【创新设计】2014高考数学一轮复习 第八章 直线的倾斜角与斜率直线的方程训练 理 新人教a版

【创新设计】2014高考数学一轮复习第八章直线的倾斜角与斜率直线的方程训练理新人教A版第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程备考方向要明了考什么怎么考1理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式2能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直3掌握确定直线位置的几何要素；掌握直线方程的几种形式点斜式、两点式及一般式等，了解斜截式与一次函数的关系1对直线的倾斜角和斜率概念的考查，很少单独命题，但作为解析几何的基础，复习时要加深理解2对两条直线平行或垂直的考查，多与其他知识结合考查，如2012年浙江T3等3直线方程一直是高考考查的重点，且具有以下特点1一般不单独命题，考查形式多与其他知识结合，以选择题为主2主要是涉及直线方程和斜率归纳知识整合1直线的倾斜角与斜率1直线的倾斜角一个前提直线L与X轴相交；一个基准取X轴作为基准；两个方向X轴正方向与直线L向上方向当直线L与X轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0倾斜角的取值范围为0，2直线的斜率定义若直线的倾斜角不是90，则斜率KTAN_计算公式若由AX1，Y1，BX2，Y2确定的直线不垂直于X轴，则KY2Y1X2X1探究1直线的倾角越大，斜率K就越大，这种说法正确吗提示这种说法不正确由KTAN知，当时，越大，斜20，2率越大且为正；当时，越大，斜率也越大且为负但综合起来说是错误2，的2两条直线的斜率与它们平行、垂直的关系探究2两条直线L1，L2垂直的充要条件是斜率之积为1，这句话正确吗提示不正确，当一条直线与X轴平行，另一条与Y轴平行时，两直线垂直，但一条直线斜率不存在3直线方程的几种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率K与点X0，Y0YY0KXX0不含直线XX0斜截式斜率K与截距BYKXB不含垂直于X轴的直线两点式两点X1，Y1，X2，Y2YY1Y2Y1XX1X2X1不含直线XX1X1X2和直线YY1Y1Y2截距式截距A与B1XAYB不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AXBYC0A2B20平面直角坐标系内的直线都适用探究3过两点P1X1，Y1，P2X2，Y2的直线是否一定可用两点式方程表示提示当X1X2，或Y1Y2时，由两点式方程知分母此时为零，所以不能用两点式方程表示自测牛刀小试1教材习题改编若直线X2的倾斜角为，则A等于0B等于4C等于D不存在2解析选C因为直线X2垂直于X轴，故其倾斜角为22教材习题改编过点M2，M，NM,4的直线的斜率等于1，则M的值为A1B4C1或3D1或4解析选A由题意知，1，解得M14MM23过两点0,3，2,1的直线方程为AXY30BXY30CXY30DXY30解析选B直线斜率为1，3102其方程为YX3，即XY304直线L的倾斜角为30，若直线L1L，则直线L1的斜率K1_；若直线L2L，则直线L2的斜率K2_解析L1L2，KL1TAN3033L2L，KL21KL3答案3335已知A3,5，B4,7，C1，X三点共线，则X等于_解析因为KAB2，KAC7543X513X54A，B，C三点共线，所以KABKAC，即2，X54解得X3答案3直线的倾斜角和斜率例11直线XSINY20的倾斜角的取值范围是A0，B0，434，CD0，40，42，2已知两点AM，N，BN，MMN，则直线AB的倾斜角为_；3直线L过点P1,0，且与以A2,1，B0，为端点的线段有公共点，则直线L3的斜率的取值范围为_自主解答1设直线的倾斜角为，则有TANSIN，其中SIN1,1又0，所以0或0，B0XAYB则有1，且AB123A2B12解得A6，B4所以所求直线L的方程为1，X6Y4即2X3Y120法二设直线L的方程为Y2KX3K0；令Y0，得X302K所以SOAB23K12，解得K，1232K23故所求直线方程为Y2X3，即2X3Y12023答案1D22X3Y120求直线方程的常用方法1直接法根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程2待定系数法先根据已知条件设出直线方程再根据已知条件构造关于待定系数的方程组求系数，最后代入求出直线方程5ABC的三个顶点为A3,0，B2,1，C2,3，求1BC所在直线的方程；2BC边上中线AD所在直线的方程；3BC边的垂直平分线DE的方程解1因为直线BC经过B2,1和C2,3两点，由两点式得BC的方程为Y131，即X2Y40X2222设BC中点D的坐标X，Y，则X0，Y2222132BC边的中线AD过点A3,0，D0,2两点，由截距式得AD所在直线方程为