专题：直线与圆锥曲线--椭圆_双曲线、抛物线的一些经典题型

FAPHBQ专题解圆锥曲线问题常用方法（一）【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。第一定义中，R1R22A。第二定义中，R1ED1R2ED2。（2）双曲线有两种定义。第一定义中，当R1R2时，注意R2的最小值为CA第二定A义中，R1ED1，R2ED2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点AX1,Y1,BX2,Y2,弦AB中点为MX0,Y0，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有（1）与直线相交于A、B，设弦AB中点为MX0,Y0，则有。02BAYX020KBYAX（2）与直线L相交于A、B，设弦AB中点为MX0,Y0则有,12BYAX020K（3）Y22PX（P0）与直线L相交于A、B设弦AB中点为MX0,Y0,则有2Y0K2P,即Y0KP【典型例题】例1、1抛物线CY24X上一点P到点A3,4与到准线的距离和最小,则点P的坐标为2_2抛物线CY24X上一点Q到点B4,1与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为。分析（1）A在抛物线外，如图，连PF，则，因而易发现，PH当A、P、F三点共线时，距离和最小。（2）B在抛物线内，如图，作QRL交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。XY0ABCMD5FPHY0XA解（1）（2，）连PF，当A、P、F三点共线时，最小，此时AF的方程为PFAHP即Y2X1,代入Y24X得P2,2，（注另一交点为，它为直线1304XY22,1AF与抛物线的另一交点，舍去）（2）（）,4过Q作QRL交于R，当B、Q、R三点共线时，最小，此时Q点的纵坐标RBQF为1，代入Y24X得X，Q1,4点评这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。例2、F是椭圆的右焦点，A1,1为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。132YX（1）的最小值为PA（2）的最小值为分析PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径或准线作出来FP考虑问题。解（1）45设另一焦点为，则1,0连A,PFF5422FAAPAPAP当P是A的延长线与椭圆的交点时,取得最小值为4。（2）3作出右准线L，作PHL交于H，因A24，B23，C21，A2，C1，E，21PFPF2,1即A当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为3142AXCA例3、动圆M与圆C1X12Y236内切,与圆C2X12Y24外切,求圆心M的轨迹方程。分析作图时，要注意相切时的“图形特征”两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、C共线，B、D、M共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的）。MDC解如图，MC26BABA即（）8点M的轨迹为椭圆，2A8，A4，C1，B215轨迹方程为1562YX点评得到方程（）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出，再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐41122YXYX例4、ABC中，B5,0,C5,0,且SINCSINBSINA,求点A的轨迹方程。53分析由于SINA、SINB、SINC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系。解SINCSINBSINA2RSINC2RSINB2RSINA5353BCA即（）6点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）2A6，2C10A3，C5，B4所求轨迹方程为（X3）1692YX点评要注意利用定义直接解题，这里由（）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例5、定长为3的线段AB的两个端点在YX2上移动，AB中点为M，求点M到X轴的最短距离。分析（1）可直接利用抛物线设点，如设AX1,X12，BX2，X22，又设AB中点为MX0Y0用弦长公式及中点公式得出Y0关于X0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。（2）M到X轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。解法一设AX1，X12，BX2，X22，AB中点MX0，Y0则0219YXXY0MAB12由得X1X221X1X229即X1X224X1X21X1X229由、得2X1X22X022Y04X022Y0代入得2X028X024Y012X029，20204194XY19202020X,51940Y当4X0213即时，此时20X45MIN045,2法二如图，322ABFBAM，即，32341，当AB经过焦点F时取得最小值。451M到X轴的最短距离为45点评解法一是列出方程组，利用整体消元思想消X1，X2，从而形成Y0关于X0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到X轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。例6、已知椭圆过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次5212MYX变于A、B、C、D、设FM,（1）求FM,（2）求FM的最值。CDABXYF120ABCD分析此题初看很复杂，对FM的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”，A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到X轴上，立即可得防22CDABCDABXXXXXMFAC2BXX此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。解（1）椭圆中，A2M，B2M1，C21，左焦点F11,012MYX则BCYX1,代入椭圆方程即M1X2MY2MM10得M1X2MX12M2M02M1X22MX2MM20设BX1,Y1,CX2,Y2,则X1X25M1222121XXXCDABMFACDAB（2）MF当M5时，；当M2时，9210MINF324MAXF点评此题因最终需求，而BC斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC中点为MX0,Y0,CBX通过将B、C坐标代入作差，得，将Y0X01，K1代入得，10KY10MX，可见120MX2MXCB当然，解本题的关键在于对的认识，通过线段在X轴的“投影”发现CDABF是解此题的要点。CBXF【同步练习】1、已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，过F1作直线交双曲线左支于点A、B，若12BYAX，ABF2的周长为（）MABA、4AB、4AMC、4A2MD、4AM2、若点P到点F4,0的距离比它到直线X50的距离小1，则P点的轨迹方程是（）A、Y216XB、Y232XC、Y216XD、Y232X3、已知ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且，点B、C的坐标分别为A1，0，1，0，则顶点A的轨迹方程是（）A、B、1342YX01342XYXC、D、02X2Y且4、过原点的椭圆的一个焦点为F1，0，其长轴长为4，则椭圆中心的轨迹方程是（）A、B、14921XYX1921XYXC、D、45、已知双曲线上一点M的横坐标为4，则点M到左焦点的距离是1692YX6、抛物线Y2X2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是7、已知抛物线Y22X的弦AB所在直线过定点P2，0，则弦AB中点的轨迹方程是8、过双曲线X2Y24的焦点且平行于虚轴的弦长为9、直线YKX1与双曲线X2Y21的交点个数只有一个，则K10、设点P是椭圆上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，求SINF1PF2的最大值。