[研究生入学考试]线性代数第3版习题全解上海交通大学

习题111计算下列行列式1；7415COSIN23IXYZX2COS10402COSXX5。XYX解1751431；74152；D31XYZYZXX。3310YZXYZXXYZX422COS014COSS1102COSXX。234COS84COS1X5XY2YXYXYX3YX32Y2用行列式方法求解下列线性方程组1；2。1528XY1231454X解1,12331,10,952858DD120,9XX213345,4527,100，2423,813D。129,6DXXX3求下列各排列的逆序数134215；2132N12N2N22。解1T2215212121TN4写出四阶行列式中含有因子A11A23的项。解123434124TTIJPPPAAAP3P4是2，4的全排列，即24，42，故131234,TTA即，。124A5证明。123211212100NNNNNNNADAAAA按行列式定义即可证明（略）。习题121试证明行列式性质4。证12112112120NNIIIIIIIIINIIINNNAAADKKAAA2计算下列行列式1；2。10412057解110111002；1032241102102102047475255574。1120079855943计算N阶行列式1；2。11ADA112031DN解111111NANANADA110011ANNA。NA2把第2行的倍，第3行的倍，第N行的倍都加到第11行上去，D可化成下列行列式。22101310NINI习题131计算下列行列式1；1102D023ABAB4。2222222213AABBCCDD解1；31110122302D200ABABBA000ABBA；333ABB3021002AAABABB10220AABBB；2A42222221469AABBBDCCCDDD。221469160AAABBBCCCDDD2计算下列行列式1；2；123100201NNDN1232NDN3；4。0102100NDN121NNXDX解1从第2列开始，各列统统加到第1列上去，得310001022220101NNDNN；112NN2第2列的1倍分别加到其他各列上去，得；02012102NDNN3先按最后一行展开，得110221NNNND；241NA4将DN增加一行、一列，得到N1阶行列式112212100100NNNNINXXDXAXX。设。121NIA120NA习题141用克莱姆法则解线性方程组1；12341243,1,7XXX。2其中AIAJ，IJI，J1，2，N。2111322113,NNNAAXXXX。解1，144234016,680737DD，23142401136,61307；31244123400,8,6,07DDDXXXX2212111222121,NNNNNNAAAA11212220,0NNNNNAADD故。123,XX2问取何值时，下列方程组有唯一解1232123,X。解12110D21故当且时，方程组有唯一解。3，取何值时，下列方程组有非零解1230,X。解。1120D当，且时，方程组有唯一解（零解），1当或时，D0，方程组有无穷多解。4求下列行列式的值1；22345916287D；111NNNNAAAA112111212222121234NNNNNNNNNXYXYABABDD；2125,0NNNAAN；7；13216NAD123412NNDN8。012132340121NNDN解123322443351454523525454140212111NNNNNAADA112212NJINAJ3。121212121NNNNNXYXYXYD若将其按第一行展开，当时，所有代数余子式全为0。因此，当时，；当时，；时，2N0N1NDXY2。1122NXYXYD21214。12121121NNNABB若将其按第一列展开，当时，所有代数余子式全为0。因此，当时，；当时，；时，2N0ND1NDAB2。11212122NABA51122331000NNNNNIADAAA。1121121NNNIIAA61110011NAAADAAA1101NN1210NNA。1122NNNNNAAA7第2列的1倍加到第3列，同时把第1列的1倍加到第2列，其余各列不变，得1102NND8将第K行的1倍加到第K1行上去KN1，N2，N3，3，2，得01221012433100102NNNNND1123213110000022020NNNNN。1122200NNNN5用递推法计算行列式。COS1020COS02COS1ND解1COS1020COS2CS02COS01NND，122COSN上式为关于的差分方程，其特征方程为，特征根为D2COS0RR，故。又，得CSIR12COSINNC221COSD，从而。210,C复习题11设，D的展开式中，X4的系数等于_，X3的系数等123XD于_。