1，即2X3Y60X3Y23BC的斜率K1，则BC的垂直平分线DE的斜率K22，由点斜式得直线DE的方12程为Y22X0，即2XY201个关系直线的倾斜角和斜率的关系1任何的直线都存在倾斜角，但并不是任意的直线都存在斜率2直线的倾斜角和斜率K之间的对应关系000不存在K1或K或K或K或K0，B0，则直线L的方程为XA1，YBL过点P3,2，1，B3A2B2AA3从而SABOABA12122AA3A2A3故有SABOA326A39A3A369A32612，A39A3当且仅当A3，9A3即A6时，SABOMIN12，此时B42663故所求直线L的方程为1，X6Y4即2X3Y120法二设直线方程为1A0，B0，XAYB代入P3,2，得12，3A2B6AB得AB24，从而SAOBAB12，12当且仅当时，等号成立，此时K，3A2BBA23故所求直线L的方程为2X3Y120法三依题意知，直线L的斜率存在设直线L的方程为Y2KX3K4或M3或M4|X|2|Y|3或M0；圆心坐标，半径RD2，E2D2E24F2探究1方程X2Y2DXEYF0一定表示圆吗提示不一定只有当D2E24F0时，上述方程才表示圆2如何实现圆的一般方程与标准方程的互化提示一般方程与标准方程互化，可用下图表示圆的标准方程展开配方圆的一般方程3点与圆的位置关系1理论依据点与圆心的距离与半径的大小关系2三个结论圆的标准方程XA2YB2R2，点MX0，Y0X0A2Y0B2R2点在圆上；X0A2Y0B2R2点在圆外；X0A2Y0B21DK4解析选D由2K24243K84K23K40，解得K43若点2A，A1在圆X2Y125的内部，则A的取值范围是A10，则ERROR解得D4，E2，F5所求圆的方程为X2Y24X2Y502根据题意可知圆心坐标为1,0，圆的半径长为，故所求圆C的|103|22方程为X12Y22答案1X2Y24X2Y50或X22Y12102X12Y22求圆的方程的两种方法求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程，一般来说，求圆的方程有两种方法几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解若条件中圆心坐标明确时，常设为圆的标准方程，不明确时，常设为一般方程1求下列圆的方程1圆心在直线Y4X上，且与直线LXY10相切于点P3，2；2过三点A1,12，B7,10，C9,2解1法一设圆的标准方程为XA2YB2R2，则有ERROR解得A1，B4，R22故所求圆的方程为X12Y428法二过切点且与XY10垂直的直线为Y2X3与Y4X联立可得圆心为1，4，所以半径R21324222故所求圆的方程为X12Y4282法一设圆的一般方程为X2Y2DXEYF0则ERROR解得D2，E4，F95，所以所求圆的方程为X2Y22X4Y950法二由A1,12，B7,10得AB的中点坐标为4,11，KAB，则AB的中垂线方程为3XY1013同理得AC的中垂线方程为XY30联立ERROR得ERROR即圆心坐标为1,2，半径R10，1122122所以所求圆的方程为X12Y22100与圆有关的最值问题例2已知实数X、Y满足方程X2Y24X10，求1的最大值和最小值；YX2YX的最大值和最小值；3X2Y2的最大值和最小值自主解答1原方程可化为X22Y23，表示以2,0为圆心，为半径的圆，3的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设K，即YKXYXYX当直线YKX与圆相切时，斜率K取最大值或最小值，此时，解得K|2K0|K2133所以的最大值为，最小值为YX332YX可看作是直线YXB在Y轴上的截距，当直线YXB与圆相切时，纵截距B取得最大值或最小值，此时，解得B2|20B|236所以YX的最大值为2，最小值为2663X2Y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2，202002所以X2Y2的最大值是2274，33X2Y2的最小值是227433本例条件不变，求点PX，Y到直线3X4Y120的距离的最大值和最小值解圆心2,0到直线3X4Y120的距离为D，|612|5185PX，Y到直线3X4Y120的距离的最大值为，最小值为18531853与圆有关的最值问题及解题方法1形如U型的最值问题，可转化为定点A，B与圆上的动点X，Y的斜率的最YBXA值问题；2形如TAXBY型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；3形如XA2YB2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题2由方程X2Y2XM1YM20所确定的圆中，最大面积是多少12解由题意知，R2，1M12412M24M22M24所以当M1时，R，所以SMAXR22MAX3434与圆有关的轨迹问题例3已知圆X2Y24上一定点A2,0，B1,1为圆内一点，P，