毕业论文-对称性在简化积分运算中的应用

毕业设计（论文）题目对称性在简化积分运算中的应用学生姓名学号所在学院金融与数学学院专业班级应数1001班届别指导教师目录前言11对称性在定积分中的应用211相关定理及其应用22对称性在重积分计算中的应用321对称性在二重积分中的应用322对称性在三重积分计算中的应用43对称性在曲线积分计算中的应用531对称性在第一类曲线积分中的应用532对称性在第二类曲线积分计算中的应用64对称性在曲面积分计算中的应用941对称性在第一类曲面积分计算中的应用942对称性在第二类曲面积分运算中的应用105化积分区域为对称区域的几种方法11结束语12参考文献12对称性在简化积分运算中的应用摘要在计算积分中，恰当的使用轮换对成性和对称性，以及奇偶性都可以简化计算。本文主要结合实例阐述对称性在化简几类积分计算中的妙用。具体总结平移变换和区域划分方法来构造对称性。关键字对称性；奇偶性；定积分；曲线积分；曲面积分SYMMETRYINTHEINTEGRALCALCULATIONABSTRACTINCALCULATINGOFTHECALCULUS,PROPERUSETRANSLATABLESYMMETRY、SYMMETRYANDPARITYCANSIMPLIFYTHECALCULATIONTHISPAPERMAINLYUSEEXAMPLETOELABORATEDSYMMETRYINTHESIMPLIFYTHECALCALATIONSPECIFICSUMMARIZEPARALLELMOVINGTRANSFORMATIONANDDIVIDETHEAREATOCONSTRUCTSYMMETRYKEYWORDSSYMMETRYPARITYDEFINITEINTEGRALCURVEPOINTSSURFACEINTEGRALS前言微积分是高等数学中的难点和重点。在很多复杂的微积分证明和计算过程中，尤其是涉及多元微积分问题,常规的方法很难解决，恰当的利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，可以大大简化积分计算。积分计算中,有很多积分区域存在对称性的问题合理、恰当的利用其所具有的对称性的性质，则可以使其计算过程得到简化,甚至有些问题直接可以判断出其结果当积分形式不具有对称性时，有时可以通过变换积分的区域形成对称。本文具体总结平移变换和区域划分等方法来构造对称性，从而达到简化积分计算的效果。本文主要结合实例阐述对称性在简化定积分、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分计算中的妙用。1对称性在定积分中的应用11相关定理及其应用定理11【1】设在区间可积XFA,（1）若为奇函数，则；F0DXFA（2）若为偶函数，则XFAAXFF02例11计算积分其中为偶DDDCOS1COS1CS120XXFCOS21函数，则0202COS1XXXD令，则TXTAN32ARCTN31412412COS2002000TDTDTXD在定积分的计算中，当积分区间为任意有限区间时，该积分区间一定关于直B,线对称，由此我们可得以下出定理。21BAX定理124设FX在A,B上连续，则BABADXFDXF例12计算定积分XX423LN9L解令，则由定理123LN9LXXXF9LN3L6XXF知126214442DFDF以上是对称性在定积分计算中的应用，可以得出对称性可以大大的简化定积分的运算。2对称性在重积分计算中的应用21对称性在二重积分中的应用相关定理及应用定理21135若D关于X轴对称，D1位于X轴上半部分，当函数是关于,YXFY的奇函数，即时，；当函数是关于Y的偶,YFXF0,DYF,F函数，即时，,Y1,2,DDF定理2125若D关于Y轴对称，D2位于Y轴右半部份，当函数FX,Y是关于X的奇函数，即时；,XFF0,DDXYF当函数FX,Y是关于X的偶函数，即时,YFXF。2,DDDYFDXYF定理2136若区域D为关于原点对称，其中D3为D中关于原点对称的右侧。当为奇函数即时，有,F,YXFXF0,DXYF当为偶函数即时，有,YXF,FF32DDDXYD推论1设D是有界平面区域，函数在平面内连续，且D关于X轴、Y轴对,F称，则（1）若函数关于变量X、Y都是偶函数，则,YXF，1,4,DDDDYXF0,1D（2）若函数关于其中一个变量X或者变量Y为奇函数，则,YXF0,DYXF为方便叙述，以下为轮换对称性的定理和定义定理2157设函数在XOY平面上的有界区域D上连续，且D关于X,Y,YXF存在轮换对称性，则DDDFD）,定义2147设D为一有界可度量平面区域（或光滑平面曲线段），若，则称区域D（或光滑平面曲线段）关于X,Y具有轮换对称性。