材料力学教案 课题 第十一章 平面弯曲 学时 4学时 教学目的要求 1

材料力学教案课题第十一章平面弯曲学时4学时教学目的要求1、1、掌握平面弯曲的概念。2、2、掌握梁的内力、剪力与弯矩的计算及剪力和弯矩图的绘制。主要内容1、1、平面弯曲的概念。2、2、梁的内力、剪力与弯矩的计算及剪力和弯矩图的绘制重点难点1、1、平面弯曲的概念。2、梁的内力、剪力与弯矩的计算及剪力和弯矩图的绘制。教学方法和手段以讲授为主，使用电子课件。课后作业练习习题P22712预习第十六章第十五章弯曲内力一、基本内容1重要概念弯曲的概念当直杆受到垂直于轴线的外力（即横向力）作用，其轴线将由直线变为曲线。凡是以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。作用力特点垂直于杆轴线的横向力的力偶。变形特点杆轴线由直线变为曲线。平面弯曲工程实际中绝大部分的梁，其横截面都有一根对称轴，因而整个梁有一包含轴线在内的纵向对称面。当作用在梁上的所有横向外力（或外力的合力）均位于该纵向对称面内时，由对称性可知，梁变形后的轴线必定是一条与外力位于同一平面内的平面曲线（如下图）。称这种弯曲后轴线为一平面曲线，且所在平面与外力作用面重合的变形为平面弯曲。简支梁可以简化成一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座的梁。这样简化的支座，其约束力与实际结构是等效的，这种梁称为简支梁。悬臂梁可简化成一端为固定端，一端为自由端的约束情况。因固定端可以阻止梁移动和转动，故有一约束反力和一约束反力偶，也与实际结构等效，这种梁称为悬臂梁。外伸梁支座可简化成与简支梁一样的形式，但梁的一端（或两端）向支座外伸出，并在外伸端有载荷作用。这种梁称为外伸梁。集中载荷P分布在很短的一段梁上的横向载荷，可视为集中作用于一点，这种载荷称为集中载荷。它的单位是或K等。分布载荷Q载荷分布在梁的一段长度上，若是均匀分布则称为均布载荷，否则为非均布载荷。它的单位是M或K等。集中力偶M当载荷分布在很短一段梁上且形成一个力偶时称为集中力偶。它的单位是M或K等。2梁弯曲时的内力剪力和弯矩梁在载荷作用下要发生变形，因而截面上将产生相互作用的内力，计算内力的方法仍然是截面法。设一简支梁AB（图116A），长为L，在纵向对称平面内作用有横向外力P和集中力偶M。若约束反力AR和B已求出，现计算横截面M上的内力。为此，用截面法假想沿M截面将梁分为两部分，取截面以左部分为研究对象，该段梁应满足平衡条件。横截面上应有一个与外力平衡的内力Q和一个位于纵向对称面内的内力偶矩M，和M分别称为该横截面的剪力和弯矩，如图116B所示。按平衡条件，有0YF，AQRP图116剪力、弯矩计算示意图（A）（B）（C）0CMF，AOMRXPA方程中的为横截面的形心。若取梁的右段为研究对象，也可以求得截面上的剪力和弯矩，且数值与上述结果相等，但剪力的方向及弯矩的转向相反，因为它们是作用与反作用的关系，如图116C所示。为使取左段和取右段得到的剪力和弯矩符号一致，可结合变形规定内力的正负在截面附近的微段梁上，剪切变形左上右下则剪力为正，反之为负（图117）；弯曲变形上凹下凸则弯矩为正，反之为负（图118）。根据上面的计算，可以总结出计算剪力与弯矩的规律梁内任一横截面上的剪力，等于该截面任意一侧梁上所有横向外力的代数和；梁内任一横截面上的弯矩，等于该截面任意一侧梁上所有外力对该截面形心的力矩的代数和。（A）（B）（A）（B）图117剪力的符号规定图118弯矩的符号规定3剪力图和弯矩图梁在外力作用下，不同截面上的剪力和弯矩一般是不相等的，其中剪力或弯矩最大的截面对梁来说都是危险截面，而这两种危险截面一般并不重合，要确定危险截面的位置，必须知道剪力和弯矩沿轴线的变化规律。为此，常取以梁的左端为原点向右为正的坐标为轴，把梁上各截面的剪力和弯矩分别写成的XX函数。即（111）QMX上述两式称为剪力方程和弯矩方程。应该注意，在列剪力方程和弯矩方程时，应根据梁上载荷的分布情况分段进行，集中力（包括支座反力）、集中力偶的作用点和分布载荷的起、止点均为分段点。为了直观地表明剪力和弯矩沿轴线的变化情况，通常按剪力方程和弯矩方程绘出函数图形，这种图形分别称为剪力图和弯矩图。画图时取一条与轴线平行的直线作为横坐标，表示各截面的位置，用纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩，正内力画在横坐标的上侧，负内力画在下侧。4纯弯曲梁的正应力概念一简支梁在两个对称位置上受集中力P作用时，梁的计算简图、剪力图和弯矩图如图1112所示。梁在AC和DB两段内，各横截面上既有弯矩M又有剪力Q，这种弯曲称为剪切弯曲；而在梁的段内，横截面上只有弯矩没有剪力，且全段内弯矩为一常数，这种情况的弯曲称为纯弯曲。纯弯曲是杆件的一种基本变形形式，也是弯曲问题中最简单的情形。等直梁纯弯曲时，横截面上任一点处的正应力公式ZMYIMAXAXZ令MAXZWIY则AM式中称为抗弯截面模量，恒为正值，常用单位或。W3截面惯性矩和抗弯截面模量ZIW矩形截面，高为，宽为HB32221HZAHIYDYYD2MAX6ZZBWII圆形截面432ZDW，圆环形截面式中4341612ZI，DD5梁弯曲时的正应力强度条件为了保证梁能安全地工作，必须使梁具有足够的强度。对等截面梁来说，最大弯曲正应力发生在弯矩最大的截面的上、下边缘处。如果材料的许用应力为，则梁弯曲时的正应力强度条件为MAXAMW6梁弯曲时的变形及刚度条件挠度和转角悬臂梁受外力作用后，其轴线由原来的直线变成了一条连续而光滑的曲线P图1119，此曲线称为梁的挠曲线。建立图示坐标系，则该平面曲线可用函数方程表示为YFX（117）式（117）称为梁的挠曲线方程。求梁变形的基本方法是积分法。但该法的运算过程比较麻烦。为了应用方便，工程上已将常见梁的挠度和转角计算结果汇集成表，以备查用。表111给出了简单载荷作用下梁的挠度和转角的计算公式。用叠加法求梁的变形在材料服从虎克定律且变形很小的前提下，梁的挠度和转角均与载荷成线性关系。因为变形很小，可略去梁上各点X方向的位移，认为支座的间距和外载荷的作用线都没有变化。因此，每个载荷产生的支座反力，梁的弯矩、挠度和转角都不受其它载荷的影响。于是求梁的变形时，可采用叠加法。即当梁上同时受几个垂直于梁轴线的载荷作用时，任一截面的挠度和转角，等于各载荷单独作用时该截面的挠度和转角的代数和。7梁的刚度校核计算梁的变形，主要目的在于进行刚度计算。所谓梁要满足刚度要求，就是指梁在外力作用下，保证最大挠度小于许用挠度，最大转角小于MAXYYMAX许用转角。这就是梁的刚度条件，即MAXY和的数值，是由具体工作条件决定的。例如Y普通机床主轴0