新课标人教a版高中数学必修4教案

新课标高中数学必修4教案目录第一章三角函数14111任意角（1）14111任意角（2）54112弧度制（1）94112弧度制（2）114121任意角的三角函数（1）134121任意角的三角函数（2）174121任意角的三角函数（3）214122同角三角函数的基本关系（1）234122同角三角函数的基本关系（2）274122同角三角函数的基本关系（3）31413三角函数的诱导公式354141正弦、余弦函数的图象（1）414141正弦、余弦函数的图象（2）454142正弦、余弦函数的性质一4941422正弦、余弦函数的性质二534143正切函数的性质与图象（1）574143正切函数的性质与图象（2）61415函数YASINWXA0，W0的图象63416三角函数模型的简单应用67三角函数小结和复习69第二章平面向量7321平面向量的实际背景及基本概念73221向量的加法运算及其几何意义76222向量的减法运算及其几何意义7923平面向量的基本定理及坐标表示83231平面向量基本定理83232233平面向量的正交分解和坐标表示及运算85234平面向量共线的坐标表示8724平面向量的数量积89241平面向量的数量积的物理背景及其含义89242平面向量数量积的运算律93第三章三角恒等变换10331两角和与差的正弦、余弦和正切公式105311两角差的余弦公式105312两角和与差的正弦、余弦、正切公式106313二倍角的正弦、余弦和正切公式10932简单的三角恒等变换（3个课时）111三角恒等变换复习课（2个课时）113新课标高中数学全部教案完整版下载地址115第一章三角函数4111任意角（1）教学目标要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。教学重点理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义教学难点“旋转”定义角课标要求了解任意角的概念教学过程一、引入同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用。二、新课1回忆初中是任何定义角的（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”师初中时，我们已学习了0360角的概念，它是如何定义的呢生角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。师如图1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫的顶点。师在体操比赛中我们经常听到这样的术语“转体720O”（即转体2周），“转体1080O”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转如果慢了5分钟，又该如何校正生逆时针旋转300；顺时针旋转300师（1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转说明旋转第二周、第三周，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。本节课将在已掌握角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法2角的概念的推广1定义一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角。其中射线OA叫角的始边，射线OB叫角的终边，O叫角的顶点。3正角、负角、零角概念师为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，如图2中的角为正角，它等于300与7500；我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，那么同学们猜猜看，负角怎么BOA图1规定呢零角呢生按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。师如图3，以OA为始边的角1500，6600。特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这是形成了一个角，并把这个角称为零角。师好，角的概念经过这样的推广之后，就应该包括正角、负角、零角。这里还有一点要说明为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为4象限角师在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念。同学们已经经过预习，请一位同学回答什么叫象限角生角的顶点与原点重合，角的始边与X轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。师很好，从刚才这位同学的回答可以知道，她已经基本理解了“象限角”的概念了。下面请大家将书上象限角的定义划好，同时思考这么三个问题1定义中说角的始边与X轴的非负半轴重合，如果改为与X轴的正半轴重合行不行，为什么2定义中有个小括号，内容是除端点外，请问课本为什么要加这四个字3是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么处理学生思考片刻后回答，教师适时予以纠正。答1不行，始边包括端点（原点）；2端点在原点上；3不是，一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限。师同学们一定要学会看数学书，特别是一些重要的概念、定理、性质要斟字酌句，每个字都要弄清楚，这样的预习才是有效果的。师生讨论好，按照象限角定义，图中的300，3900，3300角，都是第一象限角；3000，600角，都是第四象限角；5850角是第三象限角。师很好，不过老师还有几事不明，要请教大家（1）锐角是第一象限角吗第一象限角是锐角吗为什么生锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；师（2）锐角就是小于900的角吗生小于900的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；师（3）锐角就是00900的角吗生锐角|000,试指出所在的象限，并用图形表示出的取值范围24、求证角为第三象限角的充分必要条件是0TANSI证明必要性是第三象限角，0TANSI充分性SIN0，是第三或第四象限角或终边在轴的非正半轴上TAN0，是第一或第三象限角SIN0，TAN0都成立为第三象限角5求值SIN1320COS1110COS1020SIN750TAN495巩固与练习1求函数的值域COSSINTAN|COT|XXY2设是第二象限的角，且的范围|S,22求四、小结五、课后作业1、利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角的取值范围1SIN0则定义域无上界；T0，W0的图象教学目标1分别通过对三角函数图像的各种变换的复习和动态演示进一步让学生了解三角函数图像各种变换的实质和内在规律。