Q为圆上的动点1求线段AP中点的轨迹方程；2若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程自主解答1设AP的中点为MX，Y，由中点坐标公式可知，P点坐标为2X2,2Y因为P点在圆X2Y24上，所以2X222Y24故线段AP中点的轨迹方程为X12Y212设PQ的中点为NX，Y在RTPBQ中，|PN|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以X2Y2X12Y124故线段PQ中点的轨迹方程为X2Y2XY10求轨迹方程的一般步骤1建系设点建立平面直角坐标系，设动点坐标为X，Y；2列式列出几何等式；3坐标化用坐标表示得到方程；4化简化简几何等式得到的方程；5证明作答除去不合题意的点，作答3如图，已知点A1,0与点B1,0，C是圆X2Y21上的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程解设动点PX，Y，由题意可知P是ABD的重心由A1,0，B1,0，令动点CX0，Y0，则D2X01,2Y0，由重心坐标公式得，ERROR则ERROR代入X2Y21，整理得，所求轨迹方程为2Y2Y0X13491种方法待定系数法求圆的方程1若已知条件与圆心A，B和半径R有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于A，B，R的方程组，从而求出A，B，R的值；2若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值3个性质常用到的圆的三个性质在解决与圆有关的问题时，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简洁明了，简化思路，简便运算1圆心在过切点且与切线垂直的直线上；2圆心在任意一弦的垂直平分线上；3两圆相切时，切点与两圆圆心共线创新交汇高考中与圆有关的交汇问题1近年来高考对圆锥曲线的要求相对降低，因此圆的相关问题成了高考命题的一个新热点圆的性质使其具有很强的交汇性，对圆的考查可以与集合、直线、向量、三角函数、不等式、线性规划等知识交汇命题2对于这类问题，要特别注意圆的定义及其性质的运用，同时要有丰富的相关知识储备，解题时只有做到平心静气地认真研究，不断寻求解决问题的方法和技巧，才能真正把握好问题典例2011江苏高考设集合AERROR，BX，Y|2MXY2M1，X，YR若AB，则实数M的取值范围是_解析由题意知A，则M2，即M0或M因为AB，则有M2121当2M12，即M1时，圆心2,0到直线XY2M的距离为D2|M|，|22M|2化简得M24M20，解得2M2，22所以10，B0始终平分圆CX2Y28X2Y10，则AB的最大值为A4B2C1D14解析选C圆C的圆心坐标为4，1，则有4AB40，即4AB4所以AB4AB22114144AB21442当且仅当A，B2时取等号122如果点P在平面区域ERROR上，点Q在曲线X2Y221上，那么|PQ|的最小值为_解析由点P在平面区域ERROR上，画出点P所在的平面区域由点Q在圆X2Y221上，画出点Q所在的圆，如图所示记Q所在曲线的圆心为点M0，2，又1,0为图中的阴影区域的左顶点，1,0与M的连线垂直于阴影区域的下边界因此，|PQ|的最小值为圆心0，2到直线X2Y10的距离减去半径1又圆心0，2到直线X2Y10的距离为，此时垂足1,0在满足条件的平面区域内，故|PQ|的最小值|0221|12225为15答案15一、选择题本大题共6小题，每小题5分，共30分1若直线2XYA0与圆X2Y22X4Y0的相切，则A的值为AB55C3D3解析选B圆的方程可变为X12Y225，因为直线与圆相切，所以，即A5|A|552已知圆CX2Y2MX40上存在两点关于直线XY30对称，则实数M的值是A8B4C6D无法确定解析选C因为圆上两点A，B关于直线XY30对称，所以直线XY30过圆心，从而30，即M6M2，0M23已知两定点A2,0，B1,0，如果动点P满足|PA|2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于AB4C8D9解析选B设PX，Y，由题意知有，X22Y24X12Y2，整理得X24XY20，配方得X22Y24可知圆的面积为442012广州模拟若圆心在X轴上，半径为的圆O位于Y轴左侧，且与直线5X2Y0相切，则圆O的方程是AX2Y25BX2Y2555CX52Y25DX52Y25解析选D设圆心为A,0A0上，并且与抛物线的准线及X轴都相切的圆的方程是AX2Y2X2Y014BX2Y2X2Y10CX2Y2X2Y10DX2Y2X2Y014解析选D抛物线Y22XY0的准线为X，圆与抛物线的准线及X轴都相切，12则圆心在直线YXY0上，与Y22XY0，联立可得圆心的坐标为，半径为1212，11，则方程为2Y121，化简得X2Y2X2Y0X1214二、填空题本大题共3小题，每小题5分，共15