北师大版数学初二上册知识点总结

初二上册知识点总结勾股定理（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质即两个锐角都是45，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径R1，则外接圆的半径R21，所以RR121（1）勾股定理在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方如果直角三角形的两条直角边长分别是A，B，斜边长为C，那么A2B2C2（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中（3）勾股定理公式A2B2C2的变形有AC2B2，BC2A2及CA2B2（4）由于A2B2C2A2，所以CA，同理CB，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边（1）勾股定理的逆定理如果三角形的三边长A，B，C满足A2B2C2，那么这个三角形就是直角三角形说明勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角然后进一步结合其他已知条件来解决问题注意要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是勾股数满足A2B2C2的三个正整数，称为勾股数说明三个数必须是正整数，例如25、6、65满足A2B2C2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数记住常用的勾股数再做题可以提高速度如3，4，5；5，12，13；8，15，16；7，24，25勾股定理在几何中的应用利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度由勾股定理演变的结论分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和勾股定理在实际问题中的应用运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题勾股定理在数轴上表示无理数的应用利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边实数（1）、定义无限不循环小数叫做无理数说明无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数如圆周率、2的平方根等（2）、无理数与有理数的区别把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如440，13033333而无理数只能写成无限不循环小数，比如21414213562所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能（3）学习要求会判断无理数，了解它的三种形式开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，如分数2是无理数，因为是无理数1）定义如果一个数的平方等于A，这个数就叫做A的平方根，也叫做A的二次方根一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根（2）求一个数A的平方根的运算，叫做开平方一个正数A的正的平方根表示为“A”，负的平方根表示为“A”正数A的正的平方根，叫做A的算术平方根，记作A零的算术平方根仍旧是零（1）算术平方根的概念一般地，如果一个正数X的平方等于A，即X2A，那么这个正数X叫做A的算术平方根记为A（2）非负数A的算术平方根A有双重非负性被开方数A是非负数；算术平方根A本身是非负数（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找（1）非负数的性质算术平方根具有非负性（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题（1）定义如果一个数的立方等于A，那么这个数叫做A的立方根或三次方根这就是说，如果X3A，那么X叫做A的立方根记作A3（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数即任意数都有立方根（3）求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数注意符号A3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根（1）任意两个实数都可以比较大小正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小估算无理数大小要用逼近法思维方法用有理数逼近无理数，求无理数的近似值1）实数与数轴上的点是一一对应关系任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数A的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样实数A的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离（2）实数的绝对值正实数A的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0（3）实数A的绝对值可表示为|A|A（A0）A（A0），就是说实数A的绝对值一定是一个非负数，即|A|0并且有若|X|A（A0），则XA实数的倒数乘积为1的两个实数互为倒数，即若A与B互为倒数，则AB1；反之，若AB1，则A与B互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用二次根式的定义一般地，我们把形如（A0）的式子叫做二次根式“”称为二次根号A（A0）是一个非负数；（1）二次根式的基本性质A0；A0（双重非负性）（A）2A（A0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）A2A（A0）（算术平方根的意义）（2）二次根式的化简利用二次根式的基本性质进行化简；利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简ABABABAB（3）化简二次根式的步骤把被开方数分解因式；利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2最简二次根式的概念（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式最简二次根式的条件（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式如不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、A（A0）、XY等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、A2、（XY）2、X22XYY2等（1）积的算术平方根性质ABAB（A0，B0）（2）二次根式的乘法法则ABAB（A0，B0）（3）商的算术平方根的性质ABAB（A0，B0）（4）二次根式的除法法则ABAB（A0，B0）1）分母有理化是指把分母中的根号化去（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式（3）一个二次根式的有理化因式不止一个同类二次根式的定义一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式合并同类二次根式的方法只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变（1）法则二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变（2）步骤如果有括号，根据去括号法则去掉括号把不是最简二次根式的二次根式进行化简合并被开方数相同的二次根式（3）合并被开方数相同的二次根式的方法二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用学习二次根式的混合运算应注意以下几点与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰图形的平移与旋转1、平移的概念在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离（1）平移的条件平移的方向、平移的距离（2）平移的性质把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点连接各组对应点的线段平行且相等（1）确定平移后图形的基本要素有两个平移方向、平移距离（1）旋转的定义在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P，那么这两个点叫做对应点（2）注意旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向（1）旋转的定义在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P，那么这两个点叫做对应点（2）注意旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向（1）旋转对称图形如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形（2）常见的旋转对称图形有线段，正多边形，平行四边形，圆等（1）旋转图形的作法根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等（1）平移变换在平移变换下，对应线段平行且相等两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等（2）轴对称变换在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分（3）旋转变换在