新课标高中数学人教a版必修1第一章集合与函数概念优秀教案

备课资料备选例题【例1】判断下列集合是有限集还是无限集,并用适当的方法表示1被3除余1的自然数组成的集合2由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合3二次函数YX22X10的图象上的所有点组成的集合4设A、B是非零实数,求Y的所有值组成的集合|AB思路分析本题主要考查集合的表示法和集合的分类用列举法与描述法表示集合时,一要分清元素是什么,二要明确元素满足的条件是什么解1被3除余1的自然数有无数个,这些自然数可以表示为3N1NN用描述法表示为X|X3N1,NN2由题意得满足条件的正整数有3,5,7,11,13,17,19则此集合中的元素有7个,用列举法表示为3,5,7,11,13,17,193满足条件的点有无数个,则此集合中有无数个元素,可用描述法来表示通常用有序数对X,Y表示点,那么满足条件的点组成的集合表示为X,Y|YX22X104当AB0时,则A0,B0或A0,B0,则有Y3若A5的解集,这些都是集合还有,我们学过的圆的定义是什么提问学生圆是到一个定点的距离等于定长的点的集合接着点出课题推进新课新知探究提出问题教师利用多媒体设备向学生投影出下面实例,这5个实例的共同特征是什么1120以内的所有质数2我国古代的四大发明3所有的安理会常任理事国4所有的正方形5北京大学2004年9月入学的全体学生活动教师组织学生分小组讨论,每个小组选出一位同学发表本组的讨论结果,在此基础上,师生共同概括出5个实例的特征,并给出集合的含义引导过程一般地,指定的某些对象的全体称为集合简称为集,集合中的每个对象叫做这个集合的元素集合常用大写字母A,B,C,D,表示,元素常用小写字母A,B,C,D,表示集合的表示法A自然语言5个实例B字母表示法集合元素的性质A确定性即任给一个元素和一个集合,那么这个元素和这个集合的关系只有两种这个元素要么属于这个集合,要么不属于这个集合B互异性一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的C无序性集合中的元素是没有顺序的集合相等如果两个集合中的元素完全相同,那么这两个集合是相等的元素与集合的关系“属于”和“不属于”分别用“”和“”表示元素确定性的符号语言表述为对任意元素A和集合A,要么AA,要么AA在初中我们学过了一些数的集合,国际标准化组织ISO制定了常用数集的记法自然数集包含零N,正整数集NN,整数集Z,有理数集Q,实数集R因此字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合,否则会出现混乱的局面提出问题1请列举出“小于5的所有自然数组成的集合A”2你能写出不等式2X3的所有解吗怎样表示这个不等式的解集活动学生回答后,教师指出在数学中,为书写规范,我们把封闭曲线简化为一个大括号,然后把元素一一列举出来,元素与元素之间用逗号隔开写在大括号内来表示这个集合这种表示集合的方法称为列举法如本例可表示为A0,1,2,3,4描述法将集合的所有元素都具有的性质满足的条件表示出来,写成X|PX的形式其中X为元素的一般特征,PX为X满足的条件如数集常用X|PX表示,点集常用X,Y|PX,Y表示应用示例思路11课本第3页例1思路分析用相应的数学知识明确集合中的元素,再写在大括号内点评本题主要考查集合表示法中的列举法如果一个集合是有限集,并且元素的个数较少时,通常选择列举法表示,其特点是非常显明地表示出了集合中的元素,是常用的表示法列举法表示集合的步骤1用字母表示集合2明确集合中的元素3把集合中所有元素写在大括号“”内,并写成A的形式变式训练请试一试用列举法表示下列集合1AXN|且NX92BY|YX26,XN,YN3CX,Y|YX26,XN,YN分析本题考查列举法与描述法的相互转化明确各个集合中的元素后再写在大括号内1集合A中元素X满足均为自然数92集合B中Y值为函数YX26的函数值的集合3集合C中元素为点,抛物线上横、纵坐标均为自然数的点答案1A0,6,82B2,5,63C0,6,1,5,2,22课本第4页例2思路分析本题重点学习用描述法表示集合用一个小写英文字母表示集合中的元素,作为集合中元素的代表符号,找到集合中元素的共同特征,并把共同特征用数学符号来表达,然后写在大括号“”内点评本题主要考查集合的表示方法,以及应用知识解决问题的能力描述法表示集合的步骤1用字母分别表示集合和元素,2用数学符号表达集合元素的共同特征3在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值或变化范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征并写成A|的形式描述法适合表示有无数个元素的集合,当集合中的元素个数较少时,通常用列举法表示变式训练课本P5练习2思路21下列所给对象不能构成集合的是A一个平面内的所有点B所有大于零的正数C某校高一4班的高个子学生D某一天到商场买过货物的顾客思路分析本题考查集合中元素的确定性由集合的含义,可知组成集合的元素必须是明确的,不能模棱两可在A中对于任何一个点要么在这个平面内,要么不在这个平面内,因而它可以组成一个集合在B中由于大于零的正数