分72013开封模拟若PQ是圆OX2Y29的弦，PQ的中点是M1,2，则直线PQ的方程是_解析由圆的几何性质知KPQKOM1KOM2，KPQ，故直线PQ的方程为Y2X1，1212即X2Y50答案X2Y5082013金华十校联考已知圆C的半径为1，圆心在第一象限，与Y轴相切，与X轴相交于点A、B，且AB，则该圆的标准方程是_3解析依题可设CX12YB21B0，且2B21，可解得B，3212所以C的标准方程为X1221Y12答案X1221Y129定义若平面点集A中的任一个点X0，Y0，总存在正实数R，使得集合A，则称A为一个开集，给出下列集合X，Y|XX02YY020；X，Y|XY|6X，Y|00，设D为圆心A，B到直线L的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为方法位置关系几何法代数法相交D0相切DR0相离DR0，21圆O2XA22YB22RR202方法位置关系几何法圆心距D与R1，R2的关系代数法两圆方程联立组成方程组的解的情况相离DR1R2无解相外切DR1R2一组实数解相交|R1R2|0，化简得X02Y32X28Y8有关圆的弦长问题例212012北京高考直线YX被圆X2Y224截得的弦长为_22013济南模拟已知圆C过点1,0，且圆心在X轴的正半轴上，直线LYX1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线L垂直的直线的方程为2_自主解答1法一几何法圆心到直线的距离为D，圆的半径|02|22R2，所以弦长为L222R2D2422法二代数法联立直线和圆的方程ERROR消去Y可得X22X0，所以直线和圆的两个交点坐标分别为2,2，0,0，弦长为2220222由题意，设所求的直线方程为XYM0，设圆心坐标为A,0，则由题意知22A12，解得A3或A1，又因为圆心在X轴的正半轴上，所以A3，|A1|2故圆心坐标为3,0因为圆心3,0在所求的直线上，所以有30M0，即M3，故所求的直线方程为XY30答案122XY302求圆的弦长的常用方法1几何法设圆的半径为R，弦心距为D，弦长为L，则2R2D2；L22代数方法运用韦达定理及弦长公式|AB|X1X2|K22114KXX3若直线XY2被圆XA2Y24所截得的弦长为2，则实数A的值为2A1或B1或33C2或6D0或4解析选D圆心A,0到直线XY2的距离D，则2222，|A2|22|A2|2所以A0或A44已知圆C的圆心与抛物线Y24X的焦点关于直线YX对称，直线4X3Y20与圆C相交于A，B两点，且|AB|6，则圆C的方程为_解析设所求圆的半径是R，依题意得，抛物线Y24X的焦点坐标是1,0，则圆C的圆心坐标是0,1，圆心到直线4X3Y20的距离D1，则|40312|4232R2D22，因此圆C的方程是X2Y1210|AB|2答案X2Y1210圆的切线问题例3已知圆CX2Y22X4Y301若不过原点的直线L与圆C相切，且在X轴，Y轴上的截距相等，求直线L的方程；2从圆C外一点PX，Y向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|PO|，求点P的轨迹方程自主解答1将圆C配方得X12Y222由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零，设直线方程为XYA0，由，得|A1|2，即A1或A3|12A|22故直线方程为XY10或XY302由于|PC|2|PM|2|CM|2|PM|2R2，|PM|2|PC|2R2又|PM|PO|，|PC|2R2|PO|2，X12Y222X2Y22X4Y30即为所求的方程若将本例1中“不过原点”的条件去掉，求直线L的方程解将圆C配方得X12Y222当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为YKX，由直线与圆相切得Y2X；6当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为XYA0，由直线与圆相切得XY10或XY30综上可知，直线L的方程为2XY0或62XY0或XY10或XY306求过一点的圆的切线方程的方法1若该点在圆上，由切点和圆心连线的斜率可确定切线的斜率，进而写出切线方程；若切线的斜率不存在，则可直接写出切线方程XX02若该点在圆外，则过该点的切线将有两条若用设斜率的方法求解时只求出一条，则还有一条过该点且斜率不存在的切线5已知点M3,1，直线AXY40及圆X12Y2241求过M点的圆的切线方程；2若直线AXY40与圆相切，求A的值解1圆心C1,2，半径为R2，当直线的斜率不存在时，方程为X3由圆心C1,2到直线X3的距离D312R知，此时，直线与圆相切当直线的斜率存在时，设方程为Y1KX3，即KXY13K0由题意知2，|K213K|K21解得K34故方程为Y1X3，34即3X4Y50故过M点的圆的切线方程为X3或3X4Y502由题意有2，解得A0或A|A24|A21432