2通过对函数YASINWX4A0，W0图象的探讨，让学生进一步掌握三角函数图像各种变换的内在联系。3培养学生观察问题和探索问题的能力。教学重点函数YASINWX的图像的画法和设图像与函数YSINX图像的关系，以及对各种变换内在联系的揭示。教学难点各种变换内在联系的揭示。教学过程复习旧知1“五点法”作函数YSINX简图的步骤，其中“五点”是指什么2函数YSINXKK0的图象和函数YSINX图像的关系是什么生答函数YSINXKK0的图像可由函数YSINX的图像向左或右平移K个单位而得到，学生回答后，教师应用多媒体演示变化过程，并要求同学观察图像上点坐标的变化，然后进一步总结出这种变换实际上是纵坐标不变，横坐标增加或减少K个单位，这种变换称为平移变换。3函数YSINWXW0的图像和函数YSINX图像的关系是什么学生答函数YSINWXW0的图像可由函数YSINX的图像沿X轴伸长W1到原来的倍而得到，称为周期变换。1演示教师运用多媒体演示变化过程，并要求学生观察图像上点坐标的变化，然后进一步总结这种变化的实质是纵坐标不变，横坐标伸长01到原来的倍。14函数YASINXA0的图像和函数YSINX图像的关系是什么学生答函数YASINX的图像可由函数YSINX的图像沿Y轴伸长A1或缩短X|或缩小00，W0的图像和函数YSINX的图像有何关系呢三、尝试探究1函数YASINWX的图像的画法。为了探讨函数YASINWX的图像和函数YSINX图像的关系，我们先来用“五点法”作函数YASINWX的图像。例作函数Y3SIN2X的简图。3解设Z2X，那么3XIN2X3SIN，X，分别取Z32Z360，2，则得X为，所对应的五点为函数Y3SINX在36127653一个周期，图象上起关键作用的点。65列表X6123127652X302SIN2X010103SIN2X03030描点作图，运用制好的课件演示作图过程。图略2函数YASINWXA0，W0图像和函数YSINX图像的关系。利用制作好的课件，运用多媒体教学手段向学生展示由函数YSINX的图像是怎样经过平移变化周期变换振幅变换而得到函数YASINWX图像的。归纳1先把函数YSINX的图像上的所有点向左平行移动个单位，得到YSINX3的3图像，再把YSINX的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，得到Y321SIN2X的图像，再把YSIN2X的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍横3坐标不变，从而得到Y3SIN2X图像。归纳2函数YASINWX，A0，W0的图像可以看作是先把YSINX的图像上所有的点向左0或向右1平移|个单位，再把所得各点的横坐标缩短W1或伸长01或缩短00，W0图像和函数YSINX图像的关系。利用制作好的课件，运用多媒体教学手段向学生展示由函数YSINX的图像是怎样经过平移变化周期变换振幅变换而得到函数YASINWX图像的。四、指导创新上面我们学习了函数YASINWX的图像可由YSINX图像平移变换周期变换振幅变换的顺序而得到，若按下列顺序得到YASINWX的图象吗周期变换平移变换振幅变换振幅变换平移变换周期变换平移变换振幅变换周期变换教师利用制作好的课件，运用多媒体逐一演示验证，让学生发现规律若周期变换在前，平移变换在后，则得到的函数图像不是函数YASINWX的图像，振幅变换出现在前或后不会影响得到函数YASINWX的图像。教师指导学生探讨的变换顺序不能得到函数YASINWXA0，W0图像的原因，并通过在平移变换过程中的单位变换而调整到函数YASINWX图像的一般公式。原因YSINXYASINWX倍伸长或缩短周期变换1个单位平移平移变换YSINWXSINWXWYASINWXW倍伸长或缩短振幅变换A一般公式将平移变换单位改为即可。W五、归纳小结本节课我们进一步探讨了三角函数各种变换的实质和函数YASINWXA0，W0的图像的画法。并通过改变各种变换的顺序而发现平移变换应在周期变换之前，否则得到的函数图像不是函数YASINWX的图像由YSINX图像的得到。六、变式练习1作下列函数在一个周期的闭区间上的简图，并指出它的图像是如何由函数YSINX的图像而得到的。Y5SINX；YSIN3X2162142完成下列填空函数YSIN2X图像向右平移个单位所得图像的函数表达式为15函数Y3COSX图像向左平移个单位所得图像的函数表达式为43函数Y2LOGA2X图像向左平移3个单位所得图像的函数表达式函数Y2TG2X图像向右平移3个单位所得图像的函数表达式为3七、布置作业略416三角函数模型的简单应用【知识与技能】1掌握三角函数模型应用基本步骤1根据图象建立解析式2根据解析式作出图象3将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型2利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型【过程与方法】例1是研究温度随时间呈周期性变化的问题问题给出了某个时间段的温度变化曲线，要求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式也就是利用函数模型来解决问题要特别注意自变量的变化范围例2利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法显然，函数与正弦函数有紧密的联系XYSIN例3是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。例4本题的解答中，给出货船的进、出港时间，一方面要注意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要注意考虑实际意义。关于课本第73页的“思考”问题，实际上，在货船的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的，因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨。补充例题例题一根为LCM的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移S单位CM与时间T单位S的函数关系是，（1）,06SIN3TLG求小球摆动的周期和频率；（2）已知G980CM/S2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度L应当是多少解（1）；（2）LGFLTG1,2CMGLT8241，即若【情态与价值】一、选择题1初速度V0，发射角为，则炮弹上升的高度Y与V0之间的关系式为（）ABCDTY201SINTGTVYTSINTVYCOS02当两人提重为的书包时，夹角为，用力为，则为_时，最小（）GFFABCD233某人向正东方向走X千米后向右转，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好150千米，那么X的值为（）3ABCD322或二、填空题4甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为，从甲楼顶望乙楼顶俯角为，则甲、04530乙两楼的高度分别为_5一树干被台风吹断折成角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度是60_三、解答题6三个力同时作用于O点且处于平衡，已知，321F13521的夹角为与F，求牛顿，的夹角为与0232F31F和7、有一长为的斜坡，它的倾斜角为，现在要倾斜角改为，则坡底要伸长多少2三角函数小结和复习【知识与技能】理解本章知识结构体系（如下图），了解本章知识之间的内在联系。【过程与方法】三角函数值的符号是由对应的三角函数线的方向确定的；具有相同性质的角可以用集合或区间表示，是一种对应关系；弧度制的任意角是实数，这些实数可以用三角函数线进行图形表示，因此，复习的目的就是要进一步了解符号确定方法，了解集合与对应，数与形结合的数学思想与方法。另外，正弦函数的图象与性质的得出，要通过简谐运动引入，分析、确定三角函数图象的关键点画图象，观察得出其性质，通过类比、归纳得出余弦函数、正切函数的图象与性质，所以，复习本章时要在式子和图形的变化中，学会分析、观察、探索、类比、归纳、平移、伸缩等基本方法。例题例1判断下列函数的奇偶性Y3SIN2XY2COS3X1Y3SIN2X1YSINXCOSXY1COS3X5分析根据函数的奇偶性的概念判断FXFX是否成立；若成立，函数具有奇偶性（定义域关于原点对称）；若不成立，函数为非奇非偶函数解（过程略）奇函数偶函数非奇非偶函数偶函数例2求函数Y3COS2X的最大值，并求此时角X的值。31角度制与弧度制任意角的概念同角函数关系函数终边相同角象限角区间角任意角的三角函数弧长与扇形面积公式三角函数图象与性质诱导公式第三章三角恒等变换符号法则三角函数线分析求三角函数的最值时要注意系数的变化。解函数的最大值为Y|3|3,此时由2X2K得XK,KZMAX31323求函数的定义域。TN1解要使函数有意义，则有XYTA0TAN12XZK即,2,4ZKKX且所以，函数的定义域为R且KXX,2,4【情态与价值】一、选择题1已知COS240约等于092,则SIN660约等于（）A092B085C088D0952已知TANX2，则的值是（）。12SIN3CO2IXABCD15533不等式TANX1的解集是（）。A（KZ）B（KZ）42,K2,42KC（KZ）D（KZ）,3,4有以下四种变换方式向左平移，再将横坐标变为原来的；将横坐标变为原来的，再向左平移；421218将横坐标变为原来的，再向左平移；向左平移，再将横坐标变为原来的。214821其中，能将正弦函数YSINX的图象变为YSIN（2X）的图象的是（）ABCD二、填空题5TAN（）676函数YSINX（X）的值域是。327若函数YABSINX的值域为，则此函数的解析式是。1238对于函数YASIN（X）（A、均为不等于零的常数）有下列说法最大值为A；最小正周期为；在0，2上至少存在一个X，使Y0；|由X（KZ）解得X的范围即为单调递增区间，2K2其中正确的结论的序号是。三、解答题9（1）已知SINCOS0，求SINCOS的值；32（2）求函数Y2COSX2SIN2X3的值域及取得最值是时的X的值。10单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离S（厘米）和时间T（秒）的函数关系为Y6SIN（2T）。61作出它的图象；2单摆开始摆动（T0）时，离开平衡位置多少厘米3单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米4单摆来回摆动一次需要多少时间第二章平面向量本章内容介绍向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念（让学生对整章有个初步的、全面的了解）第1课时21平面向量的实际背景及基本概念教学目标1了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量2通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别3通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力教学重点理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量教学难点平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系学法本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念教具多媒体或实物投影仪，尺规授课类型新授课教学思路一、情景设置如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问猫能否追到老鼠（画图）结论猫的速度再快也没用，因为方向错了ABCD分析老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量引言请同学指出哪些量既有大小又有方向哪些量只有大小没有方向二、新课学习（一）向量的概念我们把既有大小又有方向的量叫向量（二）请同学阅读课本后回答（可制作成幻灯片）1、数量与向量有何区别2、如何表示向量3、有向线段和线段有何区别和联系分别可以表示向量的什么4、长度为零的向量叫什么向量长度为1的向量叫什么向量5、满足什么条件的两个向量是相等向量单位向量是相等向量吗6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量这时各向量的终点之间有什么关系（三）探究学习1、数量与向量的区别数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小2向量的表示方法用有向线段表示；用字母、（黑体，印刷用）等表示；用有向线段的起点与终点字母；AB向量的大小长度称为向量的模，记作|AB3有向线段具