A不取极值；B取极小值；C取极大值；D是否取极值依赖于A（4）在曲线的所有切线中，与平面平行的23,XTYZT24XYZ切线（B）（A）只有1条；（B）只有2条；（C）至少有3条；（D）不存在（5）设，其中，下面运算中（B）VUFZ,E,XVY，EXFI22FZIA、都不正确；B正确，不正确；IIIC不正确，正确；D、都正确2填空题（每小题3分）（1）已知理想气体状态方程，则；RTPVPTV1（2）设，则；YXYXZARCTNLN2DZ2XYYD（3）函数在点的梯度为；XU1,1,0（4）已知，其中为可微函数，则；ZYXZXYZ（5）已知曲面上的点处的法线平行于直线PL，则该法线的方程为213261L1213设，其中均为二阶可微函数，求,YXGXFZGF,YXZ解因为12122YFFGXX所以212ZYFGXY12212221XYXFFFGGXYXY4设，试以新变量变换方程，其中YVU,VU,022Z对各变量有二阶连续偏导数Z解22222111,ZZZYYXUVXUVYVU222223,ZXXZXYYVY从而220ZX5已知，其中均为可微函数，求ZYXFZ,FDZX解对函数取全微分得，1212,DFXDY从而212112211,DZXZYFFDXZFDX212121,FDZFZFX6设是曲面在处指向外侧的法向量，求函数N2Y3,P在点处沿方向的方向导数XZYU223PN解指向下侧在此即抛物面的21,1,3PN外侧，2262XDYZDXYZDXDUV223193,62PPX从而91,3426PUGRADN7在第一卦限内作椭球面的切平面，使该切平面与三个22CZBYAX坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标解设切点为，则切平面为0,XYZ00221XYZC在的最值问题与在206ABCVZ2201BC,FXY下的最值问题等价，只是最大与最小问题焕位而已。122CBYAX令22,1XYZLZABC则2220,0,0,XYZZYLLXYA与约束条件结合推得2,33CX由于在第一卦限，从而切点为,AB8设0,0,1SIN,222YXYXF（1）求，；XFY（2），是否在原点连续在原点是否可微说明理由F,YXF解（1）当22210,SINXYFX