很明确,因此B也能组成一个集合C中由于“高个子”没有一个确定的标准,因而不能判定一个学生到底是不是高个子,故它不能组成集合而D中对于任何一个顾客在这一天是否到过某商场,以及是否买过货物是非常明确的,因此它也能组成一个集合答案C变式训练下列各组对象中不能构成集合的是A高一1班全体女生B高一1班全体学生家长C高一1班开设的所有课程D高一1班身高较高的男同学分析判断所给对象能否构成集合的问题,只需根据构成集合的条件,即集合中元素的确定性便可以解决因为A、B、C中所给对象都是确定的,从而可以构成集合而D中所给对象不确定,原因是找不到衡量学生身高较高的标准,故不能构成集合若将D中“身高较高的男同学”改为“身高175CM以上的男同学”,则能构成集合答案D2用另一种形式表示下列集合1绝对值不大于3的整数2所有被3整除的数3X|X|X|,XZ且X0,Y0,XZ,YZ思路分析用列举法与描述法表示集合时,一要分清元素是什么,二要明确元素满足的条件是什么答案1绝对值不大于3的整数还可以表示为X|X|3,XZ,也可表示为3,2,1,0,1,2,32X|X3N,NZ3X|X|,X0又XZ且X04正方形5X,Y|X知能训练课本P5练习1、2拓展提升1已知AXR|X,ABC0,用列举法表示集ABCACBCA|合A分析解决本题的关键是去掉绝对值符号,需分类讨论解题目中X的取值取决于A、B、C的正负情况,可分成以下几种情况讨论1A、B、C全为正时,X72A、B、C两正一负时,X13A、B、C一正两负时,X14A、B、C全为负时,X1A7,1注意2、3中又包括多种情况A、B、C各自的正负情况,解题时应考虑全面2已知集合CX|XAB,AA,BB1若A0,1,2,3,B6,7,8,9,求集合C中所有元素之和S2若A0,1,2,3,4,2005,B5,6,7,8,9,试用代数式表示出集合C中所有元素之和S3联系高斯求S123499100的方法,试求出2中的S思路分析先用列举法写出集合C,然后解决各个小题答案1列举法表示集合C6,7,8,9,10,11,12,进而易求得S6789101112632列举法表示集合C5,6,7,2013,2014,由此可得S567201320143高斯求S123499100时,利用11002993985051101,进而得S123499100101505050本题2中S56720132014201910052029095课堂小结在师生互动中,让学生了解或体会下列问题1本节课我们学习过哪些知识内容2你认为学习集合有什么意义3选择集合的表示法时应注意些什么设计感想本节课是集合的起始课,采用教师启发引导,学生探究学习的教学方法,通过创设情境,引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法作业1课本P11习题11A组42元素与集合的关系有多少种如何表示类似地集合与集合间的关系又有多少种呢如何表示请同学们通过预习课本来解答设计者韩双影模块纵览课标要求1知识与技能认识和理解集合、映射、函数、幂函数、指数函数、对数函数等概念,认识和理解它们的有关性质和运算具有一定的把函数应用于实际的能力2过程与方法通过背景的给出,通过经历、体验和实践探索过程的展现,通过数学思想方法的渗透,让学生体会过程的重要,并在过程中学习知识,同时领会一定的数学思想和方法3情感、态度与价值观教育的根本目的是育人通过对本模块内容的教学,使学生在学习和运用知识的过程中提高对数学学习的兴趣,并在初中函数的学习基础上,对数学有更深刻的感受,提高说理、批判和质疑精神,形成锲而不舍追求真理的科学态度和习惯,树立良好的情感态度和价值观内容概述本模块共三章第一章集合与函数概念第二章基本初等函数第三章函数的应用本模块为了用集合与对应的语言刻画函数概念,先在第一章给出集合的有关概念、表示、关系和运算等然后从函数实例出发深化函数概念及其表示,并研究映射概念进而又给出了函数的性质单调性、最值、奇偶性,这也是对函数的深化接下来再回到特殊的函数几个基本初等函数,继续认识函数,本模块重点涉及了指数函数、对数函数、幂函数最后专门给出了函数在数学和实际中的一些应用实例,使函数的价值得到体现,也是进一步巩固函数的概念,更加强了数学应用概括地说,本模块的核心内容是“函数”函数是描述现实世界最重要、最常用的数学模型,是贯穿整个高中数学的纽带,是学生进一步学习的准备,是未来公民的必需,因此,整个模块以函数作为中心,以函数思想作为指导思想本模块无论是数还是形都用函数观点来研究,研究它们的变化及其规律对方程的认识和研究,也是从函数出发,把它与两个函数相结合,把它的解看成两个函数图象的交点的横坐标这里把函数作为整体来认识,方程则被看成是包含于函数的局部教学建议教师,对数学应该有自己深入的想法,只有教师深入了才能有教学的浅出教师,对于教学也应该有自己的想法,唯其有自己的想法,才能发挥自己的特长,教出具有独到想法的学生1抓住核心,重点突破由于函数是本模块的重点和核心,因此教师要重视函数的教学,向学生贯彻函数的数学思想,逐步让学生掌握学会函数,更会用函数的思想去解决数学和实际问题函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质,教学中可引导学生联系生活常识,尝试列举具体函数,构建函数的一般定义要注