XYX,例212设区域D由X0,Y0,XY1围城，求DDYFXBAI解由题意得，变量X,Y互换，积分区域区域D不变则DDYFXBADYFXBAI所以41212121BABADDBADYFXFBAFIDD22对称性在三重积分计算中的应用三重积分应用对称性定理如下定理2218设函数是定义在空间有界闭区间区域上的连续函数，且,ZYXF关于坐标平面对称，则0X（1）若是关于变量的奇函数，则；,ZYF0,DVZYXF（2）若是关于变量的偶函数，则。X1,2DVZYXF其中是的前半部分，10,1XZY同理可写出关于坐标平面对称时的情形0或相似于二重积分，得出结论定理222设函数为定义在空间有界区域的连续函数，且关于原点,ZYXF对称，则（1）若，则,FF,ZYX0,DVZYXF（2）若，则,ZFYZXF,321,2,2,ZYXFDVZYXFDVXDVY，0,1XZY0,2YZX0,3ZYX类似于二重积分，为方便叙述，三重积分轮换对称性的定理与定义如下定理2227设函数F（X,Y,Z是定义在空间有界区域上的连续函数，且关于变量X,Y,Z具有轮换对称性，则DVYXZFDVXZYFDVZYXF,定义2217设是一个有界可度量的集合体（可为空间区域、空间曲线或曲面块），且它的边界光滑，若，则称关于变,YXZXZYZX，（量具有轮换对称性。ZYX,例222计算三重积分，XYZDV422ZYX解有题意知，关于为奇函数，由上述定理知,0XYZDV3对称性在曲线积分计算中的应用31对称性在第一类曲线积分中的应用平面上第一类曲线积分的对称性定理定理31110设平滑分段光滑曲线关于轴（或轴）对称，且在上LYX,YXFL有定义、可积，则（1）若为关于（或）的奇函数，则；,YXFXY0,LDSF（2）若为关于（或）的偶函数，则，1,2LDSYXFYX0,1YXLY或例311设L是圆周，求解1222RLDSYXI32（解，因为关于轴、轴对称，且关于变量和是偶函LDSYXI322XXY数，由上述推论可得为位于第一象限的部分。124LX1又因为3020222411RDXDRDSXRRL故314当曲线关于原点对称时，相关定理如下定理31211设平面分段光滑曲线关于原点对称，且在L上有定义、可L,YXF积，则（1）若0,LDSYXFYXFYXF则）（是的上半平面或右半平面部分。1L曲线的轮换对称性定理如下定理313设平面分段光滑曲线关于存在轮换对称性，在上有定LYX,YXFL义且可积，则DSYXFSYXFLL,32对称性在第二类曲线积分计算中的应用由第二类曲线积分的物理背景为变力做功可知，它与曲线的方向相关，与上述积分对称性的几种结论不同，与第二类曲线积分相关结论如下。定理32112设为平面上分段光滑的定向曲线，为定义在上的L,YXQPL连续函数；（1）当关于轴对称时X若是关于的偶函数，则；,YP0,LDXY若是关于的奇函数，则1,2LDXYP若是关于的偶函数，则；,YXQ,LXYQ若是关于的奇函数，则1,LXYD轴上半部分在为XL1（2）当关于轴对称时Y若是关于的偶函数，则；,PX0,LDXYP若是关于的奇函数，则X1,2LDXY若是关于的偶函数，则；,YQX,LXYQ若是关于的奇函数，则X1,LXYD。轴右半部份在为YL1（3）当关于原点对称时若，关于为偶函数，则,XP,Q,YX0,DYXQYXPL若，关于为奇函数，则,Y,，是的上半或右半平面部分。DYXYXPDXXLL,2,11（1）（3）证明如下，（2）证明方法类似于（1），此处不做重复。证明（1）若关于轴对称，设，且令Y轴上方和下方的部分在分别是和XL21,则,2XFLXFY21122121,XXXLLLDXFPFDXFPDFPYYDY若为的偶函数，则,Y0,LY若为的奇函数，则,XP121,2,LXLDXYPFDPL1为L在X轴上方部分。21122121,XXXLLDFQFDXFFQFYDY若QX,Y为Y的奇函数，则0,LYX若QX,Y为Y的偶函数，则121,2,LXLDYXQDXFQDL1为L在X轴上方部分。（3）若关于原点对称时，令,分别为关于原点对称的两部分2121L、之一，则，21LLLDYPXQDYXDYP令的参数方程为，则的参数方程为1,TT,BA2，；,TYTX,BA则2,LBADTYTXQTTYXPQDYX如果PX,Y,QX,Y关于（X,Y是偶函数，则，12LLQYPX得到；0LDYX如果PX,Y,QX,Y关于（X,Y是奇函数，则，12LLDYXDYX得到。12LLQDYPXYXL1是L的右半或上半平面部分。综上所述，定理得证。例321求解第二类曲线积分，L是椭圆沿顺时针方向。LDYX212BYAX解因为于原点对称，已知，都是的偶函数，L2,P,Q,由上述定理知02DYX相应轮换对称性定理如下定理32212设是平面上分段光滑的定向曲线，是定义在上L,YXQPL的连续函数。若曲线关于具有轮换对称性，则YX,LLDDYX例322求解第二类曲线积分，沿逆时针方向。