种方法解决直线与圆位置关系的两种方法直线和圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合1从思路来看，代数法侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质2从适用类型来看，代数法可以求出具体的交点坐标，而几何法更适合定性比较和较为简单的运算3个注意点直线与圆相切、相交的三个注意点1涉及圆的切线时，要考虑过切点的半径与切线垂直；2当直线与圆相交时，半弦、弦心距、半径所构成的直角三角形在解题中起到关键的作用，解题时要注意把它与点到直线的距离公式结合起来使用；3判断直线与圆相切，特别是过圆外一点求圆的切线时，应有两条在解题中，若只求得一条，则说明另一条的斜率不存在，这一点经常忽视，应注意检验、防止出错创新交汇直线与圆的综合应用问题1直线与圆的综合应用问题是高考中一类重要问题，常常以解答题的形式出现，并且常常是将直线与圆和函数、三角、向量、数列及圆锥曲线等相互交汇，求解参数、函数、最值、圆的方程等问题2对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系；其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、化归与转化、待定系数及分类讨论等思想方法典例2011新课标全国卷在平面直角坐标系XOY中，曲线YX26X1与坐标轴的交点都在圆C上1求圆C的方程；2若圆C与直线XYA0交于A，B两点，且OAOB，求A的值解1曲线YX26X1与Y轴的交点为0,1，与X轴的交点为32，0，232，02故可设圆C的圆心为3，T，则有32T1222T2，解得T12则圆C的半径为332T12则圆C的方程为X32Y1292设AX1，Y1，BX2，Y2，其坐标满足方程组ERROR消去Y，得到方程2X22A8XA22A10由已知可得，判别式5616A4A20从而X1X24A，X1X2A22A12由于OAOB，可得X1X2Y1Y20，又Y1X1A，Y2X2A，所以2X1X2AX1X2A20由得A1，满足0，故A1名师点评1本题有以下创新点1考查形式的创新，将轨迹问题、向量问题和圆的问题融为一体来考查2考查内容的创新，本题摒弃以往考查直线和圆的位置关系的方式，而是借助于参数考查直线与圆的位置关系，同时也考查了转化与化归思想2解决直线和圆的综合问题要注意以下几点1求点的轨迹，先确定点的轨迹的曲线类型，再利用条件求得相关参数；2存在性问题的求解，即先假设存在，再由条件求解并检验变式训练1已知直线AXBY1其中A，B是实数与圆X2Y21相交于A，B两点，O是坐2标原点，且AOB是直角三角形，则点PA，B与点M0,1之间的距离的最大值为A1B22CD122解析选A直线AXBY1其中A，B是实数与圆X2Y21相交于A，B两点，2则依题意可知，AOB是等腰直角三角形，坐标原点O到直线AXBY1的距离D2，即2A2B22，12A2B222A2B，则|PM|，2B2222A2B12B222B22|B2|2当B时，|PM|MAX122|22|222在平面直角坐标系XOY中，已知圆X2Y24上有且只有四个点到直线12X5YC0的距离为1，则实数C的取值范围是_解析因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12X5YC0的距离为1，即要圆心到直线的距离小于1，即0，解得0，因此圆方程是XA2YA2A2，由圆过点4,1得4A21A2A2，即A210A170，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|8210241722012天津高考设M，NR，若直线M1XN1Y20与圆X12Y121相切，则MN的取值范围是A1，133B，11，33C22，2222D，2222，22解析选D由题意可得1，化简得MNMN1|MN|M12N12，解得MN22或MN22MN24223已知O的方程是X2Y220，O的方程是X2Y28X100，由动点P向O与O所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是_解析O的圆心为0,0，半径为，O的圆心为4,0，半径为，设点P为26X，Y，由已知条件和圆切线性质得X2Y22X42Y26，化简得X32答案X324已知圆CX2Y22X4Y40，问是否存在斜率为1的直线L，使L被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点若存在，写出直线L的方程；若不存在，说明理由解依题意，设L的方程为YXB，X2Y22X4Y40，联立消去Y得2X22B1XB24B40，设AX1，Y1，BX2，Y2，则有ERROR以AB为直径的圆过原点，即X1X2Y1Y20，O而Y1Y2X1BX2BX1X2BX1X2B2，2X1X2BX1X2B20，由得B24B4BB1B20，即B23B40，B1或B4满足