[高考]【备战2013年】历届高考数学真题汇编专题14 复数 理2007-2012

【2012年高考试题】1【2012高考真题浙江理2】已知I是虚数单位，则31IA12IB2IC2ID12I2【2012高考真题新课标理3】下面是关于复数的四个命题其中的真命题为（21ZI）的共轭复数为的虚部为12PZ2PZI3PZI4PZ1A3,B12,C,D,3【2012高考真题四川理2】复数（）21IA、B、C、D、1II【答案】B【解析】2211III4【2012高考真题陕西理3】设，是虚数单位，则“”是“复数为纯,ABRI0ABBAI虚数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】或，而复数是纯虚数，0ABBBIAI0BA且是纯虚数，故选BIBA05【2012高考真题上海理15】若是关于的实系数方程的一个复数I21X02CBX根，则（）ABCD3,2CB3,CB1,16【2012高考真题山东理1】若复数满足（为虚数单位），则为Z217IIZ（A）（B）（C）（D）35I35I3535I【答案】A【解析】。故选A。IIIIZ52127127【2012高考真题辽宁理2】复数IABCD345I345I415I315I9【2012高考真题广东理1】设I为虚数单位，则复数56IA65IB65IC65ID65I【答案】D【解析】故选D56IIII561210【2012高考真题福建理1】若复数Z满足ZI1I，则Z等于A1IB1IC1ID1I【答案】A【解析】根据知，故选AIZ1IIZ111【2012高考真题北京理3】设A，BR。“A0”是“复数ABI是纯虚数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件12【2012高考真题安徽理1】复数满足；则（）Z25IZA2IB2ICIDI13【2012高考真题天津理1】I是虚数单位，复数I37（A）2I（B）2I（C）2I（D）2I【答案】B【解析】复数，选BIII21037314【2012高考真题全国卷理1】复数3IA2IB2IC12ID12I【答案】C【解析】，选CIIII21413115【2012高考真题重庆理11】若，其中为虚数单位，则BIAI,RIAB16【2012高考真题上海理1】计算（为虚数单位）。I13I【答案】I21【解析】复数。IIII241317【2012高考江苏3】（5分）设，（I为虚数单位），则的值ABR，17IAB为18【2012高考真题湖南理12】已知复数I为虚数单位，则|Z|_23ZI【答案】10【解析】，23ZI2968II28610Z【2011年高考试题】一、选择题12011年高考山东卷理科2复数Z为虚数单位在复平面内对应的点所在象限为2I（A）第一象限B第二象限C第三象限D第四象限42011年高考浙江卷理科2把复数的共轭复数记作，若，为虚数单位，则ZZ1I1Z（A）（B）（C）（D）3I3I13I【答案】A【解析】故选A1123ZZIII52011年高考广东卷理科1设复数Z满足1IZ2，其中I为虚数单位，则Z（）A1IB1IC22ID22I【解析】B由题得所以选BIIZ12162011年高考辽宁卷理科1A为正实数，I为虚数单位，则A（）2AI（A）2（B）CD132答案B解析,A0,故A2|1|AIIA372011年高考全国新课标卷理科1复数的共轭复数是（）I21ABCDI53III82011年高考江西卷理科1若，则复数IZZABCDIIII【答案】D【解析】因为，所以复数,选DIZIIZI92011年高考江西卷理科7观察下列各式3125，15625，78125，则5675的末四位数字为2015A3125B5625C0625D8125102011年高考江西卷理科10如右图，一个直径为L的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是122011年高考湖北卷理科1I为虚数单位，则201IAIB1CID1答案A解析因为1I,故201250,III所以选A132011年高考陕西卷理科7设集合，22|COSIN|,MYXR则为|2,NXIIXR为虚数单位，N（A）（B）（C）（D）0,1010,10,1【答案】C【解析】由即22|COSIN|COS|,YXXM,由得即故选C1|XI|11N0,1142011年高考重庆卷理科1复数234II（A）B12I12ICD解析选B。