高等数学- 作业册- 第8章(01)

第八章重积分作业9二重积分的概念与性质1利用二重积分的性质,比较下列积分的大小（1）与2DDXY3DDXYAD是由直线及所围成的闭区域；0,1BD是由圆周所围成的闭区域22YX解A因为在区域内部有，从而大3,XY2DDXYB因为在区域内部有，从而大21XY3（2）与EDXYD2XYDAD是矩形闭区域；10,YBD是矩形闭区域1X解A因为在区域内部有，从而大22,XYYE2DXYDEB因为在区域内部有，从而大00X（3）与，其中是由三个坐标面与LN1DYZV2LN1DXYZV平面所围成的闭区域X解因为在区域内部有，从而12,0LN11XYZEXYZ，因此大20LN1LNXYZDV2利用积分的性质，估计下列各积分的值（1），其中D是矩形闭区域；DDIXY10,YX解因为在区域内部有，因此12,1XY2I（2），其中为球体；22LNDIZV122ZYX解因为在区域内部有，241LLN,3XYZV因此40LN23I（3），其中L为圆周位于第一象限的部分；DLIXYS12YX解因为在曲线上积分，不妨设，COS,IN,2COSINSI24XTYTXYTT，2SL因此2I（4），其中为柱面被平面所截221DISXYZ12YX1,0Z下的部分解因为在曲面上积分，从而，2211XYZ2S因此2I作业10二重积分的计算1试将二重积分化为两种不同的二次积分，其中区域D分别为,DDFXY（1）由直线及双曲线所围成的闭区域；3,1解作图得知区域D可以表示为，3,XYX得31,D,XDFXYFYD区域D也可以分块表示为1,3,33XYXY从而113,D,DYYFXYFDFD（2）环形闭区域42X解在极坐标下环形闭区域为Y2,0R从而201,DCOS,INDFXYFRD在直角坐标下环形闭区域需分块表达，分块积分变为42YX2222222214114414,XXXXIDFYDFDYFDYFDY2改换下列二次积分的积分次序（填空）（1）；20,YFX02,XFY（2）；21D,DXFY210,YFXD（3）2301,YYFF230,XFYD3画出积分区域，并计算下列二重积分（1），其中D是由两条抛物线所围成的闭区域；DDXY2,XY解作图，原式21113154400026XXXDYDX（2），其中D是由所确定的闭区域；EXYD解作图，原式01101XXYYDEDEE（3），其中D是由不等式所围成的闭区域；2DXYSIN,0X解作图，原式SIN22320019SII4XDYDXXD（4），其中D是顶点分别为的三角形闭区CODX,0,域解作图，原式003COSSIN2I2XDYDXXD4求由曲线所围成的闭区域的面积,2,22QPPY解曲线方程联立，得2,XXYPQ作图知，原式22223QYPPQQYPYDD5求由四个平面所围柱体被平面及1,0,XX0Z62ZYX所截得的立体的体积解四个平面决定的区域D为,YY1,在区域D内部6236230ZX从而所截得的立体的体积10DVYDVXYD107532YD6化下列二次积分为极坐标系下的二次积分（1）0D,YFX111COSSIN2420004COS,IN,SINCO,SINDFRRDFRRDFRRD（2）；320XYFY23SIN04C,IF7利用极坐标计算下列积分（1），其中D是由圆周所围成的闭区域；2EDXYD2YX解D是圆周，即420,R从而2224001ED1XYRREDE（2），其中是由圆所围成的闭区域；DDYX2解D是圆周围成，2XY知其为30COSIN2SI,44R从而原式2SIN34204CSIDRSINDRDRD344201812SINSI332T（3），D是与所DYXY2BYXA0,BA确定的闭区域；解D是圆环的关于原点对称的两部分，与RACTNRCTNARCTNARCTN从而原式RTAARCTN22RCTNRTSIDSISIBBDAADDR33ARCTNARTCNOO0BBAA（由对称性更简单因为，对称点的积分微元反号）,XYDXY（4），其中D是介于两圆和之间的闭区域DDXXY22XY42解D介于两圆之间，可知COS4CSR从而原式O2224CS1COSDR68COS3DRD2411373428用适当的坐标计算下列积分（1），其中是由直线，（2DDXYDXYAYA3）所围成的闭区域；0A解作图知由直角坐标表达方便，3,A2DDXY3322YAAYXDAYD34444441181922232AAYA（2），其中是由圆周所围成的闭区域；2DDRXDRXY解由表达式由极坐标表达方便，0COS,2R