意构成函数的要素和相同函数的含义,函数的三种表示法的联系、区别与适用性,分段函数的意义,映射的概念和判断教学中应强调对函数概念本质的理解,在求函数定义域、值域时,要控制难度2用课本教,而非教课本普通高中数学课程标准是在基础教育课程改革纲要试行的指导下编写的,是数学学科教育目标的具体化,体现数学学科对学生最起码的要求,是编制高考大纲的依据,是数学教学和培养学生数学素质的主要依据,具有指导性普通高中数学课程标准的目标是包含“双基”在内的三维发展目标知识与技能,过程与方法,情感、态度与价值观在这种教学过程中,课本仅仅是一种学习工具,是课程标准的具体化,课本内容仅仅是帮助学生实现三维发展目标的一种载体,并不要求学生将课本内容全部掌握由于高中数学课本版本的多样化,高考数学只能依据高中数学课程标准而不是某个版本的课本来命题因此在处理新课标课本时,首先要考虑高中数学课程标准的培养目标和具体要求就课本来说,版本不同,对课程标准的理解就有不同,其处理的方式也就不同,因此,在教学中,要深入钻研课程标准、课本、学生,找准三者的连接点这样在新课程改革的形势下,课本仅仅是教学的素材,在教学过程中,以课本为依托,把课本当作指导教学的素材和蓝本,创造性地使用、改造课本,最终突破课本,即变“教课本”为“用课本教”,树立“用课本教”的课本观同时这也要求提醒学生,不要把课本看得过于神圣3把学生当成学习的主人独立自主地思考是学习数学的需要,但是合作交流更不能少在课堂上,教师尽量不要大包大揽,以先知先觉出现,把结论告诉学生,而是推出判断,引导学生独立思考,并在此基础上进行合作和交流,努力实现师生的互动,这是课标的要求也是时代发展的必然4强调应用,突出提出、分析和解决问题的能力数学是美的,这正是数学使人兴趣盎然、乐此不疲之处数学的美,有两个方面一是其中的思维之美,内在的逻辑和运用逻辑的机智,外在的形式,莫不充满着思维之美另一方面则是它的作用,它在方方面面的应用新课标要求强化数学应用,在应用中,应该特别重视实践能力和创造能力的培养在教学中,要重视动手和一题多解的能力第一章集合与函数概念本章教材分析通过本章的学习,使学生会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象,并能在自然语言、图形语言、集合语言之间进行转换,体会用集合语言表达数学内容的简洁性、准确性,帮助学生学会用集合语言描述数学对象,发展学生运用数学语言进行交流的能力通过本章的学习,使学生不仅把函数看成变量之间的依赖关系,同时还会用集合与对应的语言刻画函数,为后续学习奠定基础函数是高中数学的核心概念,本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习,强调结合实际问题,使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法,从而发展学生对变量数学的认识,培养学生的抽象概括能力,增强学生应用数学的意识课本力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识,通过列举丰富的实例,强调从实例出发,让学生对集合和函数概念有充分的感性认知基础,再用集合与对应语言抽象出函数概念课本突出了集合和函数概念的背景教学,这样比较符合学生的认识规律教学中要高度重视数学概念的背景教学课本尽量创设使学生运用集合语言和数学符号进行表达和交流的情境和机会,并注意运用VENN图表达集合的关系及运算,用图象表示函数,帮助学生借助直观图示认识抽象概念课本在例题、习题的教学中注重运用集合和函数的观点研究、处理数学问题,这一观点,一直贯穿到以后的数学学习中在例题和习题的编排中,渗透了分类讨论思想,让学生体会到分类讨论思想在生活中和数学中的广泛运用,这是学生在初中阶段所缺少的函数的表示是本章的主要内容之一,课本重视采用不同的表示法列表法、图象法、分析法,目的是丰富学生对函数的认识,帮助理解抽象的函数概念在教学中,既要充分发挥图象的直观作用,又要适当地引导学生从代数的角度研究图象,使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法课本将函数推广到了映射,体现了由特殊到一般的思维规律,有利于学生对函数概念学习的连续性在教学中,要坚持循序渐进,逐步渗透数形结合、分类讨论这方面的训练对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解,而对定义域、值域的繁难计算,特别是人为的过于技巧化的训练不作提倡,要准确把握这方面的要求,防止拔高教学重视函数与信息技术整合的要求,通过电脑绘制简单函数动态图象,使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用为了体现课本的选择性,在练习题安排上加大了弹性,教师应根据学生实际情况,合理地取舍本章教学时间约需13课时,具体分配如下仅供参考111集合的含义与表示约1课时112集合间的基本关系约1课时113集合的基本运算约2课时121函数的概念约2课时121函数的表示法约3课时131单调性与最大约2课时132奇偶性约1课时本章复习约1课时11集合111集合的含义与表示整体设计教学分析集合论是现代数学的一个重要的