条件的直线L存在，其方程为XY10或XY40第五节椭圆备考方向要明了考什么怎么考1掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质2了解圆锥曲线的简单应用3理解数形结合的思想1椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考的重点考查内容，三种题型均有可能出现，如2012年山东T10等2直线与椭圆位置关系问题一直是高考的重点，多以解答题形式考查，难度相对较大，如2012年陕西T19等归纳知识整合1椭圆的定义1满足以下条件的点的轨迹是椭圆在平面内；与两个定点F1、F2的距离之和等于常数；常数大于|F1F2|2焦点两定点3焦距两焦点间的距离探究1在椭圆的定义中，若2A|F1F2|或2AB0X2A2Y2B21AB0Y2A2X2B2图形范围AXABYBBXBAYA对称性对称轴X轴、Y轴对称中心0,0顶点A1A,0，A2A,0B10，B，B20，BA10，A，A20，AB1B,0，B2B,0轴长轴A1A2的长为2A短轴B1B2的长为2B焦距|F1F2|2C离心率E，E0,1CA性质A，B，C的关系C2A2B2探究2椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系提示离心率E越接近1，A与C就越接近，从而B就越小，椭圆就越扁CAA2C2平；同理离心率越接近0，椭圆就越接近于圆自测牛刀小试1椭圆1的离心率为X216Y28AB1312CD3322解析选DA216，B28，C28，ECA222已知F1，F2是椭圆1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在X216Y29AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为A6B5C4D3解析选A根据椭圆定义，知AF1B的周长为4A16，故所求的第三边的长度为161063椭圆X2MY21的焦点在Y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则M的值为AB1412C2D4解析选A由题意知A2，B21，且A2B，则4，得M1M1M144若椭圆1过点2，则其焦距为X216Y2M23A2B235C4D435解析选C把点2，的坐标代入椭圆方程得M24，所以C216412，所以3C2，故焦距为2C4335设F1、F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，X225Y216|OM|3，则P点到椭圆左焦点的距离为_解析由题意知|OM|PF2|3，则|PF2|6故|PF1|256412答案4椭圆的定义、标准方程例11已知ABC的顶点B、C在椭圆Y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，X23且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC是周长是A2B63C4D12322012山东高考已知椭圆C1AB0的离心率为双曲线X2Y21X2A2Y2B232的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为A1B1X28Y22X212Y26C1D1X216Y24X220Y25自主解答1根据椭圆定义，ABC的周长等于椭圆长轴长的2倍，即432由离心率为得，A24B2，排除选项B，双曲线的渐近线方程为YX，与椭圆的32四交点组成的四边形的面积为16可得在第一象限的交点坐标为2,2，代入选项A、C、D，知选项D正确答案1C2D用待定系数法求椭圆方程的一般步骤1作判断根据条件判断椭圆的焦点在X轴上，还是在Y轴上，还是两个坐标轴都有可能；2设方程根据上述判断设方程1AB0或1AB0；X2A2Y2B2X2B2Y2A23找关系根据已知条件，建立关于A、B、C或M、N的方程组；4得方程解方程组，将解代入所设方程，即为所求注意用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为MX2NY21M0，N01已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在X轴上，离心率为，且椭圆上一点到椭圆32的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为_解析设椭圆方程为1AB0，根据椭圆定义2A12，即A6，又，X2A2Y2B2CA32得C3，故B2A2C236279，故所求椭圆方程为13X236Y29答案1X236Y292已知F1，F2是椭圆C1AB0的左、右焦点，P为椭圆C上一点，且X2A2Y2B212若PF1F2的面积为9，则B_P解析设椭圆的焦点坐标为C,0根据椭圆定义和PF1F2是一个面积等于9的直角三角形，有ERROR式两端平方并把、两式代