解将D按第一列展开，得四项求和21123321XXXX只有第一项能出现X4，其系数是2。第一项含X3，系数2；第二、三项不含X3；第四项含X3，其系数2。故D中X3的系数为220。2计算阶行列式N。NNXBBAXABA1321解1231NNNXAABDXABB1122331100NNAXAAXBBXXABA12311NNXABAXADBB123110000NNXAABXXADXB，同理可得。11NINIAXBAD11NINIXAB当时，从上述两式可以解得；AB11NNIIIIAXBXAD当时，只须对上式令即可得。B11NNNIIIXA3计算阶行列式均不等于零，1N,IA,2I。NNNNNNNNNBABAD121112212111解（范德蒙行列2221212111NNNNNNABAB式）。1NJIIJINA4设，求证，其中11,2,1,1NNNAADNDD21K为将中第列元素换成后所得的新行列式。,2KK121,NX证明将增加一行和一列得到下列阶行列式，此行列式显然为0。N1121,1NNNAAX将此行列式按第一行展开，得，110KKA显然，11,2NKNKKADDN，故。1,1NNAD1NK5已知四阶行列式，试求A41A42与A43A44的值。其中A4J是2345671D的第4行元素的代数余子式J1，2，3，4。解。134580583656712212由于，分别取IJ4，得12340,IJIJIJIJIJAAAAD41424346A再取I2，J4，得。220A将代入，得。4123421324,A414324630AA解得。41243,9AA6计算阶行列式N。211222NNNNNXXD解将增加一行、一列得到下列阶行列式，此行列式显然与原行列式相N1等，所以221111222220NNNNNNNXXXD22111122220NNNNNNXXX1211122212NNINNNNXXX111IIJIIJJNIJINXXX。112IIIJJIN7设是不全为零的实数，试证明下列方程组只有零解DCBA,。123412340AXBCXDCDA证明方程组的系数行列式，BCDDAD显然，满足，2220TBC根据克莱姆法则，此方程组只有零解。8计算行列式。NXYYZDZX解11100NNNNXYYZDXDYZXXY。11NNXYXZ对调，即得的转置行列式，从而，当,ZND11NNNDXZXY时，联立得；NYXZY当时，对上式取极限得YZ，1NXYY故。1,NNNNZXYZYDX9计算行列式。12NNNNNABDCD解1112100NNNABDCDD1211100NNNNNBACBCD21222NNNADDCBDADBCD。11221NNNNNIIIADCADBC10设。IJN1如果证明；,IIJJA0D2如果证明。12IIJJN证明1假设，则由克莱姆法则的推论知，由D构成的齐次线性方程组0D110NNAXX有非零解。2,T设是该解中满足的正整数，则RIRXMA，10NRJAX11,NNRJRRJRJJAX，11NNJRRRJJJXA与题设矛盾，故；0D2显然，从而，由1知，。IIIIJJA0D习题211一个阶方阵，既是上三角矩阵又是下三角矩阵，问是什么类型的矩阵NAA答是对角矩阵。2设。若，试求123123,456456ABCABXYZAB的值。,ABCX,YZ解根据矩阵相等的定义，有1,1,223,AXBYCZ解得。1,4,6AXY3设有线性方程组试写出该方程组的系数矩阵和增广矩阵。2413,0X解系数矩阵、增广矩阵分别为。10013,4220AA习题221设，试求。01135422,AB,TAB解。331281361298950,8274TTBA2设，试求AB2，A22ABB2，|5A|，|AB|以及A。13,31A解2550B2271821543250376A，或，或2550A51085,422013AAB。4,31B3若矩阵，满足条件，试证明必为方阵；问如何,ACACB,ABC证明根据矩阵相乘的条件，可设，IJIJIJMKNLKNABC由，得，即为方阵，而不一定为方阵。B,MKNL,4设，如果，试求矩阵的所有元素之1212,NNBAAAA和。解，1121222212NNNNNBBABAAA的所有元素之和为。11NIJB5如果，则与可交换。试求所有与可交换的矩阵。ABB10解设与可交换，即，ABCD101ABABCDCD，得，D,0故与可交换的矩阵为，其中为任意实数。10AB,A6设，试求（为非负整数）。1ANA解记，10100AEB则，2340,NBBO从而。22110NNNNAEB7试证明对任意矩阵，恒为对称矩阵。MNTA证明因为，所以为对称矩阵。TAT8设为对称矩阵，为反对称矩阵，试证明B1为对称矩阵；22为对称矩阵；3为反对称矩阵，当且仅当。AB证明由题意知，。TAT1因为，所以为对称矩阵；2222因为，所以TTTTBABAB为对称矩阵；BA3为反对称矩阵TTAB，得证。