行测资料5000题打印版

整数的问题整数是最基本的数，它产生了许多有趣的数学问题在中、小学生的数学竞赛中，有关整数的问题占有重要的地位我们除了从课本上学习整数知识以外，还必须通过课外活动来补充一些整数的知识，以及解决问题的思路和方法。对于两位、三位或者更多位的整数，有时要用下面的方法来表示494109，23521003105，7064710006104，就是一、整除整除是整数问题中一个重要的基本概念如果整数A除以自然数B，商是整数且余数为0，我们就说A能被B整除，或B能整除A，或B整除A，记作B丨A此时，B是A的一个因数（约数），A是B的倍数1整除的性质性质1如果A和B都能被M整除，那么AB，AB也都能被M整除（这里设AB）例如3丨18，3丨12，那么3丨（1812），3丨（1812）性质2如果A能被B整除，B能被C整除，那么A能被C整除。例如3丨6，6丨24，那么3丨24性质3如果A能同时被M、N整除，那么A也一定能被M和N的最小公倍数整除例如6丨36，9丨26，6和9的最小公倍数是18，18丨36如果两个整数的最大公约数是1，那么它们称为互质的例如7与50是互质的，18与91是互质的性质4整数A，能分别被B和C整除，如果B与C互质，那么A能被BC整除例如72能分别被3和4整除，由3与4互质，72能被3与4的乘积12整除性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的72分别能被6和8整除，但不能被乘积48整除，这就是因为6与8不互质，6与8的最大公约数是2性质4可以说是性质3的特殊情形因为B与C互质，它们的最小公倍数是BC事实上，根据性质4，我们常常运用如下解题思路要使A被BC整除，如果B与C互质，就可以分别考虑，A被B整除与A被C整除能被2，3，4，5，8，9，11整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题2数的整除特征（1）能被2整除的数的特征如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除（2）能被5整除的数的特征如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除（3）能被3（或9）整除的数的特征如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除（4）能被4（或25）整除的数的特征如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除（5）能被8（或125）整除的数的特征如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除（6）能被11整除的数的特征如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除是什么数字解1829，并且2与9互质，根据前面的性质4，可以分别考虑被2和9整除要被2整除，B只能是0，2，4，6，8再考虑被9整除，四个数字的和就要被9整除，已有7411如果B0，只有A7，此数是7740；如果B2，只有A5，此数是7542；如果B4，只有A3，此数是7344；如果B6，只有A1，此数是7146；如果B8，只有A8，此数是7848因此其中最小数是7146根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例1就是一个典型例2一本老账本上记着72只桶，共679元，其中处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上解把679写成整数679，它应被72整除7298，9与8又互质按照前面的性质4，只要分别考虑679被8和被9整除从被8整除的特征，79要被8整除，因此B2从6792能被9整除，按照被9整除特征，各位数字之和24能被9整除，因此A3这笔帐是36792元例3在1，2，3，4，5，6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可以重复出现），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小解如果选数字5，组成数的最后一位数字就必须是5，这样就不能被偶数2，4，6整除，也就是不能选2，4，6为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选5，而选其他五个数字1，2，3，4，61234616，为了能整除3和6，所用的数字之和要能被3整除，只能再添上一个2，16218能被3整除为了尽可能小，又要考虑到最后两位数能被4整除组成的数是122364例4四位数74能被55整除，求出所有这样的四位数解55511，5与11互质，可以分别考虑被5与11整除要被5整除，个位数只能是0或5再考虑被11整除（74）（百位数字0）要能被11整除，百位数字只能是0，所得四位数是7040（74）（百位数字5）要能被11整除，百位数字只能是6（零能被所有不等于零的整数整除），所得四位数是7645满足条件的四位数只有两个7040，7645例5一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被11整除，这样的数中，最大的是哪一个，要使它被11整除，要满足（975B）（86A）（21B）（14A）能被11整除，也就是7BA要能被11整除，但是A与B只能是0，1，2，3，4中的两