基础在高中数学中,集合的初步知识与其他内容有着密切的联系,是学习、掌握和使用数学语言的基础课本从学生熟悉的集合自然数的集合、有理数的集合等出发,结合实例给出元素、集合的含义,课本注重体现逻辑思考的方法,如抽象、概括等值得注意的问题由于本小节的新概念、新符号较多,建议教学时先引导学生阅读课本,然后进行交流,让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用在信息技术条件较好的学校,可以利用网络平台让学生交流学习概念后的认识也可以由教师给出问题,让学生读后回答问题,再由教师给出评价这样做的目的是培养学生主动学习的习惯,提高阅读与理解、合作与交流的能力在处理集合问题时,根据需要,及时提示学生运用集合语言进行表述三维目标1通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识2了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的应用意识重点难点教学重点集合的基本概念与表示方法教学难点选择恰当的方法表示一些简单的集合课时安排1课时设计方案（一）教学过程导入新课思路1军训前学校通知8月15日8点,高一年级学生到操场集合进行军训试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定是高一而不是高二、高三对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念集合思路2首先教师提出问题在初中,我们已经接触过一些集合,你能举出一些集合的例子吗引导学生回忆、举例和互相交流自己举的例子与此同时,教师对学生的活动给予评价接着教师指出那么,集合的含义是什么呢这就是我们这一堂课所要学习的内容推进新课新知探究提出问题请我们班的全体女生起立接下来问“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊”下面请班上身高在175以上的男生起立他们能不能构成一个集合啊其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等那么,大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢请你给出集合的含义如果用A表示高一3班全体学生组成的集合,用A表示高一3班的一位同学,B是高一4班的一位同学,那么A、B与集合A分别有什么关系由此看见元素与集合之间有什么关系世界上最高的山能不能构成一个集合世界上的高山能不能构成一个集合问题说明集合中的元素具有什么性质由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素问题说明集合中的元素具有什么性质由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合中的元素相同吗这说明集合中的元素具有什么性质由此类比实数相等,你发现集合有什么结论讨论结果能能我们把研究的对象统称为“元素”,那么把一些元素组成的总体叫“集合”A是集合A的元素,B不是集合A的元素学生得出元素与集合的关系有两种属于和不属于能,是珠穆朗玛峰不能确定性给定的集合,它的元素必须是明确的,即任何一个元素要么在这个集合中,要么不在这个集合中,这就是集合的确定性3个互异性一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的,这就是集合的互异性集合M和N相同这说明集合中的元素具有无序性,即集合中的元素是没有顺序的可以发现如果两个集合中的元素完全相同,那么这两个集合是相等的提出问题阅读课本P3中数学中一些常用的数集及其记法快速写出常见数集的记号活动先让学生阅读课本,教师指定学生展示结果学生写出常用数集的记号后,教师强调通常情况下,大写的英文字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合,这是专用集合表示符号,类似于110、119等专用电话号码一样以后,我们会经常用到这些常见的数集,要求熟练掌握讨论结果常见数集的专用符号N非负整数集或自然数集全体非负整数的集合N或N正整数集非负整数集N内排除0的集合Z整数集全体整数的集合Q有理数集全体有理数的集合R实数集全体实数的集合提出问题前面所说的集合是如何表示的阅读课本中的相关内容,并思考除字母表示法和自然语言之外,还能用什么方法表示集合集合共有几种表示法活动学生回顾所学的集合并作出总结教师提示可以用字母或自然语言来表示教师可以举例帮助引导例如,24的所有正约数构成的集合,把24的所有正约数写在大括号“”内,即写出为1,2,3,4,6,8,12,24的形式,这种表示集合的方法是列举法注意大括号不能缺失有些集合所含元素个数较多,元素又呈现出一定的规律,在不至于发生误解的情况下,亦可用列举法表示,如从1到100的所有整数组成的集合1,2,3,100,自然数集N0,1,2,3,4,N,区分A与AA表示一个集合,该集合只有一个元素,A表示这个集合的一个元素用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序相同的元