习题231设，假设矩阵是由分别经过下列初等变换得到1213423AAABA的，试求矩阵。B1先交换矩阵的第一、三行，然后将第二列的2倍加于第三列；2用3乘矩阵的第一列，而后将第一行的倍加于第二行。A1解1；312323411AAB2。23142112333AAA2试求一个三阶方阵，使得等于对经过下面的初等变换所得到的矩阵PA先交换的第一、第三行，再用3乘矩阵的第二行，最后将第一行加于第A二行。解根据定理11，所求三阶方阵等于将三阶单位矩阵做题中初等行变换后的矩阵，即。013P3试求一个方阵，使得等于对经过下面的初等变换所得到的矩阵Q4MA4M首先用乘矩阵的第三列，然后将第一列的倍加于第二列，最后交21换矩阵的第一、第三列。解根据定理11，所求三阶方阵等于将三阶单位矩阵做题中初等列变换后的矩阵，即。012Q4将下列矩阵行初等变换成简化阶梯矩阵1；2。201533411253解1121232051100433322RR23234101405RR。3221106033155RR21212344242335151RR2324351130400041RR322110233041004RR。7504315设，试求矩阵的简化阶梯矩阵。如果令36124051AAR表示的前三列组成的三阶方阵，表示的后三列组成的三阶方阵，B36CR试计算和。C解3612101021003346567A，12101030326767，210103341567BC。210203341567习题241设为阶方阵，证明，10NOEA1,2NKKOEANMA，。M证明2001101000A，类似可证。2NOE3131,NNMOEOEAAAN2设，证明，。1NA1,2NKKNEN证明200011110000，类似可证。2NOE3131,NNNNOEOEAAA习题251判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵。2131120204340ABC。140D解121302130,012AE620520134151022，故。3110524105131245A2010310,4403BE，1110134403013故。13041B3，故不可逆。201210,0353CEC413021,0D12335100112004618193910813023001191939，故。18109392101093911386019D2解下列矩阵方程1；2；41720A20531123B3。1020C故。8102137342173A2解法一1205201511220333B。12513164解法二12001021332R2312304010114RR2334120640164RR322111732535RR所以。0531211645B解法三121232015310532RR232341043101041RR3321122100505RR2163311R所以。05B3，故。1210100210101010C3设，并且，试求矩阵。1234AABB解由，得，B,EA021122,340134AE122100213435，1010126335252故可逆，且。AE101325BAE4设A为三阶方阵，且，求。214A解。113444203513EEA5证明可逆矩阵的性质1，2，3。证明设可逆，即有，使。A11AE1按照可逆的定义，也可逆，且。1A2因为，所以也可逆，且。11TTT1TTA3因为，所以也可逆，且。6设A为N阶方阵，其伴随矩阵为A1证明如果|A|0，则A可逆，并求A1；2证明如果|A|0，则|A|A|N1；3在|A|0的情况下，导出矩阵A和A之间的关系。解1因为，所以，当时，即A可逆，且E0E。1A2因为，所以。当时，。ENA0A1NA3因为由2知，1NA由1知当时，存在，且，所以。0A11A2NAE7设，证明可逆。2E证明由，得，22,2E，根据可逆定义，可逆。AEA8设方阵满足，证明和都可逆，并求其逆矩阵。310EO4E证明由，得，3A223310,AA即可逆，且。210E同理可得，324613524AAE，2131,AEEE即可逆，且。4A2144A复习题21设均为矩阵，证明的充分必要条件是对任意维列向量，,ABMNABN有。证明必要性显然，下证充分性。设，其中为维行1122,MABAB1212,IIINIIINAABB向量，由题意知，对向量，即，亦0,12,0JNABIIAB即，从而。IJIJABAB2证明的充分必要条件为对任何实的列向量，有。TX0TA证明因为为实数，所以，即。XTXAXTTX必要性若，则，从而。TAT0T充分性若，则。0X0XX记，取某一个分量，其余分量为12,TTIJNBB1IX零，由得，再取某两个分量，其余分量为零，XI1,IJXJ由又得，从而矩阵，即。0T0,IJJBOTA3设为实矩阵，证明的充分必要条件是。MNAMNA证明必要性显然，下证充分性。