原式COS222300DRSIN1RDDD2333304SIN29RR（3），D；DXY112YX解先作坐标轴平移，再用极坐标1COS,SIN,01,2URVRDUVRDR原式DUD2120ICOSSINDR222001111SINCOSINSINSICO43283D（4），D2DDXYAB2BYAX解用广义极坐标COS,IN,01,2XRYRRDR原式1213002D作业11三重积分的概念与计算1试将三重积分化为三次积分，其中积分区域分别为,DFXYZV（1）由双曲抛物面及平面所围的闭区域0,1ZY；,DFXYZV100,XFD（2）由曲面及所围的闭区域22Z,DFXYZV21COS0IN,SIN,RFRZD2计算下列三重积分（1），其中为平面，所31VXYZ0,ZYX1ZYX围成的四面体；解分析边界作图知为，01,X1Z原式1113200024XYXDDZDY10LN52416X（2），其中是由曲面与平面所围的23DXYZZXY0,1ZXY闭区域；解分析边界作图知为，01,X0Z原式112356200004864XYDZDYDX（3），其中是由平面及抛物柱面所围的,Z2ZX闭区域解分析边界作图知为，01,YXY20ZX原式211560000284YXDZDD3利用柱面坐标计算下列三重积分（1），其中是曲面和平面所围成的闭区域；2EDXYV12YX1,0Z解原式22212110000RRREZDEEE（2），其中是曲面及所围成的闭区域；DZV2YXZ2YXZ解原式22210RD121424600172RDRRR（3），其中是曲面和平面所围成的闭区2DXYV22YXZZ域；解原式2210RZ223460013DRDR（4），其中是曲面和平面所围成32XYV122YX2,0Z的闭区域解先作坐标轴平移，再用柱坐标COS,1SIN,01,2,0UXRVYRDVUZRDZRZ原式123DUZ212300COSSINRRRDZ24342320COSINICODRR125352430011ICOSSINSRRD22041SINI55D4利用球面坐标计算下列三重积分（1），其中是球面所围成的闭区域；22XYZV22RZYX解COSIN,SIN,COSZ202,0DVDR原式2444000001SINSINCOS2RRDR（2），其中是由不等式（），DZVZYX22所确定的闭区域；2YX解COSIN,SIN,COSZ20202,4DVDR原式2COS2COS440000CSINSINRRDD44546400878CSCOD（3），其中是不等式，221XYZV122ZYX2YX所确定的闭区域解COSIN,SIN,COSZ2012,04DVD原式14222000SINCOSSINDTDT22200COIN488316TTT5选取适当的坐标计算下列三重积分（1），其中是柱面及平面，所围DXYV12YX,Z0,YX成的在第一卦限内的闭区域；解用柱坐标1COS,IN,0,02XRYRDVRZRZ原式1122230000SIN1SICOSINCO8DDR（2），其中是球面所围的闭区域；22DXYZVZYX22解用球坐标COSIN,SIN,COSYZ2SIN0C02DVD原式COS24520000INOSINCOS11DD（3），其中是由曲面及平面所围的闭2XYV252YXZZ区域；解用柱坐标5COS,IN,02,2XRYRDVRZRRZ原式25223445000518RDZD（4），其中是球面所围的在第一卦限内的闭2EXYZAV22AZYX区域；解用球坐标COSIN,SIN,COSXYZ2SIN002DVDA原式200COSINSINAED22222000001IICOSI4TTAADDE224088ATTEA（5），其中是椭球面所围成的闭区域2EDXYZABCV122CZBYAX解用广义球坐标OSIN,SIN,OS2SIN,0120DVABCD原式21200SIE120COS4ABDEABC作业12重积分的应用1球心在原点，半径为的球体，在其上任意一点的体密度与该点到球心的距离R成正比，求这球体的质量解设球面的方程为，球的密度为22XYZ22KXYZ则球体的质量为2DVKZDV300SINRD3402COSRK2求球体的质心，这里假设球体内各点处的密度等于该点到AZYX22坐标原点的距离的平方解由对称性，质心应该在Z轴上，可设为0,Z22ZMXYDV2COS400INSAD5265765200COSSIN3AA22XYZDV2COS300INAD，4254554200COSSSIN5