个数，只有B4，A0，满足条件的最大七位数是9876504再介绍另一种解法先用各位数字均不相同的最大的七位数除以11（参见下页除式）要满足题目的条件，这个数是9876543减6，或者再减去11的倍数中的一个数，使最后两位数字是0，1，2，3，4中的两个数字43637，371126，261115，15114，因此这个数是9876504思考题如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢（答1023495）例6某个七位数1993能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少与上例题一样，有两种解法解一从整除特征考虑这个七位数的最后一位数字显然是0另外，只要再分别考虑它能被9，8，7整除199322，要被9整除，十位与百位的数字和是5或14，要被8整除，最后三位组成的三位数要能被8整除，因此只可能是下面三个数1993500，1993320，1993680，其中只有199320能被7整除，因此所求的三位数是320解二直接用除式来考虑2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍数是2520，这个七位数要被2520整除现在用1993000被2520来除，具体的除式如下因为25202200320，所以19930003201993320能被2520整除例7下面这个41位数能被7整除，中间方格代表的数字是几解因为11111137111337，所以5555555111111和9999999111111都能被7整除这样，18个5和18个9分别组成的18位数，也都能被7整除右边的三个加数中，前、后两个数都能被7整除，那么只要中间的5599能被7整除，原数就能被7整除把5599拆成两个数的和55A00B99，其中AB因为7丨55300，7丨399，所以336注意，记住111111能被7整除是很有用的例8甲、乙两人进行下面的游戏两人先约定一个整数N然后，由甲开始，轮流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字之一填入下面任一个方格中每一方格只填一个数字，六个方格都填上数字（数字可重复）后，就形成一个六位数如果这个六位数能被N整除，就算乙胜；如果这个六位数不能被N整除，就算甲胜如果N小于15，当N取哪几个数时，乙能取胜解N取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数（六位数的个位），就使六位数不能被N整除，乙不能获胜N5，甲可以在六位数的个位，填一个不是0或5的数，甲就获胜上面已经列出乙不能获胜的N的取值如果N1，很明显乙必获胜如果N3或9，那么乙在填最后一个数时，总是能把六个数字之和，凑成3的整数倍或9的整数倍因此，乙必能获胜考虑N7，11，13是本题最困难的情况注意到100171113，乙就有一种必胜的办法我们从左往右数这六个格子，把第一与第四，第二与第五，第三与第六配对，甲在一对格子的一格上填某一个数字后，乙就在这一对格子的另一格上填同样的数字，这就保证所填成的六位数能被1001整除根据前面讲到的性质2，这个六位数，能被7，11或13整除，乙就能获胜综合起来，使乙能获胜的N是1，3，7，9，11，13记住，100171113，在数学竞赛或者做智力测验题时，常常是有用的二、分解质因数一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数（也叫素数）例如，2，5，7，101，一个整数除1和它本身外，还有其他约数，就称为合数例如，4，12，99，501，1不是质数，也不是合数也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至少有3个约数的整数是合数，1只有一个约数，也就是它本身质数中只有一个偶数，就是2，其他质数都是奇数但是奇数不一定是质数，例如，15，33，例9（）209在、中各填一个质数，使上面算式成立解209可以写成两个质数的乘积，即2091119不论中填11或19，一定是奇数，那么与是一个奇数一个偶数，偶质数只有2，不妨假定内填2当填19，要填9，9不是质数，因此填11，而填17这个算式是11（172）209，11（217）209解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积把一个整数分解成若干个整数的乘积，特别是一些质数的乘积，是解决整数问题的一种常用方法，这也是这一节所讲述的主要内容一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，2，3，7，都是42的质因数，6，14也是42的因数，但不是质因数任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，例如360222335还可以写成36023325这里23表示3个2相乘，32表示2个3相乘在23中，3称为2的指数，读作2的3次方，在32中，2称为3的指数，读作3的2次方例10有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少解我们先把5040分解质因数5040243257再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积24325778910所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