解析几何经典例题集

解析几何教学中几个层面教学计划与策略熟悉1、数学课程标准、教材内容2、学科指导意见3、考试说明、样卷（抽测卷）4、高考试卷破解1、教学时段的安排（如何处理内容分散问题）重点中学考虑IB坐标系与参数方程教学2、建立知识体系知识系统化3、如何落实教学中的双基4、如何把握以下几块内容的教学要求和教学目标求轨迹难易标准；圆锥曲线第二定义文理中对直线与圆锥曲线内容的不同要求5、关注与圆锥曲线相联系的综合问题（问题的方向性）教学的实施和形式1、学情分析，策略教学（一步到位，逐步推进）2、课堂教学形式是否可以有多种3、如何评价课堂教学的有效性4、如何减轻学生的作业负担（精讲精练，作业布置的有效性）5、全面提高解几解题能力解几教学的研究与创新1、挖掘解几内容中的数学本质问题和一般规律2、解题指导中的如何体现数学思想方法3、教材教法研究问题链（情景教学，变式教学，设计与评价）4、探究性问题，开放题5、高考研究欣赏，改编，重组，本源创作6、解几中的数学教学创新附一个问题的探究实例数学第二册上人民教育出版社中关于抛物线过焦点的弦有这样两个结果经过抛物线Y22PX的焦点F，作一条直线垂直于它的对称轴，和抛物线相交于P1,P2两点，线段P1P2叫做抛物线的通径，则通径的长是2P过抛物线Y22PX的焦点一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为YA,YB，求证YAYBP211题精心设计情境，帮助学生感知和发现问题教师同学们，题、题分别是关于通径的长度过焦点的弦称之为焦点弦两端点坐标与参数P之间的关系现在请你们思考哪些元素可确定一条焦点弦教师呈现上述两个结果作为探究情境，把学生引入情景，增强学生的探究欲望。学生众焦点弦两个端点的坐标XA,YA,XB,YB或焦点弦|AB|的长度及它与X轴所成的倾斜角教师在这些量中，能建立一些什么关系呢学生ATAN，|AB|都能用坐标表达。教师既然两者都与坐标有关，那么|AB|与能否建立直接的关系呢你能从题的结论中受到启示吗请大家分组讨论教师向学生布置任务，在情景中催发思想。12紧紧围绕目标，激励学生大胆猜想和假设教师引导学生善于运用直觉思维，大胆猜测，积极假设。学生B当AB在通径的位置时，由于900,|AB|2P,PAB2ABP2因此猜测SIN1或者SIN2教师在边上作适时引导两式右边具备什么特征，两式会同时成立吗对此，有一部分同学发表了看法认为结论1是错误的，因为对于1,随着焦点弦绕着焦点向右旋转，观察到越来越小，而|AB|越来越大，特别当00时，|AB|的长为无限长，看来情形2可能是正确的教师很好，同学们根据特殊情形猜出了一个结论,而猜想不一定正确接下去请同学们着手寻找证实或证伪的依据，从哪些角度人手呢同学们继续讨论教师激励同学大胆尝试13引导方案设计，鼓励学生参与分析和讨论教师让学生自由讨论。（需5分钟时间）某小组的一位学生C代表小组表达了他们思考的结果。学生C从抛物线的定义出发，由于|AB|AF|BF|XA,XBP直线方程和抛物线方程联立，由韦达定理得到21K2SIN2P|AB|XAXBP21P当然，在上述的推导过程中，要注意K0，并且K要存在。特别当K不存在，即00,AB恰为通径，此时，|AB|2P,上述公式仍然成立教师同学们从特殊情况人手，猜想了公式，并经过修正得出了正确结论，充分体验了数学发现的过程你们刚才所经历的也就是数学家们探究问题所经历的希望大家平时要多注意一些看似简单的问题，以培养自己的观察、思考能力受到了老师的鼓励，学生D也争着把自己在探索中碰到的障碍向大家反映了出来对于刚才的问题，由于有角度，我想到了面积，从而作AOB，而且求得SAOB|OF|AF|SIN若能求出面积，则|AB|与的关系也解决了2121。21K21K而SAOB|OF|YA|YB|3到了这里以后，就继续不下去了因为我不知道该怎样转换掉对3式两边平方得（YA|YB|）2Y2A2YAYBY2B2PXAXB2P2下面同他们的解法相同，利用韦达定理可得（YA|YB|）24P2此时教师没有回避学生的质疑，先在态度上给予鼓励，也没有直接指出学生的错误。而是用赞赏的语气说显然你引用了YAYBP2这个结论很好，这个结论还说明一个什么问题呢学生D终于想到YAYBP20。