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角（4）位似变换在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心四边形性质探索（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形符号语言ABDC，ADBC四边行ABCD是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形符号语言ABDC，ADBC四边行ABCD是平行四边形（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形符号语言ABDC，ABDC四边行ABCD是平行四边形（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形符号语言ABCADC，DABDCB四边行ABCD是平行四边形（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形符号语言OAOC，OBOD四边行ABCD是平行四边形平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题（1）菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（2）菱形的性质菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线（3）菱形的面积计算利用平行四边形的面积公式菱形面积12AB（A、B是两条对角线的长度）菱形定义一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形一组邻边相等菱形）；四条边都相等的四边形是菱形几何语言ABBCCDDA四边形ABCD是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）几何语言ACBD，四边形ABCD是平行四边形平行四边形ABCD是菱形（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形）（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形（1）性质在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形该定理可一用来判定直角三角形（1）矩形的定义有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）矩形的性质平行四边形的性质矩形都具有；角矩形的四个角都是直角；边邻边垂直；对角线矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形，又是中心对称图形它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点（3）由矩形的性质，可以得到直角三角线的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（1）矩形的判定矩形的定义有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（2）证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等同时平行四边形的性质矩形也都具有在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题（2）下面的结论对于证题也是有用的OAB、OBC都是等腰三角形；OABOBA，OCBOBC；点O到三个顶点的距离都相等（1）正方形的定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（2）正方形的性质正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴正方形的判定方法先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定（1）梯形的定义一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高（2）等腰梯形两腰相等的梯形叫做等腰梯形（3）直角梯形有一个角是直角的梯形叫做直角梯形直角梯形有一个角是直角的梯形叫做直角梯形边有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直角有两个内角是直角过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个矩形和直角三角形这是常用的一种作辅助线的方法（1）性质等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线；等腰梯形同一底上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等（2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质（1）利用定义两腰相等的梯形叫做等腰梯形；（2）定理同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形（3）对角线对角线相等的梯形是等腰梯形判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系注意对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用（1）中位线定义连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线（2）梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半（3）梯形面积与中位线的关系梯形中位线的2倍乘高再除以2就等于梯形的面积，即梯形的面积122中位线的长高中位线的长高（4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线（1）多边形的概念在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形（2）多边形的对角线连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线（3）正多边形的概念各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧每个内角的度数均小于180，通常所说的多边形指凸多边形（5）重心的定义平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心常见图形的重心（1）线段中点（2）平行四边形对角线的交点（3）三角形三边中线的交点（4）任意多边形（1）多边形的对角线连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线（2）N边形从一个顶点出发可引出（N3）条对角线从N个顶点出发引出（N3）条，而每条重复一次，所以N边形对角线的总条数为N（N3）2（N3，且N为整数）（3）对多边形对角线条数公N（N3）2的理解N边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（N3）条共有N个顶点，应为N（N3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2（4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数N的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求N（1）多边形内角和定理（N2）80（N3）且N为整数）此公式推导的基本方法是从N边形的一个顶点出发引出（N3）条对角线，将N边形分割为（N2）个三角形，这（N2）个三角形的所有内角之和正好是N边形的内角和除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法（2）多边形的外角和等于360度多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则N边形取N个外角，无论边数是几，其外角和永远为360借助内角和和邻补角概念共同推出以上结论外角和180N（N2）180360（1）平面图形镶嵌的定义用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌（2）正多边形镶嵌有三个条件限制边长相等；顶点公共；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能（3）单一正多边形的镶嵌正三角形，正四边形，正六边形（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点（2）中心对称的性质关于中心对称的两个图形能够完全重合；关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分（1）定义把一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心注意中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同（2）常见的中心对称图形平行四边形、圆形、正方形、长方形等等位置的确定平面内特殊位置的点的坐标特征（1）各象限内点P（A，B）的坐标特征第一象限A0，B0；第二象限A0，B0；第三象限A0，B0；第四象限A0，B0（2）坐标轴上点P（A，B）的坐标特征X轴上A为任意实数，B0；Y轴上B为任意实数，A0；坐标原点A0，B0（3）两坐标轴夹角平分线上点P（A，B）的坐标特征一、三象限AB；二、四象限AB（1）我们把有顺序的两个数A和B组成的数对，叫做有序数对，记作（A，B）（2）平面直角坐标系的相关概念建立平面直角坐标系的方法在