素不能出现两次又例如,不等式X32的解集,这个集合中的元素有无数个,不适合用列举法表示可以表示为XR|X32或X|X32,这种表示集合的方法是描述法让学生思考总结已经学习了的集合表示法讨论结果方法一字母表示法大写的英文字母表示集合,例如常见的数集N、Q,所有的正方形组成的集合记为A等等方法二自然语言用文字语言来描述出的集合,例如“所有的正方形”组成的集合等等列举法把集合中的全部元素一一列举出来,并用大括号“”括起来表示集合,这种表示集合的方法叫做列举法描述法在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值或变化范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法注在不致混淆的情况下,也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线和元素代表符号,例如所有直角三角形的集合可以表示为X|X是直角三角形,也可以写成直角三角形表示一个集合共有四种方法字母表示法、自然语言、列举法、描述法应用示例思路11下列各组对象不能组成集合的是A大于6的所有整数B高中数学的所有难题C被3除余2的所有整数D函数Y图象上所有的点X活动学生先思考、讨论集合元素的性质,教师指导学生此类选择题要逐项判断判断一组对象能否构成集合,关键是看是否满足集合元素的确定性在选项A、C、D中的元素符合集合的确定性而选项B中,难题没有标准,不符合集合元素的确定性,不能构成集合答案B变式训练1下列条件能形成集合的是A充分小的负数全体B爱好足球的人C中国的富翁D某公司的全体员工答案D22007浙江宁波高三第一次“十校联考”,理1在数集2X,X2X中,实数X的取值范围是分析实数X的取值满足集合元素的互异性,则2XX2X,解得X0且X3,实数X的取值范围是X|X3答案X|X3点评本题主要考查集合的含义和元素的性质当所指的对象非常明确时就能构成集合,若元素不明确,没有判断的标准就不能构成集合2用列举法表示下列集合1小于10的所有自然数组成的集合2方程X2X的所有实数根组成的集合3由120以内的所有质数组成的集合活动学生先思考或讨论列举法的形式,展示解答过程当学生出现错误时,教师及时加以纠正利用相关的知识先明确集合中的元素,再把元素写入大括号“”内,并用逗号隔开所给的集合均是用自然语言给出的提示学生注意以下方面1自然数中包含零2解一元二次方程有公式法和分解因式法,方程X2X的根是X0,X13除去1和本身外没有其他约数的正整数是质数,120以内的所有质数是2、3、5、7、11、13、17、19解1设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A0,1,2,3,4,5,6,7,8,92设方程X2X的所有实数根组成的集合为B,那么A0,13设由120以内的所有质数组成的集合为C,那么C2,3,5,7,11,13,17,19点评本题主要考查集合表示法中的列举法通过本题可以体会利用集合表示数学内容的简洁性和严谨性,以后我们尽量用集合来表示数学内容如果一个集合是有限集,并且元素的个数较少时,通常选择列举法表示,其特点是非常显明地表示出了集合中的元素,是常用的表示法列举法表示集合的步骤1用字母表示集合2明确集合中的元素3把集合中所有元素写在大括号“”内,并写成A的形式变式训练用列举法表示下列集合1所有绝对值等于8的数的集合A2所有绝对值小于8的整数的集合B答案1A8,82B7,6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6,73试分别用列举法和描述法表示下列集合1方程X220的所有实数根组成的集合2由大于10小于20的所有整数组成的集合活动先让学生回顾列举法表示集合的步骤,思考描述法的形式,再找学生到黑板上书写当学生出现错误时,教师指导学生书写过程用描述法表示集合时,要用数学符号表示集合元素的特征大于10小于20的所有整数用数学符号可以表示为1063不等式X735X,Y|XYX3的全体实数4所有直角三角形5美国NBA的著名篮球明星6所有绝对值等于6的数7所有绝对值小于3的整数8中国男子足球队中技术很差的队员9参加2008年奥运会的中国代表团成员答案1234679能组成集合,58不能组成集合2口答说出下面集合中的元素1大于3小于11的偶数2平方等于1的数315的正约数答案1其元素为4,6,8,102其元素为1,13其元素为1,3,5,153用符号或填空11_N,0_N,3_N,05_N,_N221_Z,0_Z,3_Z,05_Z,_Z31_Q,0_Q,3_Q,05_Q,_Q41_R,0_R,3_R,05_R,_R2答案12344判断正误1所有属于N的元素都属于N2所有属于N的元素都属于Z3所有不属于N的数都不属于Z4所有不属于Q的实数都属于R5不属于N的数不能使方程4X8成立答案123455分别用列举法、描述法表示方程组的解集273YX,解因的解为273YX,用描述法表示该集合为X,Y|273YX用列举法表示该集合为3,7拓展提升问题集合AX|XAB,AZ,BZ,判断下列元素X0、与集合A21223之间的关系活动学生先思考元素与集合之间有什么关系,书写过程,将元素X化为A2B的形式,再判断