195Y11、已知椭圆的中心在原点，焦点在X轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线L与此椭圆相交于A、B两点，且AB中点M为2，1，求直线L的方程34AB和椭圆方程。12、已知直线L和双曲线及其渐近线的交点从左到右依次为0,12BAYXA、B、C、D。求证。CDAB【参考答案】1、C，ABFAAF2,2112选C,24,4MAAB2、C点P到F与到X40等距离，P点轨迹为抛物线P8开口向右，则方程为Y216X，选C3、D，且2ABACB点A的轨迹为椭圆在Y轴右方的部分、又A、B、C三点不共线，即Y0，故选D。4、A设中心为X，Y，则另一焦点为2X1，2Y，则原点到两焦点距离和为4得，421YX4921YX又CY27、Y2X2X2设AX1，Y1，BX2，Y2，AB中点MX，Y，则2,1212112YXYXX，即Y2X220YKMPABYYF21PX又弦中点在已知抛物线内P，即Y228、4，令代入方程得8Y24,8,22CBAXY24，Y2，弦长为49、1或YKX1代入X2Y21得X2KX12101K2X22KX20得4K281K20，K01K1K20得K110、解A225，B29，C216设F1、F2为左、右焦点，则F14，0F24，0设2,PRP则2121COSR2得2R1R21COS4B21COSR1R2，R1R2的最大值为A2214B211COS的最小值为，即1COSA58COS，则当时，SIN取值得最大值1，25727RCOS0即SINF1PF2的最大值为1。11、设椭圆方程为02BAYX由题意C、2C、成等差数列，C，224AC即A22A2B2,A22B2椭圆方程为，设AX1，Y1，BX2，Y22BYX则1221B2得02211BYXKYBM即K102直线AB方程为Y1X2即YX3，代入椭圆方程即X22Y22B20得X22X322B203X212X182B20，34183121BXAB解得B212，椭圆方程为，直线L方程为XY304Y12、证明设AX1，Y1，DX2，Y2，AD中点为MX0，Y0直线L的斜率为K，则得221BAX0KBAX设，,021YXMBCYXB中点为则0212BA得21KYX由、知M、均在直线上，而M、又在直线L上，02KBYAXL若L过原点，则B、C重合于原点，命题成立若L与X轴垂直，则由对称性知命题成立若L不过原点且与X轴不垂直，则M与重合DA椭圆与双曲线的对偶性质（必背的经典结论）高三数学备课组椭圆1点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角2PT平分PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点3以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离4以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切5若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是0,PXY21XYAB0P021XYAB6若在椭圆外，则过PO作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直0,2线方程是021XYAB7椭圆AB0的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则椭212F圆的焦点角形的面积为12TANFPS8椭圆（AB0）的焦半径公式2XY,1|MFE20|EX1C20F0,MXY9设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MFNF10过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF11AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，2XYAB,0YX2OMABBKA即。02YAXBKAB12若在椭圆内，则被PO所平分的中点弦的方程是0,P212002XYXYAB13若在椭圆内，则过PO的弦中点的轨迹方程是0,XY2XYAB022双曲线1点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的内角2PT平分PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点3以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交4以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切（内切P在右支；外切P在左支）5若在双曲线（A0,B0）上，则过的双曲线的切线方程是0,XY21XYB021AB6若在双曲线（A0,B0）外，则过PO作双曲线的两条切线切点为0,PXY21XYBP1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是21XYB7双曲线（A0,BO）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点2XYB，则双曲线的焦点角形的面积为1F12TPSBCO8双曲线（A0,BO）的焦半径公式,21XYB102当在右支上时，,0,M10|MFEXA2|EXA当在左支上时，,XY0F9设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MFNF10过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF11AB是双曲线（A0,B0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则XYB,0YX，即。02YAXBKABOM02YAXBAB12若在双曲线（A0,B0）内，则被PO所平分的中点弦的方程是0,P21202XYXYAB13若在双曲线（A0,B0）内，则过PO的弦中点的轨迹方程是0,P21B202XYAB椭圆与双曲线的对偶性质（会推导的经典结论）高三数学备课组椭圆1椭圆（ABO）的两个顶点为,，与Y轴平行的直线交椭圆于21XY10AA2P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2XYB2过椭圆A0,B0上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C2XYAB0,A两点，则直线BC有定向且（常数）20BCXKAY3若P为椭圆（AB0）上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,21XY12PF，则21FTNT2CO4设椭圆（AB0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，2XY在PF1F2中，记,，则有12P1212PSINCEA5若椭圆（AB0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0E2XY时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离D与PF2的比例中项16P为椭圆（AB0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则21XY,当且仅当三点共线时，等号成立21|2|AAFF,7椭圆与直线有公共点的充要条件是22001XYAB0AXBYC2220ABX8已知椭圆（AB0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且（1）21YOPQ（2）|OP|2|OQ|2的最大值为（3）的最小值是221|OPQ24ABS2AB9过椭圆（AB0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平21XY分线交X轴于P，则|2FEMN10已知椭圆（AB0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与X轴相21YA交于点,则0PX220BXA11设P点是椭圆（AB0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记21YAB，则1212F212|COSPF12TANPFSB12设A、B是椭圆（AB0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，,2XYABPAB,，C、E分别是椭圆的半焦距离心率，则有12P2|COS|AB32TAN12COTPABABS13已知椭圆（AB0）的右准线与X轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