数（包括1和它本身）为寻求一般方法，先看一个简单的例子我们知道24的约数有8个1，2，3，4，6，8，12，24对于较大的数，如果一个一个地去找它的约数，将是很麻烦的事因为24233，所以24的约数是23的约数（1，2，22，23）与3的约数（1，3）之间的两两乘积11，13，21，23，221，223，231，233这里有428个，即（31）（11）个，即对于24233中的23，有（31）种选择1，2，22，23，对于3有（11）种选择因此共有（31）（11）种选择这个方法，可以运用到一般情形，例如，1442432因此144的约数个数是（41）（21）15（个）例11在100至150之间，找出约数个数是8的所有整数解有871；8（31）（11）两种情况（1）27128，符合要求，37150，所以不再有其他7次方的数符合要求（2）238，813104，817136，符合要求3327；只有275135符合要求53135，它乘以任何质数都大于150，因此共有4个数合要求128，104，135，136利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数先把它们各自进行质因数分解，例如72024325，1682337那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数，上面两个整数都含有质因数2，较低指数次方是23，类似地都含有3，因此720与168的最大公约数是23324在求最小公倍数时，很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数请注意720中有5，而168中无5，可以认为较高指数次方是515720与168的最小公倍数是2432575040例12两个数的最小公倍数是180，最大公约数是30，已知其中一个数是90，另一个数是多少解18022325，30235对同一质因数来说，最小公倍数是在两数中取次数较高的，而最大公约数是在两数中取次数较低的，从22与2就知道，一数中含22，另一数中含2；从32与3就知道，一数中含32，另一数中含3，从一数是902325就知道另一数是223560还有一种解法另一数一定是最大公约数30的整数倍，也就是在下面这些数中去找30，60，90，120，这就需要逐一检验，与90的最小公倍数是否是180，最大公约数是否是30现在碰巧第二个数60就是逐一去检验，有时会较费力例13有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少解把420分解质因数42022357为了保证分子、分母不能约分（否则约分后，分子与分母的乘积不再是420了），相同质因数（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母分子从小到大排列是1，3，4，5，7，12，15，20分子再大就要超过分母了，它们相应的分数是两个整数，如果它们的最大公约数是1就称这两个数是互质的例13实质上是把420分解成两个互质的整数利用质因数分解，把一个整数分解成若干个整数的乘积，是非常基本又是很有用的方法，再举三个例题例14将8个数6，24，45，65，77，78，105，110分成两组，每组4个数，并且每组4个数的乘积相等，请写出一种分组解要想每组4个数的乘积相等，就要让每组的质因数一样，并且相同质因数的个数也一样才行把8个数分解质因数623，24233，45325，65513，77711，782313，105357，1102511先放指数最高的质因数，把24放在第一组，为了使第二组里也有三个2的因子，必须把6，78，110放在第二组中，为了平衡质因数11和13，必须把77和65放在第一组中看质因数7，105应放在第二组中，45放在第一组中，得到第一组24，65，77，45第二组6，78，110，105在讲述下一例题之前，先介绍一个数学名词完全平方数一个整数，可以分解成相同的两个整数的乘积，就称为完全平方数例如422，933，1441212，62525254，9，144，625都是完全平方数一个完全平方数写出质因数分解后，每一个质因数的次数，一定是偶数例如1443242，1002252，例15甲数有9个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数最小公倍数是2800，那么甲数和乙数分别是多少解一个整数被它的约数除后，所得的商也是它的约数，这样的两个约数可以配成一对只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，它的约数的个数才会是奇数因此，甲数是一个完全平方数280024527在它含有的约数中是完全平方数，只有1，22，24，52，2252，2452在这6个数中只有2252100，它的约数是（21）（21）9（个）2800是甲、乙两数的最小公倍数，上面已算出甲数是1002252，因此乙数至少要含有24和7，而247112恰好有（41）（11）10（个）约数，从而乙数就是112综合起来，甲数是100，乙数是112例16小明买红蓝两种笔各1支共用了17元两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵小强打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买都不能把35元恰好用完，问红笔、蓝笔每支各多少元解3557红、蓝的单价不能是5元或7元（否则能把35元恰好用完），也不能是17512