2014数学一轮考点归纳集训：《导数的应用》

第十二节导数的应用备考方向要明了考什么怎么考1了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间其中多项式函数一般不超过三次2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值其中多项式函数一般不超过三次利用导数研究函数的单调区间、极值或最值，其考查题型有1利用导数求单调区间，如2012年北京T18等2利用单调性求参数范围，如2011年江苏T19等，3利用导数求函数的极值，或最值，如2012年陕西T7，安徽T19等4已知函数的极值或最值求参数，如2012年江苏T18等归纳知识整合1函数的单调性与导数探究1若函数FX在A，B内单调递增，那么一定有FX0吗FX0是否是FX在A，B内单调递增的充要条件提示函数FX在A，B内单调递增，则FX0，FX0是FX在A，B内单调递增的充分不必要条件2函数的极值与导数1函数的极小值若函数YFX在点XA处的函数值FA比它在点XA附近其他点的函数值都小，且FA0，而且在点XA附近的左侧FX0，右侧FX0，则A点叫做函数的极小值点，FA叫做函数的极小值2函数的极大值若函数YFX在点XB处的函数值FB比它在点XB附近其他点的函数值都大，且FB0，而且在点XB附近的左侧FX0，右侧FX0，则B点叫做函数的极大值点，FB叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值探究2导数值为0的点一定是函数的极值点吗“导数为0”是函数在该点取得极值的什么条件提示不一定可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点未必是极值点；如函数FXX3，在X0处，有F00，但X0不是函数FXX3的极值点；其为函数在该点取得极值的必要而不充分条件3函数的最值与导数1函数FX在A，B上有最值的条件一般地，如果在区间A，B上，函数YFX的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值2求函数YFX在A，B上的最大值与最小值的步骤为求函数YFX在A，B内的极值；将函数YFX的各极值与端点处的函数值FA，FB比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值探究3函数的极值和函数的最值有什么联系和区别提示极值是局部概念，指某一点附近函数值的比较，因此，函数在极大小值，可以比极小大值小大；最值是整体概念，最大、最小值是指闭区间A，B上所有函数值的比较因而在一般情况下，两者是有区别的，极大小值不一定是最大小值，最大小值也不一定是极大小值，但如果连续函数在区间A，B内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值自测牛刀小试1教材习题改编函数FXEXX的单调递增区间是A，1B1，C，0D0，解析选DFXEXX，FXEX1，由FX0，得EX10，即X02教材习题改编函数FXX34X4有13A极大值，极小值28343B极大值，极小值43283C极大值，极小值43283D极大值，极小值28343解析选DFXX34X4，13FXX24，令FX0，则X2当X，2时，FX0；当X2,2时，FX0FX极大值F2，FX极小值F2283433已知函数FX的导函数FXAX2BXC的图象如图所示，则FX的图象可能是解析选D当X0时，由导函数FXAX2BXC的图象可知，导数在区间0，X1内的值是大于0的，则在此区间内函数FX单调递增4教材习题改编函数FXX33X22在区间1,1上的最大值是_解析由题意，得FX3X26X，令FX0，得X0或X2舍去由于F12，F10，F02，故FX在1,1上的最大值为2答案25若函数FXX3X2MX1是R上的单调增函数，则M的取值范围是_解析FXX3X2MX1，FX3X22XM又FX在R上是单调函数，412M0，即M13答案13，运用导数解决函数的单调性问题例12013郑州模拟已知函数FXAXXLNX，且图象在点处的切线1E，F1E斜率为1E为自然对数的