数学与应用数学专业毕业论文-分段函数分析性质的讨论

本科毕业论文论文题目分段函数分析性质的讨论姓名学号系（部）数学系专业数学与应用数学班级指导教师完成时间2011年4月摘要本文主要是探讨了数学分析中分段函数在分段点处分析性质，采用不同类型的题目例举分析了分段函数的连续性、可导性、可积性及在不同问题上的具体应用，使我们能够更熟练的掌握分段函数的解题思路和技巧。关键词分段函数；连续性；可导性；可积性ABSTRACTTHISPAPERISTHEMATHEMATICALANALYSISOFSUBSUBPOINTFUNCTIONOFTHENATUREOFTHESUBJECTWITHEXAMPLESOFDIFFERENTTYPESOFANALYSISOFPIECEWISECONTINUITY,DIFFERENTIABILITY,INTEGRABILITYANDTHEDIFFERENTISSUESSPECIFICAPPLICATIONS,SOTHATWECANGRASPMORESKILLEDPROBLEMSOLVINGIDEASTOSEPARATEFUNCTIONANDSKILLSKEYWORDSPIECEWISEFUNCTIONCONTINUITYDIFFERENTIABILITYINTEGRABILITY前言分段函数是数学分析中一类重要的函数，从函数的极限、连续到可导、可微、可积，从一元函数到多元函数的讨论，都涉及到了分段函数的问题，理解和掌握分段函数的性质对学好数学分析课程有重要的辅助作用。由于课本没有系统讨论分段函数的的分析性质，只以例题、习题的形式出现，不少学生对它的性质认识肤浅模糊，以致使学生解题常常出错。本文较为系统的讨论了分段函数的连续性、可导性、可积性，通过不同类型的题目例举讨论了这些性质在不同问题上的具体应用，使我们能够更好的理解、掌握分段函数的性质，更熟练的掌握分段函数的解题思路，解题技巧。1分段函数及其分段点处极限的存在性问题11分段函数的概念所谓分段函数是指，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应法则，即在其定义域内不同区域的函数表达式不同。分段函数它是一个函数,而不是几个函数，分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集分段函数主要有两种形式（1）分界点左右的数学表达式不同的类型即在分界点左右的数学表达式不同例如832XXF0（2）分界点左右的数学表达式相同的类型在分界点左右的数学表达式相同，但单独定义分界点处的函数值。例如1SINXF012分段函数在分段点处极限存在性的判定分段函数的极限问题是讨论分段函数连续性、可导性问题的基础，所以，我们首先要明确分段函数在分段点的极限存在性问题121分界点左右的数学表达式不同的类型在分段点处极限存在的充要条件在分段点处左、右极限存XF0XXF0X在相等例1讨论在的极限存在性XF0CXF32解因为和都是初等函数，所以他们在各自的定义域内连续，所以令X2，得到，所以只有时才连续，其他时候FXFXLIMLI000C0CXF不连续。（修改本题）122分界点左右的数学表达式相同的类型。例2讨论在的极限存在性XF01SINXXF0解FX0LIMX1SINL0当时，由无穷小与有界量的积为无穷小，可知0XF0LIMX1SINL0极限存在，当时，由子列判定法可知极限不存在。2分段函数连续性问题21分段函数的连续性判定211极限法（定义法）定义则在处连续（修改本文所有黑体极限符号）0LIM0XFXF0即在处连续须使存且极限值等于或在分段点处FXIML00XFF0X左、右极限存在相等且等于,即在分段点处左、右连续FF例3考察函数在点处的连续性XF2F0解因为分段函数在分界点左右的数学表达式不同,所以在处连续的F0X充要条件在处既左连续又右连续而F0X，所以在点处不左连续2LIMLI0XX0FF0X从而它在处不连续。例4考察函数的连续性126XF分析对于分段函数，除分段点外，分段函数在其定义域区间内都是连续的，故判断分段函数的连续性只需判断分段点处的连续性。解已知函数的间断点为的点即012X21X所以XF752在和上是连续的，在分段点处有21,F21X6216275LIM121FXXF621LI21FXX所以函数在处是连续的，从而在整个定义域内是连续的。XF20XF212导数法函数在分段点的左、右导数均存在则在连续F0X证明记，只须证00XFXFYLIM0YR因为在点右可导，即存在，所以XF00LIXFYX00000LIMFYXXXX同理，据在左可导有。所以，FLIYXLI0YX即在连续。F0X例5若在处左右可导，求的值。021XBFB解函数在分段点的左、右导数均存在则在处连续，F0X故10LIMLI00FXFXFXB22分段函数间断点的类型与函数连续延拓性的、函数的有界性对于一元函数，在的空心临域内有定义，或在点有定义但不连续，F0XF0X则称点为函数的间断点或不连续点。根据在点处有无定义或极限是否0XF存在又可把间断点分为可去间断点、跳跃间断点和第二类间断点。221可去间断点的连续延拓性定义若，而在点无定义，或有定义但，AXFLIM0F0X0LIM0XFX则称为的可去间断点。XF例6，由于而在处无定义，所以是XGSIN1LI0XGXX函数的可去间断点，可做连续延拓，使函数完善成为连续函数，则函数在处连续。1SINXG0XG0222含间断点的分段函数的有界性左右极限都存在但不相等的间断点称为跳跃间断点，含有跳跃间断点函数是不连续函数。