（元）和17710（元），否则另一种笔1支是5元或7元记住对笔价来说，已排除了5，7，10，12这四个数笔价不能是351718（元）的约数如果笔价是18的约数，就能把18元恰好都买成笔，再把17元买两种笔各一支，这样就把35元恰好用完了因此笔价不能是18的约数1，2，3，6，9当然也不能是17116，17215，17314，17611，1798现在笔价又排除了1，2，3，6，8，9，11，14，15，16综合两次排除，只有4与13未被排除，而41317，就知道红笔每支13元，蓝笔每支4元三、余数在整数除法运算中，除了前面说过的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如953，485不能整除就产生了余数通常的表示是653212，38573上面两个算式中2和3就是余数，写成文字是被除数除数商余数上面两个算式可以写成653212，38573也就是被除数除数商余数通常把这一算式称为带余除式，它使我们容易从“余数”出发去考虑问题，这正是某些整数问题所需要的特别要提请注意在带余除式中，余数总是比除数小，这一事实，解题时常作为依据例175397被一个质数除，所得余数是15求这个质数解这个质数能整除5397155382，而53822319971323因为除数要比余数15大，除数又是质数，所以它只能是23当被除数较大时，求余数的一个简便方法是从被除数中逐次去掉除数的整数倍，从而得到余数例18求645763除以7的余数解可以先去掉7的倍数630000余15763，再去掉14000还余下1763，再去掉1400余下363，再去掉350余13，最后得出余数是6这个过程可简单地记成645763157631763363136如果你演算能力强，上面过程可以更简单地写成6457631500010006带余除法可以得出下面很有用的结论如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个数之差就能被那个除数整除例19有一个大于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少解由上面的结论，所求整数应能整除967，1000，2001的两两之差，即100096733311，20011000100171113，2001967103421147这个整数是这三个差的公约数11请注意，我们不必求出三个差，只要求出其中两个就够了因为另一个差总可以由这两个差得到例如，求出差1000967与20011000，那么差2001967（20011000）（1000967）1001331034从带余除式，还可以得出下面结论甲、乙两数，如果被同一除数来除，得到两个余数，那么甲、乙两数之和被这个除数除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数例如，57被13除余5，152被13除余9，那么57152209被13除，余数是5914被13除的余数1例20有一串数排成一行，其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数的和，问这串数中，第1998个数被3除的余数是多少解我们可以按照题目的条件把这串数写出来，再看每一个数被3除的余数有什么规律，但这样做太麻烦根据上面说到的结论，可以采取下面的做法，从第三个数起，把前两个数被3除所得的余数相加，然后除以3，就得到这个数被3除的余数，这样就很容易算出前十个数被3除的余数，列表如下从表中可以看出，第九、第十两数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余数相同因此这一串数被3除的余数，每八个循环一次，因为199882496，所以，第1998个数被3除的余数，应与第六个数被3除的余数一样，也就是2一些有规律的数，常常会循环地出现我们的计算方法，就是循环制计算钟点是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这十二个数构成一个循环按照七天一轮计算天数是日，一，二，三，四，五，六这也是一个循环，相当于一些连续自然数被7除的余数0，1，2，3，4，5，6的循环用循环制计算时间钟表、星期、月、四季，说明人们很早就发现循环现象用数来反映循环现象也是很自然的事循环现象，我们还称作具有“周期性”，12个数的循环，就说周期是12，7个数的循环，就说周期是7例20中余数的周期是8研究数的循环，发现周期性和确定周期，是很有趣的事下面我们再举出两个余数出现循环现象的例子在讲述例题之前，再讲一个从带余除式得出的结论甲、乙两数被同一除数来除，得到两个余数那么甲、乙两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积，被这个除数除所得的余数例如，37被11除余4，27被11除余5，3727999被11除的余数是4520被11除后的余数9199772852，就知道19971997被7除的余数是224例21191997被7除余几解从上面的结论知道，191997被7除的余数与21997被7除的余数相同我们只要考虑一些2的连乘，被7除的余数先写出一列数2，224，2228，222216，然后逐个用7去除，列一张表，看看有什么规律列表如下事实上，只要用前一个数被7除的余数，乘以2，再被7除，就可以得到后一个数被7除的余数（为什么请想一想）从表中可以看出，第四个数与第一个数的余数相同，都是2根据上面对余数的计算，就知道，第五个数与第二个数余数相同，因此，余数是每隔3个数循环一轮