记，则对角线上的元素为IJATB，2211,NNIIIAA由题意，222110NNNIII从而，即。0IJAMNAO4证明1对任意方阵主对角线上的元素的和等于主对角线上元素的和；,BBA2对任意方阵永远不可能成立。,AE证明1记，则、对角线上的元素分别为IJIJABAB和。121,NNNIIIIIIABAB121,NNNIIIIIBA显然，两者的和相等，都等于。1NIJI2由1可知，对任意方阵，主对角线上元素的和等于主对角,ABBA线上元素的和，从而主对角线上的元素为0，因此不可能E成立。5若方阵的乘积可逆，试证明都可逆。,AB和证明若不可逆，即不能表示成一些初等方阵的乘积，从而也不能表AB示成一些初等方阵的乘积，即不可逆，矛盾，因此可逆。同理，也可AB逆。6设满足，证明A2EO1和都可逆；2和不能同时可逆。证明1由，得，22,AEAE由可逆定义，和都可逆。2由，得。2AEO0若和同时可逆，则，矛盾，从而，,22AEOE和不能同时可逆。E27设可逆，证明为上（下）三角矩阵充分必要条件为为上（下）三AA1A角矩阵，并且与对角线上对应元素互为倒数。1证明因为，所以充分性与必要性等价。下证必要性。1设。213112131221,1,1,21,31,NNNNNNNAABBAAABB由可逆，得。因为，由第行得0IAE，由第行得，1,1NNNNBB11,1,21,1,0NNNNA类似地，可得，即也为上三角矩,2,IJ,IIBAA阵，且与对角线上对应元素互为倒数。1A8解矩阵方程。0121302X解记方程为，则BC，；01101,0AE10A252,01130130B，；50110B故。1230XACB9设都可逆，证明下列矩阵都可逆，并求其逆矩阵。,1；2。OBOCB证明1令，即，得，1234AE3412ACEB3412ACBO由于都可逆，从而，故,B13214,O。1OAB2令，即，得1234CAE2134CAEB，从而，故1234EBO111234,AOC。111AOOCBAB10设方阵可逆，并且每行元素之和都等于常数，证明A1；02的每行元素之和都等于常数。11证明1设，根据题意，的第1列元素均2,31,PPNBB为。若，则不可逆，而及均可逆，矛盾，故。0BA1I02显然，又可逆，而，得，即的每1A01A1A行元素之和都等于常数。1习题311设，求。12302,1,4AA123AA解。123120134AA922设向量满足123,5,0,5,A，1230A求向量。A解由，得。12335012356AA1,43讨论下列向量组的线性相关性1；121,0,TTAA2；1230,1,AA3。12357,914AA解1因与成比例，故线性相关；1212,2因，故线性无关；令1230,3A123,A3，1235701051,9243434A，故线性无关。123,RM12,A4设向量线性无关，试证明向量组,A123123123,BBABA线性无关。证明令，即1230KK1231232123KKK，由线性无关，得30A,A，1230K其系数行列式，12603即上述线性方程组仅有零解，从而线性无关。12,B5若向量组线性无关，求证向量组线性无关，12,NA12,NB其中。123213121,NNNBABABA证明令，即0KK232KKKA，由线性无关，得121N1,N，231210NKK其系数行列式，1010N即上述线性方程组仅有零解，从而线性无关。12,NB6若向量组线性相关，而向量组线性无关，试证明必可由12,BA3,A1A向量组线性表示。3证明因为线性相关，所以也线性相关。又线性无关，12,123,B23,B从而可由线性表示。1A3B7已知，试问向量组是否线性1234,1,1A1234,A相关能否由向量组线性表示1A234,解因为向量组所包含的向量个数大于向量维数，所以向量组线性相关。令，即，解得，故能由向量1234AKKA2341K23412KK1A组线性表示，。234,A12341AA8证明若可由线性表示，且表示法唯一，则向量组B,R必线性无关。12,RA证明考虑方程组，由题意知，方程组有唯一解，即12RBKAKA，从而线性无关。12,RRRRB12,RA习题321用初等变换求下列矩阵的秩；1022134A；370518。220311A解1。102235,33407RA2。12419,275800A3。03242,41110RA2试用矩阵判别定理判定下列向量组的线性相关性；123,3,0,2,4,6TTTAAA；25671101,0TA12343,4,927,1,3TTTA解1，线性相关。12312123407,6RAM2，线性无关。123452110,70527A3，线性1234644190,129053RAM相关。3设是维向量，已知基本单位向量可由线12,NA12,N12,NA性表示，证明向量组线性无关。12,NA证明因为可由线性表示，而也可由12,N,12,N线性表示，即与等价，从而线性无12,NA12,N12,N12,NA关。