底数1求实数A的值；2设GX，求GX的单调区间；FXXX13当MN1M，NZ时，证明MNNMNM自主解答1FXAXXLNX，FXA1LNX，依题意FA1，所以A11E2因为GX，FXXX1XLNXX1所以GXX1LNXX12设XX1LNX，则X11X当X1时，X10，X是增函数，1X对X1，X10，即当X1时，GX0，故GX在1，上为增函数；当010，即当00，故GX在0,1上为增函数所以GX的单调递增区间为0,1，1，3要证，即证LNNLNM，MNNMNMLNNMLNMN即LNMLNN，N1NM1MMLNMM1NLNNN1因为MN1，由2知，GMGN，故式成立，所以MNNMNM1导数法求函数单调区间的一般步骤1确定函数FX的定义域；2求导数FX；3在函数FX的定义域内解不等式FX0和FX0时为增函数；FX01X4X23X1X4X1X1X当FX0，X0,1时，函数FX3X2X2LNX单调递增当FX0，12X32FX1X12X2323X22X12X23X1X12X2令FX0，解得X11，X2因X2不在定义域内，舍去1313当X0,1时，FX0，故FX在1，上为增函数故FX在X1处取得极小值F13求可导函数FX的极值的步骤1求导数FX；2求方程FX0的根；3检验FX在方程FX0的根的附近两侧的符号具体如下表XXX0FXFX0FX0FXX0FXFX0FX减极小值FX0增2已知函数FXEKXKF0EE1此时FX在0,1上的最大值为F11KE当时，FX在0,1上的最大值为KEE1利用导数求函数最值的方法求解函数的最值时，要先求函数YFX在A，B内所有使FX0的点，再计算函数YFX在区间内所有使FX0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得，也可利用函数的单调性求得32012江西高考已知函数FXAX2BXCEX在0,1上单调递减且满足F01，F101求A的取值范围；2设GXFXFX，求GX在0,1上的最大值和最小值解1由F01，F10得C1，AB1，则FXAX2A1X1EX，FXAX2A1XAEX依题意须对于任意X0,1，有FX0时，因为二次函数YAX2A1XA的图象开口向上，而F0A0，FX不符合条件故A的取值范围为0A12因GX2AX1AEX，所以GX2AX1AEX当A0时，GXEX0，GX在X0处取得最小值G01，在X1处取得最大值G1E当A1时，对于任意X0,1有GX2XEX01A2A若1，即00，GXX3BX1若曲线YFX与曲线YGX在它们的交点1，C处具有公共切线，求A，B的值；2当A24B时，求函数FXGX的单调区间，并求其在区间，1上的最大值快速规范审题第1问1审条件，挖解题信息观察条件曲线YFX与曲线YGX在它们的交点1，C处有公共切线ERROR两曲线在X1处的纵坐标及导数相同2审结论，明确解题方向观察所求结论求A，B的值将ERROR用A，B表示即可需要建立关于A，B的方程组3建联系，找解题突破口问题转化为解方程组ERRORFX2AX，须求FX和GXGX3X2BERROR将X1代入AB3第2问1审条件，挖解题信息观察条件A24BFXAX21A0，GX可消掉一个参数，使FX与GX含有同一个参数X3A2X142审结论，明确解题方向观察所求结论求函数FXGX的单调区间及其在区间，1上的最大值应利用导数解决FXGX含X3及参数A3建联系，找解题突破口问题转化为求函数HXFXGXX3AX2A2X1的导数14单调递增区间为和，由HX0和HX0时，HX与HX的变化情况如下X，A2A2A2，A6A6A6，HX00HX函数HX的单调递增区间为和，单调递减区间为，A2A6，6分A2，A6当1，即A20，即A6时，函数HX在区间上单调A6，A2递增，在区间上单调递减，在区间上单调递A2，A6A6，1增，又因为HH11AA2A220，所以HXA21414易忽视条件“在它们的交点1，C处具有公切线”的双重性而造成条件缺失，不能列出关于A，B的方程组，从而使题目无法求解易将单调递增区间写成并集“”或“，A2A6，或”而导致错，A2A6，误易忽视对A的分类讨论或分类不准确造成解题错误在区间，1上的最大值为H112分A2综上所述当A0,2时，最大值为H1A；A24当A2