[初二数学]中难题训练9

中难题训练（9）1、将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图中的两张三角形胶片ABC和DEF将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O（1）当DEF旋转至如图位置，点B（E），C，D在同一直线上时，AFD与DCA的数量关系是；（2）当DEF继续旋转至如图位置时，（1）中的结论还成立吗请说明理由；（3）在图中，连接BO，AD，探索BO与AD之间有怎样的位置关系，并证明解（1）AFDDCA证明ABDE，BCEF，ABCDEF，ABCDEF，ACBDFE，AFDDCA；（2）AFDDCA（或成立），理由如下方法一由ABCDEF，得ABDE，BCEF（或BFEC），ABCDEF，BACEDF，ABCFBCDEFCBF，ABFDEC，在ABF和DEC中，ABDEABFDECBFEC，ABFDEC，BAFEDC，BACBAFEDFEDC，FACCDF，AODFACAFDCDFDCA，AFDDCA；方法二连接AD，同方法一ABFDEC，AFDC，ABCDEF，FDCA，在AFD和DCA中，AFDCFDCAADDA，AFDDCA，AFDDCA；（3）如图，BOAD方法一由ABCDEF，点B与点E重合，得BACBDF，BABD，点B在AD的垂直平分线上，且BADBDA，OADBADBAC，ODABDABDF，OADODA，OAOD，点O在AD的垂直平分线上，直线BO是AD的垂直平分线，即BOAD；2、如图1，在四边形ABCD中，ABCD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则BMECNE（不需证明）（温馨提示在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HEHF，从而12，再利用平行线性质，可证得BMECNE）问题一如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，ABCD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断OMN的形状，请直接写出结论；问题二如图3，在ABC中，ACAB，D点在AC上，ABCD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若EFC60，连接GD，判断AGD的形状并证明解（1）等腰三角形（2）判断出直角三角形证明如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，F是AD的中点，HFAB，HF1/2AB，13同理，HECD，HE1/2CD，2EFCABCDHFHE，12EFC60，3EFCAFG60，AGF是等边三角形AFFD，GFFD，FGDFDG30AGD90即AGD是直角三角形3、如图，已知ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CDCE，连接DE并延长至点F，使EFAE，连接AF、BE和CF（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“”表示，并加以证明；（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；（3）若AB6，BD2DC，求四边形ABEF的面积解（1）（选证）BDEFEC证明ABC是等边三角形，BCAC，ACB60度CDCE，BDAFAE，EDC是等边三角形DEEC，CDEDEC60BDEFEC120度又EFAE，BDFEBDEFEC（选证二）BCEFDC证明ABC是等边三角形，BCAC，ACB60度又CDCE，EDC是等边三角形BCEFDC60，DECEEFAE，EFDEAECEFDACBCBCEFDC（选证三）ABEACF证明ABC是等边三角形，ABAC，ACBBAC60度CDCE，EDC是等边三角形AEFCED60度EFAE，AEF是等边三角形AEAF，EAF60度ABEACF（2）解四边形ABDF是平行四边形理由由（1）知，ABC、EDC、AEF都是等边三角形CDEABCEFA60度ABDF，BDAF四边形ABDF是平行四边形（3）解由（2）知，四边形ABDF是平行四边形EFAB，EFAB四边形ABEF是梯形过E作EGAB于G，则EG2根号3S四边形ABEF1/2EG（ABEF）1/22根号3（64）10根号34、（2009铁岭）ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE（1）如图（A）所示，当点D在线段BC上时求证AEBADC；探