234112IIIII二、填空题12011年高考山东卷理科15设函数,观察02XF1,2XFXF213432,78XFXF43156根据以上事实，由归纳推理可得当且时，NN21NNFXFX【答案】21NNX【解析】观察知四个等式等号右边的分母为,即2,34,78,156XX,所以归纳出分母为的,4,8,16XX1NNFXFX分母为,故当且时，21NNN2N1NNFXF2NN22011年高考安徽卷理科15在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为Y,XY整点，下列命题中正确的是_（写出所有正确命题的编号）存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果与都是无理数，则直线不经过任何整点KBYKXB直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点LL直线经过无穷多个整点的充分必要条件是与都是有理数YXKB存在恰经过一个整点的直线32011年高考湖北卷理科15给N个自上而下相连的正方形着黑色或白色当N4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示N1N2N3N4由此推断，当N6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有种（结果用数值表示）42011年高考陕西卷理科13观察下列等式照此规律，第个等式为N【答案】21231N3、2011年高考安徽卷江苏3设复数I满足（I是虚数单位），则的实Z231Z部是_【答案】1【解析】因为，所以,故的实部是132123IZII13ZIZ三、解答题12011年高考上海卷理科19（12分）已知复数满足（为虚数单1Z12II位），复数的虚部为，是实数，求。2Z12Z2（19）2011年高考安徽卷理科19（本小题满分12分）（）设证明，1,XY1XYXY（），证明ABCLOGLLOGLLOGLABCBCAA【命题意图】本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式恒定变形能力和推理论证能力。【证明】由于，所以1,XY要证明Y只要证明21XYX只要证明20Y只要证明XXY只要证明10XYY由于，上式显然成立，所以原命题成立。,22011年高考天津卷理科20（本小题满分14分）已知数列与满足，且NAB12310,2NNNNABAN12,4（）求的值；35,A（）设，证明是等比数列；21,NNCNNC（）设证明242,KKSA4176KSNA【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法（）解由,可得,又312NNBN1,2NB是奇数是偶数120,NNBAA当N1时,由,得130A1A43A当N2时,可得2445当N3时,可得34520A54A（III）证明由（II）可得，21KKA于是，对任意，有KN且1357231,1KKAA将以上各式相加，得21,KA即，121KK此式当K1时也成立由式得123KK从而246842,KKKSAAA13K所以，对任意，,2NN443441112NKMMSSSAAA123NM1232NMM2531NN2132NM51133572NN136227N32011年高考湖南卷理科16对于，将表示为NN，当时，0121022KKKKKAAANI，当时，为或记为上述表示中为的个数（例如，1III0II021，故，），则（1）；（2）12414I127NI答案21093I17NI42011年高考湖南卷理科22（本小题满分13分）已知函数,3XFXG求函数的零点个数，并说明理由；XGFXH设数列满足证明存在常数NNA,011NNAGFA,M使得对于任意的都有,MN解由知，而且，XXH3,0H01，则为的一个零点，且在内由零点，026HX2因此至少有两个零点X综上所述，有且只有两个零点XH解法2由，记则212X,122XX,213X当时，因此在上单调递增，则在上至多有一,0X,0,0,0个零点，从而在上至多有一个零点H,综上所述，有且只有两个零点X记的正零点为，即003XX（1）当时，由得，而，因此0XAA1130012XXA2由此猜测下面用数学归纳法证明0XN当时，显然成立，1A假设当时，成立，则当时，由K0XK1KN知30031XXAAKK01XAK因此，当时，成立N1K故对任意的成立,N0XN52011年高考广东卷理科20设数列满足,0,BNA11,2NNBA1求数列的通项公式；NA2证明对于一切正整数N,12NBA【解析】（1）由11120,0,NNNNAB知令，1,NAAB当122,NNA时2121NABB212N当时，B12,2NNNBA62011年高考广东卷理科21（本小题满分14分）【解析】解（1）证明切线的方程为L20014YPX220|,PQQPQABPQ有当0000|,22P时于是当0000|,PPPQ时于是（2）的方程分别为12,L221121,44YXPYX求得的坐标，由于，故有12,L交点MA,B2,0,AB12|P1）先证12,|ABXP（）设X当121112120,0|PPPP时当12112120,00|PPPP时（）设22121211|,|则当1221110,0PPPP时当时注意到1,MABLABX在上故（3）求得的交点2154YXX和120,1Q而是的切点为的切线，且与轴交于，12,QY由（）线段Q1Q2，有,PQ,PQ当21515,02,44QLYXXP时2,0,PQPHPQ在（0，2）上，令413,22H得72011年高考湖北卷理科21（本小题满分14分）已知函数