4设是维向量，证明向量组线性无关的充分必要条12,NA12,NA件是任意维向量均可由向量组线性表示。12,N证明必要性若线性无关，则可作为维向量空间的基，12,NA12,N从而任意维向量均可由线性表示。N,充分性因为任意维向量均可由线性表示，所以基本单位向12,NA量可由线性表示，由题3知，线性无关。12,N12,NA12,NA5设是维列向量，且线性无关，求证对任意，,12,N0C总存在一组不全为零的数，使得。,K12,TNKK证明因为线性无关，所以关于的方程组12,NA12,N12A有唯一解。又，方程组的唯一解不是零解，即方程组有,0TNKAC0C唯一非零解，从而存在不全为零的，使12,NK。12,TNKKAC6已知向量组线性无关，设12,N，2311,NNNBABABA讨论向量组线性相关性。12,N证明设，即0KKB11223NKKK，因为线性无关，得10NNA12,NA，系数行列式。12310NK1010ND当为奇数时，方程组仅有零解，线性无关。212,NB当为偶数时，方程组有非零解，线性相关。D7求下列向量组的秩及其一个最大线性无关组12345,67,10,10,10TTTTAAAA42449627,1,3TA解1，1234123466110,70527AR最大无关组为。1234,A2，1234123461400129,95320ARA最大无关组为。234,A8设矩阵满足，求证矩阵的列向量组线性无关。MNABAEA证明由知，。I,RRBN若记，则，从而的列向量组12,NA12,A线性无关。12,NA9设121221212,0,NNNVXXXVYY，试问和是否为向量空间。NYV解设，则121121,YXNN。因为1220NXY0NY，,11NNKXKX1Y且，故是向量空间，类似10NXYKV即V可证不是向量空间。2V10设的一个基为3A，123,0,1,12TTTAAA试求向量在这个基下的坐标。5,7TB解令，即，解得坐标为。123XAX7230531X132X习题331判定下列方程组是否有解123123,450,6X123412345,8,921XX。解1，3012,516BAB，方程组有唯一解。3RN123,1XX20124503,138692100BAB，方程组有唯一解。4RN1234,XX2讨论取何值时，下列方程组分别有解与无解1232123,X3123,2XX。解1系数行列式，故时有唯一解，2111，。21231,XXX时，增广矩阵，1124204，方程组无解。RAB时，增广矩阵，方111013RAB程组有无穷多组解，为任意实数。1200XK12,K2系数行列式，时有唯一解231301，时，增广矩阵，方程001303RAB组无解。时,增广矩阵，方无解。3设线性方程组121212,NMMNAXAXB的系数矩阵的秩与矩阵的秩相等，其中ARBR，1212120NMMNAABBB求证此方程组有解。证明设，则。1212,TNNAATABB假设方程组无解，即不能由向量组表示，则的列向量组秩B12,NA至少为，从而的秩也至少为，这与题设矛盾，故方程组有解。1RBRA习题341设为齐次线性方程组的基础解系，问向量组123,A0AX1231,AA是否也是方程组的基础解系0X解显然是方程组的解。1231,A0X设，即2331KKAKA13122KAKK，由线性无关得，301,，系数行列式，3120K012方程组仅有零解，即线性无关，从而123,AA1也是方程组的基础解系。123,A0AX2求下列齐次线性方程组的通解1；1243460XX2。1234123497850XX解1系数矩阵，通解为。510437124630145734XK2系数矩阵，通解为。3101232977850123170XK3求下列非齐次线性方程组的通解1；123415XX2。123423417XX解1增广矩阵，同解方程组为120115，通解为1234X120,1。12001XK2增广矩阵，通解为3410830267。081326XK4已知线性方程组1234512345,0,52XXAB。1确定之值,使该方程组有解；,AB2当方程组有解时，求出方程组的通解。解1增广矩阵，11323006542AB1522630AB显然，当时，方程组有解。1,ABRAB2同解方程组为，故方程组的通解为1345263XX。1232001XKK复习题31设向量组线性相关，向量组线性无关。123,A234,A1向量能由线性表示吗证明你的结论；,2向量能由线性表示吗证明你的结论。4123解1能由线性表示。1A23,因为线性无关，所以也线性无关。又线性相关，从而423,A123,A能由线性表示。123,2不能由线性表示。4A123,因为若能由线性表示，由1知，能由线性表示，则能,A1A23,4A由线性表示，从而线性相关，矛盾，故得证。23,A234,A2设向量组。