21K2122SIN4PSIN22P2SIN2SIN|2POFSAOB于是大家动手求得（YA|YB|）2Y2A2YAYBY2B2PXAXB2P24P2（1）SAOB|OF|YA|YB|，从而AB|14构建知识网络，促进能力内化和提升教师很好，同学D从另外的角度得到焦点弦长的计算公式，而且不经意间还求出了焦点弦与原点所构成三角形面积的计算公式从上述两个公式中大家还有其它可发现吗教学进行到此时，问题似乎已圆满解决。但是教师没有让教学活动停止，而是适时提问引导，将探究活动引向高潮，学生的思维火花再一次被点燃，他们认真思考，深度剖析，用简洁的语言概括出下列结论。学生E说明|AB|和的值随变化而变化显然，当90时AB取到最小值，此时SAOB也取到最小值因而有结论通径是所有焦点弦中长为最短的通径与原点所构成的三角形是所有焦点弦与原点所构成的三角形中面积最小的教师同学们在刚才的探索过程中，不仅得到了一些数学结论，更重要的是通过探索掌握了数学思维方法，培养了数学学习的能力，也享受到了成功的喜悦望同学们多注意这样的例题、习题，它是你们进行再创造的好素材纵向剖析，即分析例题涉及到哪些知识点重点、难点和疑点在哪里解题所涉及的数学思想和数学方法是什么等等一梳理解几教学中本源性知识解几特点通过代数运算，解决几何问题。1代数运算性特点计算公式解释几何基本公式向量工具起点两点间距离公式定比分点坐标公式斜率公式（到角公式）点线距离公式弦长公式关键如何通过分析几何特点，转化到可利用解几基本公式来计算。实施几何问题数字化建立坐标系（坐标法解释法）2方程组讨论法几何图形方程化（点坐标、直线、曲线方程）交点相关问题公共点、公共解几何量相等问题列方程方程有解的讨论（代数形式、数形结合）例109浙江理21（本题满分15分）已知椭圆的右顶为，过的焦点且垂直长轴的弦长为1（I）求椭圆的方程；（II）设点在抛物线上，在点处的切线与交于点当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值222210YXABAB1C2YXHHR2C2CP1C,MNAPMNH1,0A1C212,121BABBA2214YX解析（I）由题意得所求的椭圆方程为，WWWKS5UCOM21122,MXYNXYPTTH2C（II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为2XTYT，直线MN的方程为22YTXTH，1C1C2224240XTXTH将上式代入椭圆的方程中，得，即2222241440TXTTHXTH因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有4221162240THTH，3X21232221XXTTHXT设线段MN的中点的横坐标是，则设线段PA的中点的横坐标是4X，则412TX，由题意得34XX，即有2110THT，22140,1HH3H其中的或；3H220,40HH4221162240THTH当时有，因此不等式不成立；1H1H2110THT1T因此，当时代入方程得H1,1HT4221162240THTH将代入不等式成立，因此的最小值为1二熟悉韦达定理在解几中的应用2212221121122222121222212121114,0,1ABKXXKXXXXFXYYKXMAXYBXYABXXYYXXKXKXKXX例1弦长公式曲线，直线相交于两点则例2浙江省2009年考试说明编写前的测试卷（理21题，文22题，满分15分）2203122PXPPYKXBCABLYBMAMBL已知抛物线CY上横坐标为的一点，与其焦点的距离为4求的值设动直线与抛物线相交于，两点，问在直线上是否存在与的取值无关的定点，使得被直线平分若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由。