LDYX121解，已知关于轴对称,关于为偶函数LLLYXYXDD1222X2Y由上述定理易知，02L有题意知关于存在轮换对称性，由上述定理已知，YX,0122LLYXDYX则012LYXD4对称性在曲面积分计算中的应用41对称性在第一类曲面积分中的应用在第一类曲面积分中，与上述类似，可以利用积分区域的对称性（关于坐标面对称、原点对称、轮换对称）以及被积函数奇偶性，简化计算第一类曲面积分，相关定理如下。定理41113设分块光滑曲面关于坐标面对称，且在上有定0X,ZYXF义、可积，则1若是关于的奇函数，则，,ZYXFX,DSZYF2若是关于的偶函数，,F则11,21,2,2DSZYXFDXYZYXZFDSZYXDX其中0,1同理得出曲面关于坐标面对称的相应结论。0YX或例411求解第一类曲面积分，是球面上DSZYX22AZYX部分0AHZ解ZYDSXDSZYX因为曲面关于坐标面对称，且是关于的奇函数，由上定理知0X0XDS因为曲面关于坐标面对称，且是关于的奇函数，由上定理知YYY又因为，12222HADXAXAZDSD则0HHYX第一类曲面积分轮换对称性的定理如下定理41212设分片光滑曲面关于存在轮换对称性，并且在ZYX,ZYXF上有定义且可积，即DSYXFDSFDSZYXF,例412求第一类曲面积分，为。SZYX264322Z解由题意知关于有轮换对称性，则SZYX,SSSYSSSDXZDDZYX222444则108931222262444224SSSSDZYXDZYXDSYXZXZYX42对称性在第二类曲面积分运算中的应用第二类曲面积分类似于第二类曲线积分，根据其定义及物理背景，推导出对称性在第二类曲面积分中的结论。定理42114设积分曲面光滑或分段光滑，且，曲面和的法2112线方向相反，若曲面、关于平面对称，则12XOY（1）若，则；,ZRZYX0,DXYZR（2）若,则，为的YXDXYZR,21的部分。0Z轮换对称性定理在第二类曲面积分中如下定理42213设积分曲面光滑或分段光滑，函数在曲面上有定义和,ZYXP可积，若积分曲面关于有轮换对称性，则ZYX,DYXZPDPDYZXP,小结通过上述相关定理、定义的陈述和证明，我们可以把与积分相关的对称性统一成一个形式。现将被积函数用表示，积分区域记为，在区域上在的积分记为PFPF，相关定理如下。DPF）定理15设是定义为上的连续函数，且具有某种对称性，记的对称F点为，则（1）若；0,DPFFPF则，有（2）若；为的一半。12F则，有1（3）。DFF（注上述定理在第二类曲线积分、第二类曲面积分领域中无效）5化积分区域为对称区域的几种方法以下是当积分区域不具有对称性时，可以用下面方法转化为具有对称性的区域。方法一重新划分区域，构造对称性当积分区域不对称时，可以将积分局域重新进行分割划分，使得每个小区域都具有对称性，从而在划分的每个小区域使用上述的方法进行运算求和。例51计算，其中D是由Y2X,Y2,X1围城的平面区域。DXYDI解为使用对称性简化计算，对整个区域D重新划分为和,是上12D1XY2方的部分，是直线下方的部分，易知关于轴对称，关于轴对称，2DXY21X关于和为奇函数。则YX,021DDDYDYDI方法二平移变换构造对称性当积分区域关于某条坐标轴平行时，可以通过平移坐标轴或积分区域，使得积分区域变为对称性区域，可以使得计算简化。例52求解，其中DDDXYXI22YX22解已知积分区域不存在对称性，平移变换，的方程变为，1Y12YX则，关于轴对称，是关于的奇函数，DDDXXYXI2122X2由定理211得，0DYI结束语求解积分过程中，可以通过使用轮换对称性、被积函数的奇偶性、积分区域的对称性来简化问题。在应用对称性简化积分计算时，被积表达式必须同时满足被积函数与积分区域两个方面的条件。本文总结了几类积分领域的的对称性定理，以及在这几个方面的应用形式。对于不能直接运用对称性简化积分运算的，也介绍了几种将非对称性变换为对称性求解的方法。参考文献1华东师范大学数学系编。数学分析上册M北京高等教育出版社。19912程希旺对称心在曲面积分和曲线积分计算中的应用J200710）3华东师范大学数学系编。数学分析下册M北京高等教育出版社。19914华东六省工科数学系列编委会高等数学学习指导书M沈阳科学技术出版社19915孙钦福二重积分的对称性定理及应用曲阜师范大学学报J2008299106孙仁华二重积分计算中的若干技巧J湖南冶炼职业技术学院学报20088（2）1021047陈云新轮换对称性在积分中的应用J高等数学研究2001（4）29318王宪杰对称区域上二重积分和三重积分的计算J牡丹江师范学院学报2007（4）65669梁应仙等对称性在三重积分计算中的应用J沈阳大学学报200315（4）10010110刘渭川利用对称性计算曲线积分与曲面积分J河南科学200624（6）81081211王慧等对称性在两类积分曲线积分中的应用J淮北师范大学学报2011（32）412刘富贵等利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法J武汉理工大学学报200630（6）13张霞关于曲面积分对称性的研究J安庆师范学院学报（自然科学版）200713（2）838614严水传关于对称性在积分计算中的应用补遗J高等数学研究2002（5）283115李久平广义对称性在积分计算中的应用工科数学200117（3）9799致谢我的该篇毕业论文是在邵毅书记的细心指导下完成的，邵书记和蔼的态度和博学的知识给了我很大的鼓舞和帮助，他认证严谨的态度和爱岗敬业的精神对我产生了深远的影响，在此我向他表示衷心的谢意感谢所有的老师，没有你们授予的知识的积累，我完成这篇论文的过程就不会有那么大的信心和动力。