循环的周期是3199736652就知道21997被7除的余数，与21997被7除的余数相同，这个余数是4再看一个稍复杂的例子例2270个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和这一行最左边的几个数是这样的0，1，3，8，21，55，问最右边一个数（第70个数）被6除余几解首先要注意到，从第三个数起，每一个数都恰好等于前一个数的3倍减去再前一个数3130，8331，21833，552138，不过，真的要一个一个地算下去，然后逐个被6去除，那就太麻烦了能否从前面的余数，算出后面的余数呢能同算出这一行数的办法一样（为什么），从第三个数起，余数的计算办法如下将前一个数的余数乘3，减去再前一个数的余数，然后被6除，所得余数即是用这个办法，可以逐个算出余数，列表如下注意，在算第八个数的余数时，要出现031这在小学数学范围不允许，因为我们求被6除的余数，所以我们可以03加6再来减1从表中可以看出，第十三、第十四个数的余数，与第一、第二个数的余数对应相同，就知道余数的循环周期是127012510因此，第七十个数被6除的余数，与第十个数的余数相同，也就是4在一千多年前的孙子算经中，有这样一道算术题“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何”按照今天的话来说一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数这样的问题，也有人称为“韩信点兵”它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出的目前许多小学数学的课外读物都喜欢讲这类问题，但是它的一般解法决不是小学生能弄明白的这里，我们通过两个例题，对较小的数，介绍一种通俗解法例23有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几解除以3余2的数有2，5，8，11，14，17，20，23它们除以12的余数是2，5，8，11，2，5，8，11，除以4余1的数有1，5，9，13，17，21，25，29，它们除以12的余数是1，5，9，1，5，9，一个数除以12的余数是唯一的上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5上面解法中，我们逐个列出被3除余2的整数，又逐个列出被4除余1的整数，然后逐个考虑被12除的余数，找出两者共同的余数，就是被12除的余数这样的列举的办法，在考虑的数不大时，是很有用的，也是同学们最容易接受的如果我们把例23的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数很明显，满足条件的数是很多的，它是512整数，整数可以取0，1，2，无穷无尽事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件孙子算经提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个然后再与第三个条件合并，就可找到答案例24一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数解先列出除以3余2的数2，5，8，11，14，17，20，23，26，再列出除以5余3的数3，8，13，18，23，28，这两列数中，首先出现的公共数是83与5的最小公倍数是15两个条件合并成一个就是815整数，列出这一串数是8，23，38，再列出除以7余2的数2，9，16，23，30，就得出符合题目条件的最小数是23事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个被105除余23最后再看一个例子例25在100至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数解先找出两个连续自然数，第一个能被3整除，第二个能被5整除（又是被3除余1）例如，找出9和10，下一个连续的自然数是113和5的最小公倍数是15，考虑11加15的整数倍，使加得的数能被7整除1115356能被7整除，那么54，55，56这三个连续自然数，依次分别能被3，5，7整除为了满足“在100至200之间”将54，55，56分别加上3，5，7的最小公倍数105所求三数是159，160，161注意，本题实际上是求一个数（100200之间），它被3整除，被5除余4，被7除余5请考虑，本题解法与例24解法有哪些相同之处推理原理解数学题，从已知条件到未知的结论，除了计算外，更重要的一个方面就是推理。通常，我们把主要依靠推理来解的数学题称为推理问题。【例1】有一座四层楼（图251），每层楼有3个窗户，每个窗户有4块玻璃，分别是白色和蓝色，每个窗户代表一个数字，从左到右表示一个三位数，四个楼层所表示的三位数分别是791，275，362，612。那么，第二层楼代表哪个三位数【分析】仔细观察图251和组成四个三位数的12个数字，“2”出现3次，两次在个位，一次在百位。容易看出图2（A）代表“2”，再从“6”、“7”都出现两次，并根据它们所在的数位以及与“2”的关系，可推知图252中（B）、（C）分别代表“6”和“7”。【解】第二层楼代表612。【例2】有8个球编号是至，其中有6个球一样重，另外两个球都轻1克。为了找出这两个轻球，用天平称了3次。结果如下第一次比重第二次比轻第三次与一样重，那么，两个轻球的编号是_和_。