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素起点、方向、长度向量与有向线段的区别（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段4、零向量、单位向量概念长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的注意0与0的含义与书写区别A起点B（终点）A长度为1个单位长度的向量，叫单位向量说明零向量、单位向量的定义都只是限制了大小5、平行向量定义方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行说明（1）综合、才是平行向量的完整定义；（2）向量、平行，记作6、相等向量定义长度相等且方向相同的向量叫相等向量说明（1）向量与相等，记作；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关7、共线向量与平行向量关系平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）说明（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系（四）理解和巩固例1书本86页例1例2判断（1）平行向量是否一定方向相同（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行（不一定）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量（零向量）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量（零向量）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量（平行向量）（6）两个非零向量相等的当且仅当什么（长度相等且方向相同）（7）共线向量一定在同一直线上吗（不一定）例3下列命题正确的是（）A与共线，与共线，则与C也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C向量与不共线，则与都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行解由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若与不都是非零向量，即与至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有与共线，不符合已知条件，所以有与都是非零向量，所以应选C例4如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、相等OABC的向量变式一与向量长度相等的向量有多少个（11个）变式二是否存在与向量长度相等、方向相反的向量（存在）变式三与向量共线的向量有哪些（）FEDOCB,课堂练习1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；ABCD单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等；四边形ABCD是平行四边形当且仅当一个向量方向不确定当且仅当模为0；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同解不正确共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、AB在同一直线上AC不正确单位向量模均相等且为1，但方向并不确定不正确零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的、正确不正确如图与AC共线，虽起点BC不同，但其终点却相同2书本88页练习三、小结1、描述向量的两个指标模和方向2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点四、课后作业书本88页习题21第3、5题第2课时221向量的加法运算及其几何意义教学目标1掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量教学难点理解向量加法的定义学法数能进行运算，向量是否也能进行运算呢数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律教具多媒体或实物投影仪，尺规授课类型新授课教学思路一、设置情景1复习向量的定义以及有关概念强调向量是既有大小又有方向的量长度相等、方向相同的向量相等因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置2情景设置（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，则两次的位移和A（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，则两次的位移和（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，则两次的位移和（4）船速为，水速为，则两速度和ABABCCABABCABCOABAAABBB二、探索研究、向量的加法求两个向量和的运算，叫做向量的加法、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量A、在平面内任取一点，作A，则向量叫做A与的ABCA和，记作A，即A，规定A00ACBA探究（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量与不共线时，的方向不同向，且|AB|，则A的方向与相同，且|；若|0时与方向相同；0内分外分0，AB|A|B|COS，AB|A|B|COS，AB|A|B|COS，若0，AB|A|B|COS|A|B|COS|A|B|COS，AB|A|B|COS，AB|A|B|COS|A|B|COS|A|B|COS3分配律ABCACBC在平面内取一点O，作A，B，C，AB（即）在C方向上的投影等ABOCOB于A、B在C方向上的投影和，即|AB|COS|A|COS1|B|COS2|C|AB|COS|C|A|COS1|C|B|COS2，CABCACB即ABCACBC说明（1）一般地，（）（2），0（3）有如下常用性质，（）（）三、讲解范例例1已知A、B都是非零向量，且A3B与7A5B垂直，A4B与7A2B垂直，求A与B的夹角解由A3B7A5B07A216AB15B20A4B7A2B07A230AB8B20两式相减2ABB2代入或得A2B2设A、B的夹角