1230371,04BA1当取何值时，不能由线性表示,AB123,2当取何值时，可由线性表示并写出此表示式。解考虑方程组，即，123XX12304724XBA其增广矩阵。0101034721232BBAAAB1当时，方程组无解，即不能由线性表示。BRAB123,2当时，方程组有解，即可由线性表示。2123,若，方程组的解为，表达式为。1A123,0XX1230若，方程组的解为，表达式为123,KK，是不为零的任意常数。1232KK3设有向量组，1231,1,054ABC试问当满足什么条件时,ABC1可由线性表示，且表示方法唯一123,2不能由线性表示3可由线性表示，但表示方法不唯一并写出一般表达式。123,解考虑方程组，即，123XX12321054AXBC其系数行列式。4105AA1根据克莱姆法则，时，方程组有唯一解，即可由线性123,表示，且表示方法唯一。，方程组有解，即可由线性表RAB示2当时，增广矩阵，4A4214210053BBCC若，则，方程组无解，即不能由线性表示。31BCRAB12,3当时，方程组有无穷多组解，即4,31ABC23RAB可由线性表示，但表示方法不唯一，表达式为12,为任意实数。2K3,K4取何值时，线性方程组，12321234XK分别有唯一解、无解、无穷多解在有无穷多解时，求出其全部解。解系数行列式，故时有唯一解。142KK41K，时，增广矩阵，1K1023845，方程组无解。RAB时，增广矩阵，4K14103642，方程组有无穷多组解，通解为为任23RAB12304,XKK意实数。设有线性方程组，123X5问取何值时，方程组分别有唯一解、无解、无穷多解在有无穷多解时，求出其通解。解系数行列式，故时有唯一解。2111，时，增广矩阵，22522011，方程组无解。RAB时，增广矩阵，12121013RAB方程组有无穷多组解，通解为，为任意实数。1223001XK12,K6设有线性方程组，12341XXA问取何值时，方程组有解在有解时，求出其通解。A解增广矩阵，1321023140AA时，无解。2ARAB时，方程组有无穷多组解，此时，增广矩阵为34，通解为为任意实数。7101032102AA12347102,120AXKKA7已知有线性方程组。1231230XABCX1满足何种关系时，方程组仅有零解,ABC2满足何种关系时，方程组有无穷多组解并用基础解系表示全部解。解1系数行列式，故时，221ABCBCA,ABCA方程组仅有零解。2增广矩阵为，110BACB时，；时，；时，ABC10XKC201XKCAB；时，为任意实数。310XKC4501XKIK8已知线性方程组121,2,12,20NNNAXAXXX的一个基础解系为，1211221,2,NNNNBB试写出线性方程组121,2,12,20NNNBXBXXX的通解，并说明理由。解记，则两个方程组可分别记111222,IJIJNNNNNABABX为，且，又由题意知，11220,NNABXR2,RA，即，亦即为后方程的12NA20TTNBB12NB20TTNAATIA基础解系，从而通解为，为任意实数。112211,NTTNNNAAYKAKK,NK9设表示线性方程组的一个基础解系。若12,S0AX，12123121,SBTABTABTA其中为实常数，试问满足什么条件时，也是线性方程组12,T1,2,S的一个基础解系。0AX解显然是线性方程组的解，且的基础解系应包12,SBB0AX0AX含个解向量，因此只须证明线性无关即可。S12,SB令，即120SKK112231SKTAKTAKTA，因为线性无关，得SSTA12,SA，1231200SSTKTT其系数行列式。12211212000SSTTDTTTT当为奇数，或为偶数，时，方程组仅有零解，S12TS10D1B线性无关，即也是的一个基础解系。2,SB12,SBBAX习题411求下列矩阵的特征值和特征向量12304312A。42870320341516解1特征方程为，特征值为。415012AE1,5时，特征向量为。1310AE1X时，特征向量为。531232特征方程为，特征值25101AE为。0,51时，特征向量为。12301AE1X时，特征向量为。530242311AE23X时，特征向量为。123101AE310X3特征值显然为。,23A时，特征向量为。A0AE1230,1,0XX4特征方程为，特征值为201。1,时，特征向量为1010AE120,X。10时，特征向量为。110102AE310X5特征方程为，特征值为232154。2,4时，特征向量为1321320AE。123,0X1时，特征向量为。432104AE31X6特征值显然为。,32时，特征向量为。40870116AE10X时，特征向量为。3128712005AE210X时，特征向量为。4610628750520AE36250X2已知为降秩矩阵，证明矩阵至少有一个特征值为零。AA证明设为阶方阵，特征值为，则。又为降