【分析】从第一次称的结果看，、两球中有一个轻；从第二次称的结果看，、两球中有一个轻；从第三次称的结果看，、三球中有一个轻，、三个球中也有一个轻。综合上面推出的结果，可找出两个轻球。【解】两个轻球的编号是和。说明在上面的推理中，我们省去了一步，也就是排除了、与、中都没有轻球的那种可能。因为容易用反证法导出“、”都是轻球”这一结论与第二次称的结果相矛盾。【例3】如图253，每个正方体的六个面上分别写着16这六个数字，并且任意两个相对的面上所写的两个数字之和都等于7。把这样的五个正方体一个挨着一个连接起来后，紧挨着的两个面上两个数字之和都等于8。图3中打“”的这个面上所写的数字是_。【分析】根据题意，容易推知拐弯处的那个正方体的右侧面上写的数字可能是“2”，也可能是“5”。但用反证法可把第1种情况排除。怎样排除（留给读者完成）【解】打“”的这面上写着“3”。【例4】德国队、意大利队、荷兰队进行一次足球比赛，每队与另两支队各赛一场。已知（1）意大利队总进球数是0，并且有一场打了平局；（2）荷兰队总进球数是1，总失球数是2，并且该队恰好胜了一场。按规则胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分。问德国队得了_分。【分析】由条件（2）知，荷兰队胜了一场，而不进球是不可能胜的，但它的总进球数只有1，说明这场比赛它以10取胜。又因为它总失球数2，所以另一场比赛以02输了。再由条件（1）知以20赢荷兰队的不可能是意大利队（因为意大利队没有进球），只可能是德国队（记2分）。既然荷兰队输给德国队，那么它胜的一场一定是对意大利队，而且比分为10。德、意两队以00踢平（各记1分）。【解】德国队得了3分。【例5】某楼住着4个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的4岁。最大的男孩比最小的女孩大4岁，最大的女孩比最小的男孩也大4岁。最大的男孩多少岁【分析】最大的孩子（10岁的）不是男孩，就是女孩。如果10岁的孩子是男孩，那么，根据题意，最小的女孩是6岁（6104），从而，最小的男孩是4岁，再根据题意，最大的女孩是8岁（844）。这就是说，4个女孩最小的6岁，最大的8岁，其中必有两个女孩同岁，但这与已知条件“他们的年龄各不相同”矛盾。所以10岁的孩子不是男孩，而是女孩。最小（4岁）的孩子也是女孩。【解】最大的男孩是448（岁）。在上面的分析中，我们用了这样的性质如果4个自然数只能取三种不同的值，那么其中必定有两个数相等。【例6】一次象棋比赛共有10名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个队，每个选手都与其余9名选手各赛1盘，每盘棋的胜者得1分，负者得0分，平局双方各得05分。结果，甲队选手平均得45分，乙队选手平均得36分，丙队选手平均得9分。那么，甲、乙、丙三队参加比赛的选手人数各多少【分析】这次比赛共需比9872145（盘）。因为每盘比赛双方得分的和都是1分（101或0521），所以10名选手的总得分为14545（分）。每个队的得分不是整数，就是“A5”这样的小数。由于乙队选手平均得36分，36的整数倍不可能是“A5”这样的小数。所以，乙队的总得分是18或36。但363610，而三个队一共才10名选手（矛盾）。所以，乙队的总分是18分，有选手18365（名）。甲、丙两队共有5名选手。由于丙队的平均分是9分，这个队总分只可能是9分、18分（不可能是27分。因为271845，甲队选手总得分为0分），丙队选手人数相应为1名、2名，甲队选手人数相应为4名、3名，经试验，甲队4名选手，丙队1名选手。【例7】将18这8个自然数分成两组，每组四个数，并使两组数之和相等。从A组拿一个数到B组后，B组的数之和将是A组剩下三个数之和的2倍；从B组拿一个数到A组后，B组剩下的三个数之和是A组五个数之【分析】18这8个数之和为36，分成的两组每组4个数之和为36218。第一次拿数后，A组剩下三数的和为36（12）12，拿出接下去推就容易了，只要把剩下的1、2、4、5、7、8分成两组，其中A组另三个数之和为18612。【解】A组1，4，6，7；B组2，3，5，8。教练员提示语在运用试验法（排除法）时，应想办法使试验的次数尽可能少些，这就需要用足题目所给的已知条件，并有意识地寻找别的限制条件。如例2中“05的整数倍不是整数，就是小数部分为05的带小数”，“36的整数倍不可能是A5这种形式”等。另外，像例2、例3中“总分45分”、“共10名选手”、“A组剩下三数之和为12”等，都是推理的重要根据。逻辑推理问题。解这类题通常要借助于表格。【例8】五封信，信封完全相同，里面分别夹着红、蓝、黄、白、紫五种颜色的卡片。现在把它们按顺序排成一行，让A、B、C、D、E五人猜每只信封内所装卡片的颜色。A猜第2封内是紫色，第3封是黄色；B猜第2封内是蓝色，第4封是红色；C猜第1封内是红色，第5封是白色；D猜第3封内是蓝色，第4封是白色；E猜第2封内是黄色，第5封是紫色。然后，拆开信封一看，每人都猜对一种颜色，而且每封都有一人猜中。请你根据这些条件，再猜猜，每封信中夹什么颜色的卡片【分析】把已知条件简明地记录在表格中（如图271）。选择其中一只信封作为“突破口”。比如第3封，A猜的是黄色，D猜的却是蓝色。由已知条件，这只信封内的卡片不是蓝色，就是黄色。假如第3封是蓝色，那么逐步推理可导出矛盾白色卡片没人猜对，见图271，“白”这栏下面5（）、4（）。这说明假设不正确，第3封内应是黄色。由此推出其它各封内的颜色（见图272中的“”）。【例9】赵、钱、孙、李四人，一个是教师，一个是售货员，一个是工人，一个是机关干部。