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴各部分名称水平数轴叫X轴（横轴），竖直数轴叫Y轴（纵轴），X轴一般取向右为正方向，Y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点它既属于X轴，又属于Y轴（3）坐标平面的划分建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限坐标轴上的点不属于任何一个象限（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面到X轴的距离与纵坐标有关，到Y轴的距离与横坐标有关；距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题两点间的距离公式设有两点A（X1，Y1），B（X2，Y2），则这两点间的距离为2121YXD说明求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式（1）关于X轴对称点的坐标特点横坐标不变，纵坐标互为相反数即点P（X，Y）关于X轴的对称点P的坐标是（X，Y）（2）关于Y轴对称点的坐标特点横坐标互为相反数，纵坐标不变即点P（X，Y）关于Y轴的对称点P的坐标是（X，Y）关于原点对称的点的坐标特点（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（X，Y）关于原点O的对称点是P（X，Y）（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质但它主要是用坐标变化确定图形注意运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标（1）关于X轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数（2）关于Y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数（3）关于直线对称关于直线XM对称，P（A，B）P（2MA，B）关于直线YN对称，P（A，B）P（A，2NB）（1）平移变换与坐标变化向右平移A个单位，坐标P（X，Y）P（XA，Y）向左平移A个单位，坐标P（X，Y）P（XA，Y）向上平移B个单位，坐标P（X，Y）P（X，YB）向下平移B个单位，坐标P（X，Y）P（X，YB）（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数A，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移A个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数A，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移A个单位长度（即横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减）（1）关于原点对称的点的坐标P（X，Y）P（X，Y）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标常见的是旋转特殊角度如30，45，60，90，180一次函数（1）变量和常量的定义在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量（2）方法常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；常量和变量是相对于变化过程而言的可以互相转化；不要认为字母就是变量，例如是常量函数的定义设在一个变化过程中有两个变量X与Y，对于X的每一个确定的值，Y都有唯一的值与其对应，那么就说Y是X的函数，X是自变量说明对于函数概念的理解有两个变量；一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式注意函数解析式是等式函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数函数的解析式在书写时有顺序性，列YX9时表示Y是X的函数，若写成XY9就表示X是Y的函数自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数例如Y2X13中的X当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零例如YX2X1当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值注意当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；当自变量确定时，函数值是唯一确定的但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个函数的图象定义对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象注意函数图形上的任意点（X，Y）都满足其函数的解析式；满足解析式的任意一对X、Y的值，所对应的点一定在函数图象上；判断点P（X，Y）是否在函数图象上的方法是将点P（X，Y）的X、Y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图（1）一次函数的定义一般地，形如YKXB（K0，K、B是常数）的函数，叫做一次函数（2）注意又一次函数的定义可知函数为一次函数其解析式为YKXB（K0，K、B是常数）的形式一次函数解析式的结构特征K0；自变量的次数为1；常数项B可以为任意实数一般情况下自变量的取值范围是任意实数若K0，则YB（B为常数），此时它不是一次函数（1）正比例函数的定义一般地，形如YKX（K是常数，K0）的函数叫做正比例函数，其中K叫做比例系数注意正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求K是常数，K0，K是正数也可以是负数（2）正比例函数图象的性质正比例函数YKX（K是常数，K0），我们通常称之为直线YKX当K0时，直线YKX依次经过第三、一象限，从左向右上升，Y随X的增大而增大；当K0时，直线YKX依次经过第二、四象限，从左向右下降，Y随X的增大而减小（3）“两点法”画正比例函数的图象经过原点与点（1，K）的直线是YKX（K是常数，K0）的图象根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式（1）一次函数的图象的画法经过两点（0，B）、（BK，0）或（1，KB）作直线YKXB注意使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象如XA，YB分别是与Y轴，X轴平行的直线，就不是一次函数的图象（2）一次函数图象之间的位置关系直线YKXB，可以看做由直线YKX平移|B|个单位而得到当B0时，向上平移；B0时，向下平移注意如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；将直线平移，其规律是上加下减，左加右减；两条直线相交，其交点都适合这两条直线一次函数的性质K0，Y随X的增大而增大，函数从左到右上升；K0，Y随X的增大而减小，函数从左到右下降由于YKXB与Y轴交于（0，B），当B0时，（0，B）在Y轴的正半轴上，直线与Y轴交于正半轴；当B0时，（0，B）在Y轴的负半轴，直线与Y轴交于负半轴由于YKXB与Y轴交于（0，B），当B0时，（0，B）在Y轴的正半轴上，直线与Y轴交于正半轴；当B0时，（0，B）在Y轴的负半轴，直线与Y轴交于负半轴K0，B0YKXB的图象在一、二、三象限；K0，B0YKXB的图象在一、三、四象限；K0，B0YKXB的图象在一、二、四象限；K0，B0YKXB的图象在二、三、四象限一次函数YKXB，（K0，且K，B为常数）的图象是一条直线它与X轴的交点坐标是（BK，0）；与Y轴的交点坐标是（0，B）直线上任意一点的坐标都满足函数关系式YKXB直线YKXB，（K0，且K，B为常数）关于X轴对称，就是X不变，Y变成YYKXB，即YKXB；（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）关于Y轴对称，就是Y不变，X变成XYK（X）B，即YKXB；（关于Y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）关于原点对称，就是X和Y都变成相反数YK（X）B，即YKXB（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）待定系数法求一次函数解析式一般步骤是（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设YKXB；（2）将自变量X的值及与它对应的函数值Y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式注意求正比例函数，只要一对X，Y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数YKXB，则需要两组X，Y的值直线YKXB，（K0，且K，B为常数），当K相同，且B不相等，图象平行；当K不同，且B相等，图象相交；当K，B都相同时，两条线段重合（1）两条直线的交点问题两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解（2）两条直线的平行问题若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即K值相同例如若直线Y1K1XB1与直线Y2K2XB2平行，那么K1K21、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数3、概括整合（1）简单的一次函数问题建立函数模型的方法；分段函数思想的应用（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键（1）一次函数与几何图形的面积问题首先要根据题