入可得4C2364A2，即A2C29，即B29，故B3答案3椭圆的几何性质及应用例22012安徽高考如图，F1，F2分别是椭圆C1AB0的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交X2A2Y2B2点，F1AF2601求椭圆C的离心率；2已知AF1B的面积为40，求A，B的值3自主解答1由题意可知，AF1F2为等边三角形，A2C，所以E122法一A24C2，B23C2，直线AB的方程可为YXC3将其代入椭圆方程3X24Y212C2，得B85C，335C所以|AB|C13|85C0|165由SAF1B|AF1|AB|SINF1ABACA240，解得A10，B512121653223533法二设|AB|T因为|AF2|A，所以|BF2|TA由椭圆定义|BF1|BF2|2A可知，|BF1|3AT再由余弦定理3AT2A2T22ATCOS60可得，TA85由SAF1BAAA240知，1285322353A10，B53椭圆离心率的求法求椭圆的离心率或范围时，一般是依据题设得出一个关于A，B，C的等式或不等式，利用A2B2C2消去B，即可求得离心率或离心率的范围3椭圆1AB0的两顶点为AA,0，B0，B，且左焦点为F，FAB是以角X2A2Y2B2B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率E为AB312512CD154314解析选B根据已知A2B2A2AC2，即C2ACA20，即E2E10，解得E，故所求的椭圆的离心率为1525124椭圆1A为定值，且A的左焦点为F，直线XM与椭圆相交于点X2A2Y255A，B，FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是_解析设椭圆右焦点为F，由图及椭圆定义知，|AF|AF|BF|BF|2A又FAB的周长为|AF|BF|AB|AF|BF|AF|BF|4A，当且仅当AB过右焦点F时等号成立，此时4A12，则A3，故椭圆方程为1,所以C2，所X29Y25以ECA23答案23直线与椭圆的综合例3如图，椭圆C1AB0的离心率为，其左焦点到X2A2Y2B212点P2,1的距离为不过原点O的直线L与C相交于A，B两点，且线段10AB被直线OP平分1求椭圆C的方程；2求ABP面积取最大值时直线L的方程自主解答1设椭圆左焦点为FC,0，则由题意得ERROR解得ERROR所以椭圆方程为1X24Y232设AX1，Y1，BX2，Y2，线段AB的中点为M当直线AB与X轴垂直时，直线AB的方程为X0，与不过原点的条件不符，舍去故可设直线AB的方程为YKXMM0，由ERROR消去Y，整理得34K2X28KMX4M2120，则64K2M2434K24M2120，ERROR所以线段AB的中点M4KM34K2，3M34K2因为M在直线OPYX上，所以123M34K22KM34K2得M0舍去或K32此时方程为3X23MXM230，则312M20，ERROR所以|AB|X1X2|1K239612M2设点P到直线AB距离为D，则D|82M|32222|M4|13设ABP的面积为S，则S|AB|D1236M4212M2其中M2，00,233令UM12M2M42，M2，2，33UM4M4M22M64M4M1M177所以当且仅当M1时，UM取到最大值7故当且仅当M1时，S取到最大值7综上，所求直线L方程为3X2Y2207直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法涉及问题处理方法弦长根与系数的关系、弦长公式中点弦或弦的中点点差法52013洛阳模拟已知椭圆1AB0的离心率为，短轴的一个端点为X2A2Y2B222M0,1，直线LYKX与椭圆相交于不同的两点A，B131若|AB|，求K的值；42692求证不论K取何值，以AB为直径的圆恒过点M解1由题意知，B1CA22由A2B2C2可得CB1，A，2椭圆的方程为Y21X22由ERROR得2K21X2KX043169K242K2116K20恒成立169169649设AX1，Y1，BX2，X2，则X1X2，X1X2，4K32K211692K21|AB|X1X2|1K21K2X1X224X1X241K29K2432K21，4269化简得23K413K2100，即K2123K2100，解得K12证明X1，Y11，X2，Y21，MABX1X2Y11Y21B1K2X1X2KX1X243169161K292K2116K292K211690不论K取何值，以AB为直径的圆恒过点M1个规律椭圆焦点位置与X2、Y2系数之间的关系给出椭圆方程1时，椭圆的焦点在X轴上MN0；椭圆的焦点在Y轴上X2MY2N00”是“方程MX2NY21的曲线是椭圆”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析选B因为当M0，N0，MN02已知椭圆1的焦距为4，则M等于X210MY2M2A4B8C4或8D以上均不对解析选C