试根据以下条件，判断这四人的职业。（1）赵和钱是邻居，每天一起骑车上班；（2）钱比孙年龄大；（3）赵在教李打太极拳；（4）教师每天步行去上班；（5）售货员的邻居不是机关干部；（6）机关干部和工人互不相识；（7）机关干部比售货员和工人年龄都大。【分析】由条件（4）和条件（1）可知赵、钱都不是教师。由条件（2）和条件（7），可推知孙不是干部。如果是的话，钱不是工人或售货员，钱又不是教师。于是，钱也是干部，矛盾。这样我们得到下表。下面几步推理也用表格说明。教练员提示语解逻辑推理问题，需要借助表格，使已知条件及推出的有用结论一目了然。在表格中，对正确的（或不正确的）结果要及时注上“”（或“”），以免影响推理的速度，或被错误信息干扰思路。除了常用的反证法、排除法外，还需要掌握一些简单的逻辑知识。比如“两件互相矛盾对立（不能都存在）的事，如果一件不正确，另一件必定正确”。数的运算问题1、考生首先要明确出题者的本意不是让考生来花费大量时间计算，题目多数情况是一种判断和验证过程，而不是用普通方法的计算和讨论过程，因此，往往都有简便的解题方法。2、认真审题，快速准确地理解题意，并充分注意题中的一些关键信息；通过练习，总结各种信息的准确含义，并能够迅速反应，不用进行二次思维。3、努力寻找解题捷径。大多数计算题都有捷径可走，盲目计算可以得出答案，但时间浪费过多。直接计算不是出题者的本意。平时训练一定要找到最佳办法。考试时，根据时间情况，个别题可以考虑使用一般方法进行计算。但平时一定要找到最佳方法。4、通过训练和细心总结，尽量掌握一些数学运算的技巧、方法和规则，熟悉常用的基本数学知识；5、通过练习，针对常见题型总结其解题方法；6、学会用排除法来提高数学运算主要包括以下几类题型基本解题方法1、尾数排除法先计算出尾数，然后用尾数与答案中的尾数一一对照，利用排除法得出答案；2、简便计算利用加减乘除的各种简便算法得出答案。通过下面的例题讲解，来帮助您加深对上述方法理解，学会灵活运用上述方法解题。1、加法例1、425683544828A2480B2484C2486D2488解题思路先将各个数字尾数相加，然后将得到的数值与答案的尾数一一对照得出答案。尾数相加确定答案的尾数为0，BCD都不符合，用排除法得答案A；例2、199519961997199819992000A11985B11988C12987D12985解析这是一道计算题，题中每个数字都可以分解为2000减一个数字的形式20006（54321）尾数为1001585得A注意1、20006（54321）尽量不要写出来，要心算；2、12。515是常识，应该及时反应出来；3、各种题目中接近于100、200、1000、2000等的数字，可以分解为此类数字加减一个数字的形式，这样能够更快的计算出答案。例3、123456789987654321A333B323C3333D3323解析先将题中各个数字的小数点部分相加得出尾数，然后再将个位数部分相加，最后得出答案。本题中小数点后相加得到30排除C,D小数点前的个位相加得258852尾数是0,加上3确定答案的尾数是3答案是A。解题思路1、先将小数点部分加起来，得到尾数，然后与答案一一对照，排除其中尾数不对的答案，缩小选择范围。有些题目此时就可以得到答案。2、将个位数相加得到的数值与小数点相加得到的数值再相加，最后得到的数值与剩下的答案对照，一般就可以得到正确的答案了。2、减法例1、95134656351139513113（465635）940011008300例2、48975626394528A22081078B22581072C22581272D22581172解析小数点部分相加后，尾数为72排除A,个位数相减6150，排除C和D,答案是B。3、乘法方法1、将数字分解后再相乘，乘积得到类似于1、10、100之类的整数数字，易于计算；2、计算尾数后在用排除法求得答案。例1393B403C262D2631解析先不考虑小数点,直接心算尾数12581000215303131393符合要求的只有A例2、11912012012012014400120。80解析此题重点是将119分解为1201，方便了计算。例3、123456654321A80779853376B80779853375C80779853378D80779853377解析尾数是6,答案是A。此类题型表面看来是很难，计算起来也很复杂，但我们应该考虑到出题本意决不是要我们一点一点地算出来，因此，此类题型用尾数计算排除法比较容易得出答案。例4、1254373225（）A、43700000B、87400000C、87455000D、43755000答案为A。本题也不需要直接计算，只须分解一下即可1254373225125322543712584254371000100437437000005、混合运算例1、857784312285743781229020704532453279158453222266例2、计算（11/10）（11/9）（11/8）（11/2）的值A、1/108000B、1/20C、1/10D、1/30解析答案为C。本题只需将算式列出，然后两两相约，即可得出答案。考生应掌握好这个题型，最好自行计算一下。容斥问题一、知识点1、集合与元素把一类事物的全体放在一起就形成一个集合。每个集合总是由一些成员组成的，集合的这些成员，叫做这个集合的元素。如集合A0，1，2，3，9，其中0，1，2，9为A的元素。2、并集由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集，记作AB，记号“”读作“并”。