可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点第二类间断点的特点是至少有一侧极限不存在，所以含有第二类间断点的函授部也不会是连续函数。若有一个单侧极限为无穷大，称其为无穷远间断点。设函数在闭区间A，B上只有一个（或有限个）间断点XF0X（1）为第一类间断点，则在闭区间A，B有界0XF（2）为第二类无穷远间断点，则在闭区间A，B无界0XF3分段函数在分段点的可微（或可导）性的判断31定义法利用可导定义判断若存在，则在点可导或可微XFFX00LIMF0X注存在充要条件XFFX00LIM与存在且相等FFFX000LIXFFXF000LIM即在点可导或可微的充要条件，在点左、右导数均存在且相等F0F0例7考察函数在的导数。XFCOS1XX解由于1COS0XXFF0X因此0COS0LIMXFX因为，所以在处连续但不可导10XFFF0X32利用导数的极限定理叙述导数的极限定理例8判断函数在可导性0,1LNSI2XXF0X解SI20MX01LN1LNIMI00XXF所以函数在出可导。（修改本题）F33必要条件法若在点不连续则在点不可导F0XF0X例9判断在的可导性1|2XXF1X解112LIMLILIMLI21121FXXXX所以函数在处可导。F32求分段函数的导数或高阶导数例10设，求0F0G1SINXGF对于求分段函数在分段点的导数，不能用求导法则，还应该回归到定义法中进行求导或用导数的极限定理解，因XXGXGXF1SIN001SIN0有界，所以GXSI,LIM00LM0XFFX例11求分段函数的导数XXF1LNI2解首先易得XF1COS20X进一步考虑在处的导数。现在则可以利用导数极限定理。由于F0X，01LNIMLI00FXX，SI200FXFXX因此在处连续，又因F，1COS2102LIMXFX，0FX所以，依据导数极限定理推知在处可导，且1LI0FXF0X10F例12求的导函数。3F解0,3XF当时，；当时，；当时，0X2F23XF0，所以，故30LIMFX003LIXFF,32XF4分段函数可积性的讨论41闭区间上分段函数可积函数类有可积函数的必要条件及可积函数类可知（1）分段点为无穷远间断点的分段函数不可积如在1，1上不可积01,XF（2）分段函数为连续函数可积（3）定义在闭区间上的有限个分段点的有界函数必可积（4）无穷多个分段点单调函数可积如在0，1上可积0,21,1XNNF42求分段函数不定积分用牛顿莱布尼茨公式求分段函数的定积分，关键在于求分段函数的一个原函数，满足，下面通XFCXFDFBFADXFBAB过例子说明分段函数原函数的求法，并说明其一般性。例13考察函数XX12解令2XF则12642XXFX20142332231CXXCDXFX2001因为原函数存在一定具有连续性，所以2231231LIMLIMCXXXX3302230LILICXX42323232LILICXXXX即432210658C143129C令则1是的一个原函数3193232223XXXFX201XF所以CXFD43分段函数定积分的计算如果欲求分段函数在某连续区间上的定积分，一般用定积分的可加性进行分段计算即可。DXXDXXDXX100111222353301另外，也可用牛顿莱布尼茨公式CXFDF，但必须在分段点连续。BFADXFBAB已知在分段点0连续103223XXXF所以11|FDX355分段函数的连续性、可导性、可积性在某些问题上的具体作用在数学分析中，当我们讨论函数的极限、函数的连续性、函数的可导性、函数的可积性等相关问题，以及函数的可导性与连续性之间，连续、可积、有界等之间的关系问题时，由于这些问题的理论性较强，我们可以通过对分段函数的分析来理解相应概念实质及相关理论。下面讨论分段函数在这些问题中的作用。51连续与极限存在关系问题借助于分段函数来帮助“函数极限存在却不一定连续”关系的理解反例对于函数，因，而XFSGN0F01LIM0FXF更加充分说明了“函数极限存在却不一定连续”这一结论。52、连续性与可导性之间的关系我们知道在处连续是在处可导的必要条件，但反之不一XF0XF0定成立。下面我们用一些分段函数的例子来说明此问题。例14考察函数在处的连续性与可导性。Y解XF01、连续性由于LIMLI00FXX0LIMLI00XXFX且所以FX所以在处是连续的F2、可导性，1LILILI000XXX1MLI000XXX所以不存在，即函数在处不可导。X0XF0例15考察函数在处的连续性与可导性。01SINXF0X解因为，01SINLMLI00FXFXX所以函数在处连续。但不存在。XXXYX1SIN1SINLMLI000所以在处不可导。F53多元函数的可导性与可微性例16考察函数0,2YXYF02YX在原点的可微性。解按偏导数的定义,LIM0XFFFXX同理可得。若函数在原点可微，则0,YF应是20,0,YXYFXFFYXFDZYX较的高阶无穷小量。考察极限2YX200LILIDZ而上述极限不存在，所以函数在原点不可微。F这个例子说明，偏导数即使存在，函数也不一定可微（但对于一次函数来说，函数可微与导数存在是等价的）。参考文献1华东师范大学数学系数学分析第三版M北京高等教育出版社,20012刘玉琏,傅沛仁数学分析讲义第三版M北京高等教育出版社,19923胡平分段函数在数学分析中的应用J青海师范大学学报,1995,17419224张守田分段函数在数学分析教学中的应用J锦州师范学