由ERROR得2B0的左、右焦点，P为X2A2Y2B2直线X上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为3A2AB1223CD3445解析选C根据题意直线PF2的倾斜角是，所以AC|PF2|F1F2|2C，332121212解得E34二、填空题本大题共3小题，每小题5分，共15分7若椭圆1AB0与曲线X2Y2A2B2恒有公共点，则椭圆的离心率E的X2A2Y2B2取值范围是_解析由题意知，以半焦距C为半径的圆与椭圆有公共点，故BC，所以B2C2，即A22C2，所以又B0的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分X2A2Y2B2别是F1，F2若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_解析依题意得|F1F2|2|AF1|BF1|，即4C2ACACA2C2，整理得5C2A2，得ECA55答案559已知椭圆C1AB0的离心率为过右焦点F且斜率为KK0的直线X2A2Y2B232与椭圆C相交于A，B两点若3，则K_FB解析根据已知，可得A2C2，则B2C2，故椭圆方程为1，即CA3243133X24C23Y2C23X212Y24C20设直线的方程为XMYC，代入椭圆方程得3M212Y26MCYC20设AX1，Y1，BX2，Y2，则根据3，得CX1，Y13X2C，Y2，由此得AFBY13Y2，根据韦达定理Y1Y2，Y1Y2，把Y13Y2代入得，2CMM24C23M24Y2，3Y，故9M2M24，故M2，从而K22，KCMM242C23M24122又K0，故K2答案2三、解答题本大题共3小题，每小题12分，共36分10已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，453253过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程解设两焦点为F1，F2，且|PF1|，|PF2|453253由椭圆定义知2A|PF1|PF2|2，即A55由|PF1|PF2|知，|PF2|垂直焦点所在的对称轴，所以在RTPF2F1中，SINPF1F2|PF2|PF1|12可求出PF1F2，2C|PF1|COS，66253从而B2A2C2103所以所求椭圆方程为1或1X253Y2103X210Y2511已知椭圆G1AB0的离心率为，右焦点为2，0斜率为1的直X2A2Y2B2632线L与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P3,21求椭圆G的方程；2求PAB的面积解1由已知得C2，解得A2，2CA633又B2A2C24所以椭圆G的方程为1X212Y242设直线L的方程为YXM由ERROR得4X26MX3M2120设A，B的坐标分别为X1，Y1，X2，Y2X1B0，右焦点为F2C,0X2A2Y2B2因AB1B2是直角三角形，又|AB1|AB2|，故B1AB2为直角，因此|OA|OB2|，得BC2结合C2A2B2得4B2A2B2，故A25B2，C24B2，所以离心率ECA255在RTAB1B2中，OAB1B2，故SAB1B2|B1B2|OA|OB2|OA|BB212C2由题设条件SAB1B24，得B24，从而A25B220因此所求椭圆的标准方程为1X220Y242由1知B12,0，B22,0由题意知直线L的倾斜角不为0，故可设直线L的方程为XMY2代入椭圆方程得M25Y24MY160设PX1，Y1，QX2，Y2，则Y1，Y2是上面方程的两根，因此Y1Y2，Y1Y2，4MM2516M25又X12，Y1，X22，Y2，所以BBX12X22Y1Y22PMY14MY24Y1Y2M21Y1Y24MY1Y2161616M21M2516M2M25，16M264M25由PB2QB2，得0，即16M2640，BP2Q解得M2所以满足条件的直线有两条，其方程分别为X2Y20和X2Y201设E1，E2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足120，则的值为_PFE21E2E1E22解析设椭圆的长半轴长为A1，双曲线的实半轴长为A2，|F1F2|2C，由题意得|PF1|PF2|2A1，|PF1|PF2|2A2，|PF1|2|PF2|22A2A212又120，PF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即2A2A4C2212222，即2，即2A1CA2C1E211E2E21E2E1E22答案22已知F1，F2为椭圆10|F1F2|，则轨迹不存在2双曲线的标准方程和几何性质图形标准方程1A0，B0X2A2Y2B21A0，B0Y2A2X2B2范围XA或XA，YRYA或YA，XR对称性对称轴坐标轴对称中心原点对称轴坐标轴对称中心原点顶点顶点坐标A1A,0，A2A,0顶点坐标A10