AB读作“A并B”，用图表示为图中阴影部分表示集合A，B的并集AB。例已知6的约数集合为A1，2，3，6，10的约数集合为B1，2，5，10，则AB1，2，3，5，6，103、交集A、B两个集合公共的元素，也就是那些既属于A，又属于B的元素，它们组成的集合叫做A和B的交集，记作“AB”，读作“A交B”，如图阴影表示例已知6的约数集合A1，2，3，6，10的约数集合B1，2，5，10，则AB1，2。4、容斥原理（包含与排除原理）（用|A|表示集合A中元素的个数，如A1，2，3，则|A|3）原理一给定两个集合A和B，要计算AB中元素的个数，可以分成两步进行第一步先求出AB（或者说把A，B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步减去AB（即“排除”加了两次的元素）总结为公式|AB|ABAB原理二给定三个集合A，B，C。要计算ABC中元素的个数，可以分三步进行第一步先求ABC；第二步减去AB，BC，CA；第三步再加上ABC。即有以下公式ABCABCABBC|CA|ABC二、例题分析例1求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。分析设A20以内2的倍数，B20以内3的倍数，显然，要求计算2或3的倍数个数，即求AB。解1A2，4，6，20，共有10个元素，即|A|10B3，6，9，18，共有6个元素，即|B|6AB既是2的倍数又是3的倍数6，12，18，共有3个元素，即|AB|3所以ABABAB106313，即AB中共有13个元素。解2本题可直观地用图示法解答如图,其中,圆A中放的是不超过20的正整数中2的倍数的全体圆B中放的是不超过20的正整数中3的倍数的全体,其中阴影部分的数6,12,18是既是2的倍数又是3的倍数的数即AB中的数只要数一数集合AB中的数的个数即可。例2某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人；语文得90分以上的有21人；两科中至少有一科在90分以上的有38人。问两科都在90分以上的有多少人解设A数学成绩90分以上的学生B语文成绩90分以上的学生那么，集合AB表示两科中至少有一科在90分以上的学生，由题意知，A25，B21，AB38现要求两科均在90分以上的学生人数，即求AB，由容斥原理得ABABAB2521388点评解决本题首先要根据题意，设出集合A，B，并且会表示AB，AB，再利用容斥原理求解。例3某班同学中有39人打篮球，37人跑步，25人既打篮球又跑步，问全班参加篮球、跑步这两项体育活动的总人数是多少解设A打篮球的同学；B跑步的同学则AB既打篮球又跑步的同学AB参加打篮球或跑步的同学应用容斥原理ABABAB39372551（人）例4求在不超过100的自然数中，不是5的倍数，也不是7的倍数有多少个分析这个问题与前几个例题看似不相同，不能直接运用容斥原理，要计算的是“既不是5的倍数，也不是7的倍数的数的个数。”但是，只要同学们仔细分析题意，这只需先算出“100以内的5的倍数或7的倍数的数的个数。”再从100中减去就行了。解设A100以内的5的倍数B100以内的7的倍数AB100以内的35的倍数AB100以内的5的倍数或7的倍数则有A20，B14，AB2由容斥原理一有ABABAB2014232因此，不是5的倍数，也不是7的倍数的数的个数是1003268（个）点评从以上的解答可体会出一种重要的解题思想有些问题表面上看好象很不一样，但经过细心的推敲就会发现它们之间有着紧密的联系，应当善于将一个问题转化为另一个问题。例5某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27人，参加外语小组的有18人；同时参加数学、语文两个小组的有4人，同时参加数学、外语小组的有7人，同时参加语文、外语小组的有5人；三个小组都参加的有2人。问这个年级参加课外学科小组共有多少人解1设A数学小组的同学，B语文小组的同学，C外语小组的同学，AB数学、语文小组的同学，AC参加数学、外语小组的同学，BC参加语文、外语小组的同学，ABC三个小组都参加的同学由题意知A23，B27，C18AB4，AC7，BC5，ABC2根据容斥原理二得ABCABCABAC|BC|ABC232718（457）254（人）解2利用图示法逐个填写各区域所表示的集合的元素的个数，然后求出最后结果。设A、B、C分别表示参加数学、语文、外语小组的同学的集合，其图分割成七个互不相交的区域，区域（即ABC）表示三个小组都参加的同学的集合，由题意，应填2。区域表示仅参加数学与语文小组的同学的集合，其人数为422（人）。区域表示仅参加数学与外语小组的同学的集合，其人数为725（人）。区域表示仅参加语文、外语小组的同学的集合，其人数为523（人）。区域表示只参加数学小组的同学的集合，其人数为2322514（人）。同理可把区域、所表示的集合的人数逐个算出，分别填入相应的区域内，则参加课外小组的人数为人）点评解法2简单直观，不易出错。由于各个区域所表示的集合的元素个数都计算出来了，因此提供了较多的信息，易于回答各种方式的提问。例6学校教导处对100名同学进行调查，结果有58人喜欢看球赛，有38人喜欢看戏剧，有52人喜欢看电影。另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧（但不喜欢看电影）的有6人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧（但不喜欢看球赛）的有4人，三种都喜欢的有12人。问有多少同学只喜欢看电