ABMXY（韦达定理应用，方程组法）213,34,2,42PXPX解抛物线Y1211221212211122121222222,220,T2B24044044T2B4840T8012AMBMKYYAXYBXYTXTXYTXYTXXYBXYBYYYYBYKXBYYBYXTBB由已知平分，则K设则即又代入得4T由方程组即8，T1与B值无关，定点M，注角的计算用平面向量例3宁波市2008学年度第一学期期末试卷（理21题，文22题，满分15分）如图，椭圆长轴端点为A,B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且1求椭圆的标准方程；2记椭圆的上顶点为H，直线L交椭圆于P、Q两点，问是否存在直线L使点F恰为PQM的垂心若存在，求出直线L的方程若不存在，请说明理由11AFFBOF，ABOFXYABOFXY222222222110111212XYABABCAFFBACACACAXY解记椭圆方程为由题意又，即故椭圆的方程为1122222212212112212122,0,1,1,013422012,011210PQLPQFPQMPXYQXYMFKLYKXMXMXMXYPFMQQFMPMPFQXXYYYKXMYKXMXXXXMMM假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的重心，则设，故设直线椭圆又，由韦达定理代入解得4433MLYX或M1舍，则直线ABOFXY（韦达定理应用，方程组法）例4已知椭圆的右准线为L，过右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，经过点B与X轴平行的直线交右准线于C点，求证直线AC过一定点双曲线，抛物线都有类似的命题2212XYABOFXYCABOFXYC2222122122112222121211121121221010222212,22,22112XMYXMYMYFXYMYYMYYMAXYBXYCYYYXACYYXXYMYXMYYYYYM分析设AB的方程为不包括轴，另一方面，设，则，准线方程直线方程注意到，如果令Y0，得X2必须寻得与沟通的式子21212122222132222330022YYYYYYMYACYYYXYYXXYAC代入得到直线即时，直线过定点，说明如何设计构造12121212,XXXXYYYY或21211222112222212121121211XXXXXXXXXXXXXXXXX如关系式为，则如关系式为，则三、掌握求轨迹方程曲线方程的几种方法根据解析几何的基本思想，平面解析几何研究基本的问题是1、根据已知条件，建立平面曲线的方程（求轨迹）。2、通过方程，研究平面曲线的性质（解析法，坐标法）用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何对象，然后对坐标和方程进行代数讨论，最后再把代表运算结果“翻译”成相应的几何结论，这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”。关键词选系、运算、数形结合1、直接法（定义法）2、转移法3、参数法4、点差法例509广东理19（本小题满分14分）2CYX20LXY,AAAXY,BBBXY已知曲线与直线交于两点和，且ABXXCABLABD记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为,PSTLPAB设点是上的任一点，且点与点和点均不重合QABPQM（1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；2225124025GXAXYYADA（2）若曲线与有公共点，试求的最小值XYOXAXBD例609海南理四“代数运算”的实施与策略对“运算”要有个比较性的认识利用几何关系转化运算OXNYMAB2155,885182XYCNYYNPYYXX分析求轨迹方法直接法设N为上的点，到直线距离由题意，化简（注也可由抛物线定义求得）200002222222000000222200000222222220222,11111,111441112211124121QBQAMQRTQMAQAMXYLYKXBXKXXQBKXQMXXXXXXKKXXXMAKKXQAQMMAKXKKQBQA关键是如何计算方法一连，在中计算，设直线，则，点线距离22211522202KQBXLXYKQAXK当K2时直线方程为OXNYMABOXNYMA