AA87ZM3设均匀平面薄片为椭圆形闭区域，求转动惯量12BYAX解用广义极坐标21223300COS21SIN4XDIYDBRRDDAB21223300COYIAAB224OXYDIXYDI4设半径为的球体内每一点密度的大小与该点到球心的距离成正比，求质量为R非均匀球体对其直径的转动惯量M解设球面的方程为，球的密度为22XYZR22KXYZ则球体对其直径的转动惯量为22XYKZDV26533600014SINCOS9RRKDKD5求面密度为常数的均匀圆环形薄片对位于轴上22,RXYZZ的点处的单位质量的质点的引力,PA解设环域上点处的单位面积产生的引力微元为,0XY，由对称性23,AGDRFDR0XYF332220RZZDRGRDXYAA2221RRAG6一均匀物体（密度为常量）占有的闭区域由曲面和平面，2YXZ0Z，所围成，（1）求物体的体积；（2）求物体的质心；（3）求物AXY体关于Z轴的转动惯量解232240084XYAAAVDZDXYDXDA由对称性，质心应该在Z轴上，可设为,ZZMDV24200XYAADXYXDY，35426024AXX2715ZAMV22260145XYAAZIDDZXYDA第八章重积分测试题1选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论（1）设有空间闭区域，0,221ZRYX，则有（C）,0,222ZYX（A）；（B）；（C）12D4V12D4YV；（D）（2）设平面闭区域12ZZ12XZXZ，AYAYX,AYXYD,0,1则（A）（A）COSINDD1COSIND（B）；（C）；（D）12XY14CSIDXYYX0（3）设是有界闭区域上的连续函数，则当时，,F22AA得极限为（B）2,DDFXYAA不存在B等于C等于D等于0,F1,F1,0F2选择适当的坐标系计算下列二重积分（1），是由直线所围成的区域；|COS|DDXYD,2YX解作图，分块积分。原式1242204CSCOSCOSCOSYXDDXYXYDXDYD4420044SININ12D20COSY（2），其中D是由和所围成；2DDY,04XYXCOS解作图，分块积分。原式COS0332220COS442COSSXXXYYDDDX233421SIN1IN591X（3），其中；2MAX,EDYD,|0,DXYY原式222221111100000EEEYXXXXDD（4），其中D是由和所围成的平面2DDXY,2YYCOS区域，且；1解作图知没有用上,原式XYCOS2263411YYDXDDY27541762305（5），D；2DDYX0,22RYXRY解作图知，分块积分区别处理较方便,原式220RYDXYDX2200SINCORRYRRD3424001SI8RDR3交换下列二次积分的次序（1）14420D,DYFX；2042D,DXFY（2）；210,X2212010D,D,DYYFXFX（3）2132010D,XFYF320,YF4将变为极坐标形式的二次积分，其中D由不等式,D和所规定,YX2324YXAYX解由，COS0,SIN0RR23242XYAXY从而SIN20,DCOS,INADFFRRD5计算，其中D是矩形域2YX10,YX解作图，需要分块积分原式22111240XXDYDYXD11243500315X6计算，其中由所围SINDYZ,0,2YXZX解作图或分析推理，得0,2原式22000SINSINXXYYDDZXDY2200COS1CO11COSCOS4442X7将变为柱坐标及球坐标的形22132200DDYXYIFZ式解由上下限知2221,03YYXYZXY从而由坐标转化公式可推出区域表达式，因此得出在柱坐标下SIN3200DDRIFZ在球坐标下SI22N006SIF8计算，其中2EDXYZV2214,0,XYZXYZ解由知1,从而，原式22201DCOSINCOSSINDE4201COSINDT2421001I2SIN4TTED42414001COSD5TE9计算下列三重积分（1），是由球面所围成的闭区22LN1ZXYZV122ZYX域解由于当时就有，而积分微元,XYZ,XYZ在对称点刚好反号，从而22LN1DZV22LN1D0ZXYZV（2），其中是由XOY平面上曲线绕轴旋转而成的曲2YZ2面与平面所围成的闭区域5X解曲线绕轴旋转而成的曲面为，与平面的交线为22YZX5，所围成的闭区域为210,YZ20,10,RX221051530D2RRVDXD10463R10求平面被三坐标面所割出