，求函数的最大值；LN1,0,FXXFX设均为正数，证明,1,23KAB（1）若，则；1212NNABB12NKA（2）若，则12B1212NKKNB本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想解析（）的定义域为，令，解得，FX0,10FX1X当时，在（0，1）内是增函数；01FX当时，在内是减函数；XF,故函数在处取得最大值FXF（）（1）由（）知，当时，有，即，0,X10FXLN1X，从而有，得，0KABLN1KALN,2KKBAB求和得,111LKNKKKB,即11NNKKAB1L0NKA12LN0KNA2N82011年高考全国卷理科20设数列满足且NA101NNA（）求的通项公式；（）设NA11,1NNKNBBS记S证明【解析】（）由得，1NNANA为等差数列前项为，11,1NDNAA于是1,NAN【解析】（）22224411XXXFXX21X0FF则在,上单调递增,故于是FLN102FX即FX（）法一第次抽取时概率为，则抽得的20K1010KKP1,20个号码互不相同的概率12029810098981022210199910由（），当,0XF即有故2LN1129101LNL90102011年高考江苏卷23（本小题满分10分）设整数，是平面直角坐标系中的点，其中4N,PABXOY,12,3AB（1）记为满足的点的个数，求；NA3NA（2）记为满足是整数的点的个数，求BABPB解析考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理能力，较难题。（1）因为满足的每一组解构成一个点P,所以3,12,NAB。3NA（2）设，则ABKN13,01,0,3NKK对每一个K对应的解数为N3K,构成以3为公差的等差数列；当N1被3整除时，解数一共有21426N当N1被3除余1时，解数一共有3125NN当N1被3除余2时，解数一共有336,126,3NNKORBKN112011年高考北京卷理科20（本小题共13分）若数列满足，数列为数列，12,NNAA1,21NAKNNAE记S（）写出一个满足，且0的数列；10SSSAEN（）若，N2000，证明E数列是递增数列的充要条件是2011；12ANNA（）对任意给定的整数N（N2），是否存在首项为0的E数列，使得0AS如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。NA所以A2000A19999，即A2000A11999又因为A112，A20002011,所以A2000A11999故是递增数列NNAK即,19,20综上，结论得证。（）令1,1AKKCAC则因为212CA,121NNC【2010年高考试题】（2010浙江理数）（5）对任意复数，为虚数单位，则下列结论正确的I,RZXYI是（A）（B）2ZY22ZXY（C）（D）X解析可对选项逐个检查，A项，故A错，B项，故BYZ2XYIZ22错，C项，故C错，D项正确。YZ2（2010全国卷2理数）（1）复数23I（A）34I（B）34I（C）34I（D）34I【答案】A【解析】21I221III（2010辽宁理数）2设A,B为实数，若复数，则1IAB（A）B31,2AB3,CD（2010江西理数）1已知（XI）（1I）Y，则实数X，Y分别为（）AX1，Y1BX1，Y2CX1，Y1DX1，Y2（2010四川理数）（1）I是虚数单位，计算II2I3（A）1（B）1（C）（D）I解析由复数性质知I21故II2I3I1I1答案A（2010天津理数）（1）I是虚数单位，复数132IA1IB55IC55ID1I【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将I2改为1132I5112II（）I（2010广东理数）2若复数Z11I，Z23I，则Z1Z2（）A42IB2IC22ID32A12334ZI（2010全国卷1理数）1复数2IAIBC1213D1213III（2010山东理数）2已知（A,BR），其中I为虚数单2,AIB2AIB位，则ABA1B1C2D31（2010安徽理数）1、是虚数单位，I3IA、B、C、D、342I142I1326I1326I1B【解析】，选B331924III【规律总结】为分式形式的复数问题，化简时通常分子与分母同时乘以分母的共轭I复数，然后利用复数的代数运算，结合得结论3I21I2（2010福建理数）（2010重庆理数）（11）已知复数Z1I，则_2Z解析III112（2010北京理数）（9）在复平面内，复数对应的点的坐标为。1I答案（1,1）（2010江苏卷）2、设复数Z满足Z23I64I（其中I为虚数单位），则Z的模为_解析考查复数运算、模的性质。Z23I232I,23I与32I的模相等，Z的模为2。（2010湖北理数）1若I为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数的1ZI点是AEBFCGDH1【答案】D【解析】观察图形可