，时，最大值为H113分A2答题模板速成用导数求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步解答第一步求导求函数FX的导数FX第二步判断单调性求函数FX在给定区间上的单调性第三步求极点求函数FX在给定区间上的极值第四步求端点值求函数FX在给定区间上的端点值第五步确定最值比较函数FX的各极值与端点值的大小，确定函数FX的最大值和最小值第六步反思回顾查看关键点，易错点和解题规范如本题的关键点是确定函数单调区间；易错点是对参数的讨论一、选择题本大题共6小题，每小题5分，共30分1已知定义在R上的函数FX，其导函数FX的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是AFBFCFDBFBFAFECFCFBFADFCFEFD解析选C依题意得，当X，C时，FX0；当XC，E时，FX0因此，函数FX在，C上是增函数，在C，E上是减函数，在E，上是增函数，又AFBFA2函数FX的定义域为R，F12，对任意XR，2，则FXFX2X4的解集为A1,1B1，C，1D，解析选B令函数GXFX2X4，则GXFX20，因此，GX在R上是增函数，又G1F1242240所以，原不等式可化为GXG1，由GX的单调性，可得X132012陕西高考设函数FXXEX，则AX1为FX的极大值点BX1为FX的极小值点CX1为FX的极大值点DX1为FX的极小值点解析选D求导得FXEXXEXEXX1，令FXEXX10，解得X1，易知X1是函数FX的极小值点4函数FXX23X4在0,2上的最小值是X33AB173103C4D643解析选AFXX22X3，令FX0得X1X3舍去，又F04，F1，F2，173103故FX在0,2上的最小值是F117352013咸宁模拟已知函数YX33XC的图象与X轴恰有两个公共点，则CA2或2B9或3C1或1D3或1解析选AY3X23，当Y0时，X1则X，Y，Y的变化情况如下表X，111,111，YYC2C2因此，当函数图象与X轴恰有两个公共点时，必有C20或C20，C2或C262012福建高考已知FXX36X29XABC，A0；F0F10；F0F30，得X3，FX在区间1,3上是减函数，在区间，1，3，上是增函数又A0，Y极小值F3ABC0又X1，X3为函数FX的极值点，后一种情况不可能成立，如图F00正确结论的序号是二、填空题本大题共3小题，每小题5分，共15分7函数FXX315X233X6的单调减区间为_解析由FXX315X233X6得FX3X230X33，令FX0，得X0，得X2或X0，在0,2上FX0FX在，0，2，上递增，在0,2上递减，因此FX在X2处取得极小值所以X02由F25，得C1FXX33X2111已知函数FXXLNX，GXX2AX21求函数FX在T，T2T0上的最小值；2若函数YFX与YGX的图象恰有一个公共点，求实数A的值；3若函数YFXGX有两个不同的极值点X1，X2X1LN2，求实数A的取值范围解1令FXLNX10得X，1E当0GXMINGLN2时，X1，X2存在，12且X2X1的值随着A的增大而增大而当X2X1LN2时，则有ERROR两式相减可得LN2X2X12LN2，X2X1得X24X1，代入上述方程组解得X1，LN23X2LN2，43此时实数ALN2LN1，23LN23所以实数A的取值范围为ALN2LN123LN2312已知函数FXXAX2LN1X，其中AR121若X2是FX的极值点，求A的值；2求FX的单调区间；3若FX在0，上的最大值是0，求A的取值范围解1FX，X1，X1AAXX1依题意，得F20，解得A13经检验，A时，符合题意13故A132当A0时，FX，XX1由FX0和FX0时，令FX0，得X10或X211A当01时，11时，FX的单调递增区间是，单调递减区间是和1A1，01，1A10，3由2知A0时，FX在0，上单调递增，由F00，知A0时不合题意当0F00，知00，此时FX0，函数FX单调递增；当A0时，由FX0，即AX2X1A0，解得X11，X211AA当A时，X1X2，GX0恒成立，此时FX0，函数FX在0，上12单调递减；B当010121AX0,1时，G