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形并说明理由；（2）如图（B）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形并说明理由证明（1）ABC和ADE都是等边三角形，AEAD，ABAC，EADBAC60（1分）又EABEADBAD，DACBACBAD，EABDAC，AEBADC（3分）方法一由得AEBADC，ABEC60又BACC60，ABEBAC，EBGC（5分）又EGBC，四边形BCGE是平行四边形（6分）方法二证出AEGADB，得EGABBC（5分）由得AEBADC得BECG四边形BCGE是平行四边形（6分）（2）都成立（8分）（3）当CDCB（CAD30或BAD90或ADC30）时，四边形BCGE是菱形（9分）理由方法一由得AEBADC，BECD（10分）又CDCB，BECB（11分）由得四边形BCGE是平行四边形，四边形BCGE是菱形（12分）方法二由得AEBADC，BECD（9分）又四边形BCGE是菱形，BECB（11分）CDCB（12分）方法三四边形BCGE是平行四边形，BECG，EGBC，FBEBAC60，FABC60（9分）FFBE60，BEF是等边三角形（10分）又ABBC，四边形BCGE是菱形，ABBEBF，AEFG（11分）EAG30，EAD60，CAD30度（12分）5、已知等腰ABC中，ABAC，AD平分BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EFAB，分别交AC，BC于E，F点，作PMAC，交AB于M点，连接ME（1）求证四边形AEPM为菱形；（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半证明（1）EFAB，PMAC，四边形AEPM为平行四边形ABAC，AD平分CAB，CADBAD，ADBC（三线合一的性质），BADEPA，CADEPA，EAEP，四边形AEPM为菱形2）P为EF中点时，S菱形AEPM1/2S四边形EFBM四边形AEPM为菱形，ADEM，ADBC，EMBC，又EFAB，四边形EFBM为平行四边形作ENAB于N，则S菱形AEPMEPEN1/2EFEN1/2S四边形EFBM6、已知点P是矩形ABCD边AB上的任意一点（与点A、B不重合）（1）如图，现将PBC沿PC翻折得到PEC；再在AD上取一点F，将PAF沿PF翻折得到PGF，并使得射线PE、PG重合，试问FG与CE的位置关系如何，请说明理由；（2）在（1）中，如图，连接FC，取FC的中点H，连接GH、EH，请你探索线段GH和线段EH的大小关系，并说明你的理由；（3）如图，分别在AD、BC上取点F、C，使得APFBPC，与（1）中的操作相类似，即将PAF沿PF翻折得到PFG，并将PBC沿PC翻折得到PEC，连接FC，取FC的中点H，连接GH、EH，试问（2）中的结论还成立吗请说明理由解（1）FGCE，在矩形ABCD中，AB90，由题意得GA90，PECB90GEC90GGECFGCE（2）GHEH延长GH交CE于点M，由（1）得，FGCEGFHMCHH为CF的中点FHCH又GHFMHCGFHMHCGHHM1/2GM，GEC90EH1/2GMGHEH（3）（2）中的结论还成立取PF的中点M，PC的中点NFGP90，M为PF的中点GM1/2PF，PM1/2PF，HMPCGMPMGPFMGPGMFGPFMGP2GPFH为FC的中点，M为PF的中点HM1/2PC同理HN1/2PF，EN1/2PC，HNPF，ENC2EPCGMHN，HMENGPFFPA，EPCBPC又BPCFPAGPFEPCGMFENC，HMPC，HNPF四边形HMPN为平行四边形HMFHNCGMHHNEGMHN，HMENGMHHNEGHHE7、如图，已知ABC和DEF是两个边长都为10CM的等边三角形，且B、D、C、E都在同一直线上，连接AD、CF（1）求证四边形ADFC是平行四边形；（2）若BD3CM，ABC沿着BE的方向以每秒1CM的速度运动，设ABC运动时间为T秒，当T为何值时，ADFC是菱形请说明你的理由；ADFC有可能是矩形吗若可能，求出T的值及此矩形的面积；若不可能，请说明理由证明（1）ABC和DEF是两个边长为10CM的等边三角形ACDF，ACDFDE60（2分）ACDF（3分）四边形ADFC是平行四边形（4分）（2）当T3秒时，ADFC是菱形（5分）此时B与D重合，ADDF（7分）ADFC是菱形（8分）当T13秒时，ADFC是矩形（9分）此时B与E重合，AFCD，ADFC是矩形（10分）CDF90，CF根号CD2DF2根号20210210根号3（11分）S矩形ADFC1010根号3100根号3CM2（12分）8、如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