A、B是否为整数描述法表示集合的优点是突出显示了集合元素的特征,那么判断一个元素是否属于集合时,转化为判断这个元素是否满足集合元素的特征即可解由于XAB,AZ,BZ,2当AB0时,X00A又11,1当AB1时,AB1,A212又,31当A3,B1时,AB,而3Z,2A310A,A,A1223点评本题考查集合的描述法表示以及元素与集合间的关系课堂小结本节学习了1集合的概念2集合的表示法3利用列举法和描述法表示集合的步骤作业课本P11习题11A组2、3、4设计感想集合语言是现代数学的基本语言,在高中数学课程中,它也是学习、掌握和使用数学语言的基础由于集合的概念较难理解,因此设计时采用渐进式学习,而集合的列举法和描述法的形式比较容易接受,在设计时注重让学生自己学习,重点引导学生学习这两种方法的应用同时通过解决一系列具体问题,使学生自己体会到集合各种表示法的优缺点针对不同问题,能选用合适集合表示法在练习过程中熟练掌握集合语言与自然语言的转换教师在教学过程中时时监控,对学生不可能解决的问题,如集合常见表示法的写法,常见数集及其记法应直接给出,以避免出现不必要的混乱对学生解题过程中遇到的困难给予适当点拨引导学生养成良好学习习惯,最大限度地挖掘学生的学习潜力是我们教师的奋斗目标备课资料备选例题【例1】下面的VENN图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系,问集合A、B、C、D、E分别是哪种图形的集合图1126思路分析结合VENN图,利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来确定解梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形,故A四边形梯形不是平行四边形、菱形、正方形,而菱形、正方形是平行四边形,故B梯形,C平行四边形正方形是菱形,故E正方形,即A四边形,B梯形,C平行四边形,D菱形,E正方形【例2】2006全国高中数学联赛山东赛区预赛,3设集合AX|X|23|X|20,BX|A2X2,则满足BA的A的值共有A2个B3个C4个D5个分析由已知得AX|X|1或|X|22,1,1,2,集合B是关于X的方程A2X2的解集,BA,B或B当B时,关于X的方程A2X2无解,A20A2当B时,关于X的方程A2X2的解XA,2A2或1或1或22A2A解得A1或0或4或3,综上所得,A的值共有5个答案D【例3】2005天津高考,文1集合AX|0X3时,B不是A的子集综上可知,当1A3时,B是A的子集由于集合B最多只有两个元素,而集合A有无数个元素,故不存在实数A,使BA点评分类讨论思想,就是科学合理地划分类别,通过“各个击破”,再求整体解决即先化整为零,再聚零为整的策略思想类别的划分必须满足互斥、无漏、最简的要求,探索划分的数量界限是分类讨论的关键思考1空集中没有元素,怎么还是集合2符号“”和“”有什么区别剖析1疑点是总是对空集这个概念迷惑不解,并产生怀疑的想法产生这种想法的原因是没有了解建立空集这个概念的背景,其突破方法是通过实例来体会例如,根据集合元素的性质,方程的解能够组成集合,这个集合叫做方程的解集对于0,X240等方程来说,它们的解集X1中没有元素也就是说确实存在没有任何元素的集合,那么如何用数学符号来刻画没有元素的集合呢为此引进了空集的概念,把不含任何元素的集合叫做空集这就是建立空集这个概念的背景由此看出,空集的概念是一个规定又例如,不等式|X|3等等,类比实数之间的关系,你会想到集合之间有什么关系呢让学生自由发言,教师不要急于作出判断,而是继续引导学生欲知谁正确,让我们一起来观察、研探思路2复习元素与集合的关系属于与不属于的关系,填空10N22Q315R类比实数的大小关系,如52,由于NM,则N或N,要对集合N是否为空集分类讨论解由题意得MX|X2,则N或N当N时,关于X的方程AX1中无解,则有A0当N时,关于X的方程AX1中有解,则A0,此时X,又NM,M2A1A102M1即M2M1,得M451,M21M综上有M4点评此问题解决要注意不应忽略找A中的元素分类讨论思想的运用拓展提升问题已知AB,且AC,B0,1,2,3,4,C0,2,4,8,则满足上述条件的集合A共有多少个活动学生思考AB,且AC所表达的含义AB说明集合A是集合B的子集,即集合A中元素属于集合B,同理有集合A中元素属于集合C因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素思路1写出由集合B和集合C的公共元素所组成的集合,得满足条件的集合A思路2分析题意,仅求满足条件的集合A的个数,转化为求集合B和集合C的公共元素所组成的集合的子集个数解法一因AB,AC,B0,1,2,3,4,C0,2,4,8,由此,满足AB,有,0,1,2,3,4,0,1,0,2,2,3,2,4,0,3,0,4,1,2,1,3,1,4,3,4,0,2,4,0,1,2,0,1,3,0,1,4,1,2,3,1,2,4,2,3,4,0,3,4,0,1,2,3,1,2,3,4,0,1,3,4,0,2,3,1,3,4,0,1,2,4,0,2,3,4,0,1,2,3,4,共2532个又满足AC的集合A有,0,2,4,8,0,2,0,4,0,8,2,