为，则COS6021|BA例2求证平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和解如图平行四边形ABCD中，DCABBACD|2ACDB2|2而，|2ABA|22|2|22AB2222|ADC例3四边形ABCD中，且，试问四边CD形ABCD是什么图形分析四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量解四边形ABCD是矩形，这是因为一方面0，（），（）即由于，同理有由可得，且即四边形ABCD两组对边分别相等四边形ABCD是平行四边形另一方面，由，有（），而由平行四边形ABCD可得，代入上式得2，即，也即ABBC综上所述，四边形ABCD是矩形评述1在四边形中，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，ABCDA即0，应注意这一隐含条件应用；2由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系四、课堂练习1下列叙述不正确的是（）A向量的数量积满足交换律B向量的数量积满足分配律C向量的数量积满足结合律DAB是一个实数2已知|A|6，|B|4，A与B的夹角为，则A2BA3B等于（）A72B72C36D363|A|3，|B|4，向量AB与AB的位置关系为（）43A平行B垂直C夹角为D不平行也不垂直34已知|A|3，|B|4，且A与B的夹角为150，则AB5已知|A|2，|B|5，AB3，则|AB|_，|AB|6设|A|3，|B|5，且AB与AB垂直，则五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记第9课时三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式能用所学知识解决有关综合问题教学重点平面向量数量积的坐标表示教学难点平面向量数量积的坐标表示的综合运用授课类型新授课教具多媒体、实物投影仪教学过程一、复习引入1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作，则（）叫与的夹角OAB2平面向量数量积（内积）的定义已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|A|B|COS叫与的数量积，记作AB，即有AB|A|B|COS，（）并规定0与任何向量的数量积为03向量的数量积的几何意义数量积AB等于A的长度与B在A方向上投影|B|COS的乘积4两个向量的数量积的性质设A、B为两个非零向量，E是与B同向的单位向量1EAAE|A|COS；2ABAB03当A与B同向时，AB|A|B|；当A与B反向时，AB|A|B|特别的AA|A|2或|4COS；5|AB|A|B|5平面向量数量积的运算律交换律ABBA数乘结合律ABABAB分配律ABCACBC二、讲解新课C平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量，试用和的坐标表示,1YXA,2YXBABBA设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，IXJJYIX1JYIX2所以21IJYIBA2122121JIXJII又，所以IJ0JBAY这就是说两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和即BA21YX2平面内两点间的距离公式设，则或,YXA22|YXA2|YXA（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么,1YX,2平面内两点间的距离公式2121|向量垂直的判定设，则,1YXA,2YXBBA021YX两向量夹角的余弦（）0COS221YX|讲解范例设A5，7，B6，4，求AB及A、B间的夹角精确到1O例2已知A1，2，B2，3，C2，5，试判断ABC的形状，并给出证明例3已知A3，1，B1，2，求满足XA9与XB4的向量X解设XT，S，由X2，3429349TSB32ST例4已知A（，），B（，），则A与B的夹角是多少分析为求A与B夹角，需先求AB及AB，再结合夹角的范围确定其值解由A（，），B（，）33有AB（），A，B2记A与B的夹角为，则2B又，4评述已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定例5如图，以原点和A5，2为顶点作等腰直角OAB，使B90，求点B和向量的A坐标解设B点坐标X，Y，则X，Y，X5，Y2OBAXX5YY20即X2Y25X2Y0O又|X2Y2X52Y22即10X4Y29A由27394100512YYYX或B点坐标或；或23,77,AB,33,例6在ABC中，2，3，1，K，且ABC的一个内角为直角，C求K值解当A90时，0，213K0K23BA当B90时，0，12，K31，K3AB213K30K3当C90时，0，1KK30KABC23课堂练习1若A4，3，B5，6，则3|A|AB（）A23B57C63D832已知A1，2，B2，3，C2，5，则ABC为（）A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D不等边三角形3已知A4，3，向量B是垂直A的单位向量，则B等于（）A或B或54,3,54,3,C或D或,3,4A2，3，B2，4，则ABAB5已知A3，2，B1，1，若点PX，在线段AB的中垂线上，则X216已知A1，0，B3，1，C2，0，且A，B，则A与B的夹角为BCA小结（略）课后作业（略）板书设计（略）课后记第12课时复习课一、教学目标1理解向量零向量向量的模单位向量平行向量反向量相等向量两向量的夹角等概念。2了解平面向量基本定理3向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。4了解向量形式的三角形不等式|试问取等号的条件是什么和ABAB向量形式的平行四边形定理2|2225了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）6向量的坐标概念和坐标表示法7向量的坐标运算（加减实数和向量的乘法数量积）8数量积（点乘或内积）的概念，|COSXXYY注意区别“实数与向量AB1212的乘法；向量与向量的乘法”二、知识与方法向量知识，向量观点在数学物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视数量积的主要应用求模长；求夹角；判垂直三、典型例题例1对于任意非零向量与，求证ABABABB证明1两个非零向量与不共线时，的方向与，的方向都不同，并且AB3两个非零向量与共线时，与同向，则的方向与相同且与异向时，则的方向与模较大的向量方向相同，设|，则|AABABB|同理可证另一种情况也成立。