相2XYLEF交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF的中点CLCX14过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直15过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直16椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数E离心率（注在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点）17椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比E18椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项椭圆与双曲线的对偶性质（会推导的经典结论）高三数学备课组双曲线1双曲线（A0,B0）的两个顶点为,，与Y轴平行的直线交双曲线于21XYB10AA2P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2XYB2过双曲线（A0,BO）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于21XYB0,AXYB,C两点，则直线BC有定向且（常数）20BCXKY3若P为双曲线（A0,B0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,21XYB,，则（或）12F21TNT2CCOTANT2CO4设双曲线（A0,B0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，2XYB在PF1F2中，记,，则有1P12F12PSINCEA5若双曲线（A0,B0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1E2XYB时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离D与PF2的比例中项216P为双曲线（A0,B0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则21XY,当且仅当三点共线且和在Y轴同侧时，等号成立2|AFAF2,A,F7双曲线（A0,B0）与直线有公共点的充要条件是2XYB0XBYC22ABC8已知双曲线（BA0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且21XYOPQ（1）（2）|OP|2|OQ|2的最小值为（3）的最小值是22|OPQ24ABOPQS2AB9过双曲线（A0,B0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂21XYB直平分线交X轴于P，则|2FEMN10已知双曲线（A0,B0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与X轴相交21YB于点,则或0PX2020BX11设P点是双曲线（A0,B0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，21YB12FP则12212|COSF12COTPFS12设A、B是双曲线（A0,B0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，,2XYBPAB,，C、E分别是双曲线的半焦距离心率，则有1P2|COS|ABPA232TAN12COTPABASB13已知双曲线（A0,B0）的右准线与X轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双2XYBLEF曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF的中点CLC14过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直15过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直16双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数E离心率注在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点17双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比E18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项第十三单元直线与圆锥曲线的位置关系一选择题1椭圆上的点到直线的最大距离是1462YX02YXA3BCD12102过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样XY2的直线A有且仅有一条B有且仅有两条C有无穷多条D不存在3设双曲线00的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为P、Q，2A则等于1PQA2ABCD12A4A4A9已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1X轴，则F1到直线F2M的距离362YX为ABCD56365566510点P（3，1）在椭圆的左准线上，过点P且方向为的光线，经012BAYX,2A直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为2YABCD33221二填空题11椭圆的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于P、Q，则PQF2的周长为1925YX_12若直线L过抛物线A0的焦点，并且与Y轴垂直，若L被抛物线截得的线段长为4，则2YAXA_13过点且被点M平分的双曲线的弦所在直线方程为1,3142Y14已知F1、F2是椭圆Y21的两个焦点,P是该椭圆上的一个动点,则|PF1|PF2|的最大值是4X三解答题15如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为K的直线L交抛物线Y22X于M（X1,Y1）,NX2,Y2两点（1）写出直线的方程；L（2）求X1X2与Y1Y2的值；（3）求证OMON16已知椭圆C1（AB0）的左右焦点为F1、F2，离心率为E直线2XYLYEXA与X轴Y轴分别交于点A、B，M是直线L与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线L的对称点，设AM（）证明1E2；（）若，PF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程4317已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为0,3（1）求双曲线C的方程；（2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原KXYL2O点）求K的取值范围18如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在X轴上，12,F长轴的长为4，左准线与X轴的交点为12ALM，|MA1|A1F1|21求椭圆的方程；若点P为L上的动点，求F1PF2最大值参考答案一选择题1D解析设椭圆上的点P（4COS，2SIN）1462YX则点P到直线的距离0D5|24SIN2|5SINCO|LL1A2A1F2PF1MOYX105|24|MAXD2B；解析过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，XY若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不适合。故设直线AB的斜率为K，则直线AB为1XKY代入抛物线得，XY420222A、B两点的横坐标之和等于5，52K342K则这样的直线有且仅有两条3A；解析直线L过A,0,0,B两点即为，故原点到直线L的距离0ABYXC，2|BA4322163CA22163EE或2，又00的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，2YA设P（X1,Y1）、QX2,Y2,则PAYQA41,412设直线PQ为，联立直线方程与抛物线方程可得KXYA21，2Y216A4PQ2212164AYAY9C解析已知