4,2,8,4,8,0,2,4,0,2,8,0,4,8,2,4,8,0,2,4,8,共2416个其中同时满足AB,AC的有8个,0,2,4,0,2,0,4,2,4,0,2,4,实际上到此就可看出,上述解法太繁解法二题目只求集合A的个数,而未让说明A的具体元素,故可将问题等价转化为B、C的公共元素组成集合的子集数是多少显然公共元素有0、2、4,组成集合的子集有238个点评有关集合间关系的问题,常用分类讨论的思想来解决关于集合的子集个数的结论要熟练掌握,其应用非常广泛课堂小结本节课学习了子集、真子集、空集、VENN图等概念能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集,进一步确定其是否是真子集清楚两个集合包含关系的确定,主要靠其元素与集合关系来说明作业课本P11习题11A组5设计感想本节教学设计注重引导学生通过类比来获得新知,在实际教学中,要留给学生适当的思考时间,使学生自己通过类比得到正确结论丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念,学生的数学学习活动不能仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受,独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方式备课资料备选例题【例1】已知AY|YX24X6,XR,YN,BY|YX22X7,XR,YN,求AB,并分别用描述法、列举法表示它解YX24X6X2222,AY|Y2,YN,又YX22X7X1288,BY|Y8,YN故ABY|2Y82,3,4,5,6,7,8【例2】2006第十七届“希望杯”全国数学邀请赛高一第一试,1设SX,Y|XY0,TX,Y|X0且Y0,则ASTSBSTTCSTSDST分析SX,Y|XY0X,Y|X0且Y0或X1,BX|X0,求AB,AB答案ABR,ABX|20,CX|X10,则AB,BC,ABC分别是什么活动学生先思考集合中元素特征,明确集合中的元素将集合中元素利用数形结合在数轴上找到,那么运算结果寻求就易进行这三个集合都是用描述法表示的数集,求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素解因AX|X0,CX|X10,在数轴上表示,如图1136所示,所以ABX|00,ABC图1136点评本题主要考查集合的交集和并集求集合的并集和交集时,明确集合中的元素依据并集和交集的含义,借助于直观数轴或VENN图写出结果变式训练1设AX|X2N,NN,BX|X2N,NN,求AB,AB解对任意MA,则有M2N22N1,NN,因NN,故N1N,有2N1N,那么MB,即对任意MA有MB,所以AB而10B但10A,即AB,那么ABA,ABB2求满足1,2B1,2,3的集合B的个数解满足1,2B1,2,3的集合B一定含有元素3,B3还可含1或2其中一个,有1,3,2,3还可含1和2,即1,2,3,那么共有4个满足条件的集合B3设A4,2,A1,A2,B9,A5,1A,已知AB9,求A解因AB9,则9A,A19或A29,A10或A3,当A10时,A55,1A9当A3时,A12不合题意当A3时,A14不合题意故A10,此时A4,2,9,100,B9,5,9,满足AB942006北京高考,文1设集合AX|2X13DX|X2M1,M2,BX|X3,求AB解在数轴上将A、B分别表示出来,得ABX|X25设AX|X是平行四边形,BX|X是矩形,求AB解因矩形是平行四边形,故由A及B的元素组成的集合为AB,ABX|X是平行四边形6已知M1,N1,2,设AX,Y|XM,YN,BX,Y|XN,YM,求AB,AB分析M、N中元素是数A、B中元素是平面内点集,关键是找其元素解M1,N1,2,则A1,1,1,2,B1,1,2,1,故AB1,1,AB1,1,1,2,2,172006江苏高考,7若A、B、C为三个集合,ABBC,则一定有AACBCACACDA分析思路一BCB,BCC,ABBC,ABB,ABCABCAC思路二取满足条件的A1,B1,2,C1,2,3,排除B、D,令A1,2,B1,2,C1,2,则此时也满足条件ABBC,而此时AC,排除C答案A拓展提升观察1集合A1,2,B1,2,3,4时,AB,AB这两个运算结果与集合A,B的关系2当A时,AB,AB这两个运算结果与集合A,B的关系3当AB1,2时,AB,AB这两个运算结果与集合A,B的关系由123你发现了什么结论活动依据集合的交集和并集的含义写出运算结果,并观察与集合A,B的关系用VENN图来发现运算结果与集合A,B的关系123中的集合A,B均满足AB,用VENN图表示,如图1138所示,就可以发现AB,AB与集合A,B的关系图1138解ABAABABB可用类似方法,可以得到集合的运算性质,归纳如下ABBA,AAB,BABAAA,AA,ABABBABBAABA,ABBAAAAABABA课堂小结本节主要学习了1集合的交集和并集2通常借助于数轴或VENN图来求交集和并集作业1课外思考对于集合的基本运算,你能得出哪些运算规律2请你举出现实生活中的一个实例,并说明其并集、交集和补集的现实含义3书面作业课本P12习题11A