例2已知O为ABC内部一点，AOB150，BOC90，设，OAABCC且|2，|1，|3，用与表示CCIJ解如图建立平面直角坐标系XOY，其中,是单位正交基底向量,则B（0，1），C（3，0），设A（X，Y），则条件知X2COS15090,Y2SIN15090，即A（1，），也就是3AI,，3所以33|即333JBCIA3BCAB例3下面5个命题|，则22ACBC0，则|0，则或，其中真命题是（）A0ABCD巩固训练1下面5个命题中正确的有（）；（）；ABCACBABCABC（）（）；2ABCD2下列命题中，正确命题的个数为（A）若与是非零向量，且与共线时，则与必与或中之一方向相同；若为单位ABABABE向量，且则|若与共线，与共线，则与共线；EE3ACB若平面内四点ABCD，必有CBDA1B2C3D43下列5个命题中正确的是对于实数P,Q和向量,若PQ则PQ对于向量与，若|则对于AABAB两个单位向量与，若|2则对于两个单位向量与，若K，则BABAB4已知四边形ABCD的顶点分别为A2,1，B5,4，C2,7，D1,4,求证四边形ABCD为正方形。第三章三角恒等变换一、课标要求本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用1了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用二、编写意图与特色1本章的内容分为两节“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；2本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；3本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；4本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习三、教学内容及课时安排建议本章教学时间约8课时，具体分配如下31两角和与差的正弦、余弦、和正切公式约3课时32简单的恒等变换约3课时复习约2课时31两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、课标要求本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用二、编写意图与特色本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用三、教学重点与难点1重点引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；2难点两角差的余弦公式的探索与证明311两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础二、教学重、难点1教学重点通过探索得到两角差的余弦公式；2教学难点探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等三、学法与教学用具1学法启发式教学2教学用具多媒体四、教学设想（一）导入我们在初中时就知道，由此我们能否得到2COS453COS02大家可以猜想，是不是等于呢COS1543045COS0根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的下面我们就一起探讨两角差的余弦公式（二）探讨过程在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为，等1PCOS于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示，大家思考怎样构造角和角（注意要与它们的正弦线、余弦线联系起来）展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索与、COSCOS、之间的关系，由此得到，认识两角差余COSINSCOSCSIN弦公式的结构思考我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明提示1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果展示多媒体课件比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处思考，再利用两角差的余弦公式得出COSCOSCOSINSCOSINS（三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求、的值COS751解分析把、构造成两个特殊角的和、差75123162COS430S430SIN40415CO5I5点评把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如，要学会灵活运用COS604例2、已知，是第三象限角，求的值SIN55,COS,213COS解因为，由此得,4I2243SIN15又因为是第三象限角，所以5COS,13221ICO所以35413SCOSIN65点评注意角、的象限，也就是符号问题（四）小结本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用（五）作业1502PT312两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用二、教学重、难点1教学重点两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2教学难点两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用三、学法与教学用具学法研讨式教学四、教学设想（一）复习式导入大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式；COSCOSSINCOSCOSSIN这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢提示在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式SINCOSCOSCOSSINSI2222IN让学生观察IIINICOIN认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式（学生动手）SINSINCOSITANCO通过什么途径可以把上面的式