O（1）（图1）若E为AC上一点，过A作AGEB于G，AG、BD交于F，求证OEOF；（2）（图2）若E为AC延长线上一点，AGEB交EB的延长线于G，AG的延长线交DB的延长线于F，其他条件不变，OEOF还成立吗若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由证明（1）如图（1）正方形ABCD中，AOBO，AOFBOE90，OBEBEO90，AGEB，AGE90，GAEAEG90，OBEOAF，在AOF和BOE中AOFBOEAOBOOAFOBEAOFBOE（ASA），OEOF（2）OEOF仍然成立理由如图（2）正方形ABCD中，AOBO，AOFBOE90，FAOF90，AGEB，AGE90，GAEE90，EF，在AOF和BOE中AOFBOEEFAOBOAOFBOE（AAS），OEOF所以结论仍然成立9、如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABC90，AB20CM，CD25CM动点P、Q同时从A点出发点P以3CM/S的速度沿ADC的路线运动，点Q以4CM/S的速度沿ABC的路线运动，且P、Q两点同时到达点C（1）求梯形ABCD的面积；（2）设P、Q两点运动的时间为T（秒），四边形APCQ的面积为S（CM2），试求S与T之间的函数关系式，并写出自变量T的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的T，使得四边形APCQ的面积恰为梯形ABCD的面积的2/5若存在，求出T的值；若不存在，请说明理由解（1）过点D作DEBC于点E，由已知得ADBE，DEAB20CM在RTDEC中，根据勾股定理得EC15CM由题意得ADDC/3ABBEEC/4，AD25/320AD15/4解得AD5梯形ABCD的面积ADBCAB/252020/2250（CM2）（2）当P、Q两点运动的时间为T（秒）时，点P运动的路程为3T（CM），点Q运动的路程为4T（CM）当0T5/3时，P在AD上运动，Q在AB上运动此时四边形APCQ的面积SS梯形ABCDSBCQSCDP70T当5/3T5时，P在DC上运动，Q在AB上运动此时四边形APCQ的面积SS梯形ABCDSBCQSADP34T60当5T10时，P在DC上运动，Q在BC上运动此时四边形APCQ的面积SS梯形ABCDSABQSADP46T460（3）当0T5/3时，由S70T2502/5，解得T10/7当5/3T5时，由S34T602502/5，解得T20/17又5/3T5，T20/17不合题意，舍去当5T10时，由S46T4602502/5，解得T180/23当T10/7或T180/23时，四边形APCQ的面积恰为梯形ABCD的面积的2/510、如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B90，AD24CM，AB8CM，BC26CM，动点P从A开始沿AD边向D以1CM/S的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3CM/S的速度运动P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为TS（1）当T为何值时，四边形PQCD为平行四边形（2）当T为何值时，四边形PQCD为等腰梯形（3）当T为何值时，四边形PQCD为直角梯形解（1）四边形PQCD为平行四边形PDCQ24T3T解得T6即当T6时，四边形PQCD为平行四边形（2）过D作DEBC于E则四边形ABED为矩形BEAD24CMECBCBE2CM当四边形PQCD为等腰梯形时，QCPD2CE，即3T（24T）4解得T7（S）即当T7（S）时，四边形PQCD为等腰梯形（3）由题意知QCPDEC时，四边形PQCD为直角梯形即3T（24T）2解得T65（S）即当T65（S）时，四边形PQCD为直角梯形11、已知如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，ABDC，点P是腰DC上的一个动点（P与D、C不重合），点E、F、G分别是线段BC、PC、BP的中点（1）试探索四边形EFPG的形状，并说明理由；（2）若A120，AD2，DC4，当PC为何值时，四边形EFPG是矩形并加以证明解（1）四边形EFPG是平行四边形（1分）理由点E、F分别是BC、PC的中点，EFBP（2分）同理可证EGPC（3分）四边形EFPG是平行四边形（4分）（2）方法一当PC3时，四边形EFPG是矩形（5分）证明延长BA、CD交于点MADBC，ABCD，BAD120，ABCC60M60，BCM是等边三角形（7分）MAD18012060，ADDM2CMDMCD246（8分）