组6、7、8设计感想由于本节课内容比较容易接受,也是历年高考的必考内容之一,所以在教学设计上注重加强练习和拓展课本内容设计中通过借助于数轴或VENN图写出集合运算的结果,这是突破本节教学难点的有效方法设计者尚大志第2课时导入新课问题分别在整数范围和实数范围内解方程X3X0,其结果会相同吗3若集合AX|02而4,5,6都大于2,33AB4,5,6答案B思路21已知全集UR,AX|2X4,BX|3X3,求1A,B2AB,AB,由此你发现了什么结论3AB,AB,由此你发现了什么结论活动学生回想补集的含义,教师指导学生利用数轴来解决依据补集的含义,借助于数轴求得在数轴上表示集合A,B解如图11310所示,图113101由图得AX|X4,BX|X32由图得ABX|X4X|X3X|X3ABX|2X4X|3X3X|2X3,ABX|2X3X|X3得出结论ABAB3由图得ABX|X4X|X3X|X4ABX|2X4X|3X3X|3X4,ABX|3X4X|X4得出结论ABAB变式训练12006重庆高考,理1已知集合U1,2,3,4,5,6,7,A2,4,5,7,B3,4,5,则AB等于A1,6B4,5C1,2,3,4,5,7D1,2,3,6,7答案D22005江西高考,理1设集合IX|X|0,试用文字语言表述A的意义解AX|2X10即不等式2X10的解集,A中元素均不能使2X10成立,即A中元素应当满足2X10A即不等式2X10的解集2如图11314所示,U是全集,M,P,S是U的三个子集,则阴影部分表示的集合是_图11314分析观察图可以看出,阴影部分满足两个条件一是不在集合S内二是在集合M,P的公共部分内,因此阴影部分表示的集合是集合S的补集与集合M,P的交集的交集,即SMP答案SMP32007安徽淮南一模,理1设集合A、B都是U1,2,3,4的子集,已知AB2,AB1,则A等于A1,2B2,3C3,4D1,4分析如图11315所示图11315由于AB2,AB1,则有A1,2A3,4答案C42006安徽高考,文1设全集U1,2,3,4,5,6,7,8,集合S1,3,5,T3,6,则ST等于AB2,4,7,8C1,3,5,6D2,4,6,8分析直接观察或画出VENN图,得ST1,3,5,6,则ST2,4,7,8答案B52007河北石家庄一模,文1已知集合I1,2,3,4,A1,B2,4,则AB等于A1B1,3C3D1,2,3分析B1,3,AB11,31,3答案B拓展提升问题某班有学生50人,解甲、乙两道数学题,已知解对甲题者有34人,解对乙题者有28人,两题均解对者有20人,问1至少解对其中一题者有多少人2两题均未解对者有多少人分析先利用集合表示解对甲、乙两道数学题各种类型,然后根据题意写出它们的运算,问题便得到解决解设全集为U,A只解对甲题的学生,B只解对乙题的学生,C甲、乙两题都解对的学生,则AC解对甲题的学生,BC解对乙题的学生,ABC至少解对一题的学生,ABC两题均未解对的学生由已知,AC有34个人,C有20个人,从而知A有14个人BC有28个人,C有20个人,所以B有8个人因此ABC有N11482042人,ABC有N250428人至少解对其中一题者有42个人,两题均未解对者有8个人课堂小结本节课学习了全集和补集的概念和求法常借助于数轴或VENN图进行集合的补集运算作业课本P12习题11A组9、10,B组4设计感想本节教学设计注重渗透数形结合的思想方法,因此在教学过程中要重点指导学生借助于数轴或VENN图进行集合的补集运算由于高考中集合常与以后学习的不等式等知识紧密结合,本节也对此也予以体现,可以利用课余时间学习有关解不等式的知识习题详解课本P5练习11中国A,美国A,印度A,英国A2AX|X2X0,1,1A3BX|X2X603,2,3A4CXN|1X101,2,3,4,5,6,7,8,9,10,8C,91C21X|X29或3,322,3,5,73X,Y|或1,46XY34XR|4X53,BX|X2,4B,3A,2B,BA2AX|X2101,1,1A,1A,A,1,1A36BX|3X782XX|X3,ABX|2XAA,BX|XA,AX|X0时,求FA,FA1的值活动1让学生回想函数的定义域指的是什么函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围,故转化为求使和有意义的自变量的取值范围有意义,则X30,3X213X有意义,则X20,转化解由X30和X20组成的不等式组21X2让学生回想F3,F表示什么含义F3表示自变量X3时对应的函数值,F表示自332变量X时对应的函数值分别将3,代入函数的对应法则中得F3,F的值323FA表示自变量XA时对应的函数值,FA1表示自变量XA1时对应的函数值分别将A,A1代入函数的对应法则中得FA,FA1的值解1要使函数有意义,自变量X的取值需满足解得3X2,02,3X即函数的定义域是3,22,2F31321F23383A0,A3,22,即FA,FA1有意义则FA21FA13A12A点评本题主要考查函数的定义域以及对符号FX的理解求使函数有意义的自变量的取值范围,通常转化为解不等式组FX是表示关于变量X的函数,又可以表示自变量X对应的函数值,是一个整体符号,分开符号FX没有什么意义符号F可以看作是对“X”施加的某种法则或运算例如F