最后，我向所有评阅老师表达我衷心的感谢请删除以下内容，O_O谢谢THEORIGINOFTAXATIONINTHEUNITEDSTATESCANBETRACEDTOTHETIMEWHENTHECOLONISTSWEREHEAVILYTAXEDBYGREATBRITAINONEVERYTHINGFROMTEATOLEGALANDBUSINESSDOCUMENTSTHATWEREREQUIREDBYTHESTAMPTAXTHECOLONISTSDISDAINFORTHISTAXATIONWITHOUTREPRESENTATIONSOCALLEDBECAUSETHECOLONIESHADNOVOICEINTHEESTABLISHMENTOFTHETAXESGAVERISETOREVOLTSSUCHASTHEBOSTONTEAPARTYHOWEVER,EVENAFTERTHEREVOLUTIONARYWARANDTHEADOPTIONOFTHEUSCONSTITUTION,THEMAINSOURCEOFREVENUEFORTHENEWLYCREATEDSTATESWASMONEYRECEIVEDFROMCUSTOMSANDEXCISETAXESONITEMSSUCHASCARRIAGES,SUGAR,WHISKEY,ANDSNUFFINCOMETAXFIRSTAPPEAREDINTHEUNITEDSTATESIN1862,DURINGTHECIVILWARATTHATTIMEONLYABOUTONEPERCENTOFTHEPOPULATIONWASREQUIREDTOPAYTHETAXAFLATRATEINCOMETAXWASIMPOSEDIN1867THEINCOMETAXWASREPEALEDINITSENTIRETYIN1872INCOMETAXWASARALLYINGPOINTFORTHEPOPULISTPARTYIN1892,ANDHADENOUGHSUPPORTTWOYEARSLATERTHATCONGRESSPASSEDTHEINCOMETAXACTOF1894THETAXATTHATTIMEWASTWOPERCENTONINDIVIDUALINCOMESINEXCESSOF4,000,WHICHMEANTTHATITREACHEDONLYTHEWEALTHIESTMEMBERSOFTHEPOPULATIONTHESUPREMECOURTSTRUCKDOWNTHETAX,HOLDINGTHATITVIOLATEDTHECONSTITUTIONALREQUIREMENTTHATDIRECTTAXESBEAPPORTIONEDAMONGTHESTATESBYPOPULATIONPOLLOCKVFARMERSLOANTHEEXPLANATIONOFTHETAXREFORMACTOF1986WASMORETHANTHIRTEENHUNDREDPAGESLONGPUBL99514,OCT22,1986,100STAT2085COMMERCECLEARINGHOUSE,APUBLISHEROFTAXINFORMATION,RELEASEDAVERSIONOFTHEINTERNALREVENUECODEINTHEEARLY1990STHATWASFOURTIMESTHICKERTHANITSVERSIONIN1953CHANGESTOTHETAXLAWSOFTENREFLECTTHETIMESTHEFLATTAXOF1913WASLATERREPLACEDWITHAGRADUATEDTAXAFTERTHEUNITEDSTATESENTEREDWORLDWARI,THEWARREVENUEACTOF1917IMPOSEDAMAXIMUMTAXRATEFORINDIVIDUALSOF67PERCENT,COMPAREDWITHARATEOF13PERCENTIN1916IN1924SECRETARYOFTHETREASURYANDREWWMELLON,SPEAKINGTOCONGRESSABOUTTHEHIGHLEVELOFTAXATION,STATED,THEPRESENTSYSTEMISAFAILUREITWASANEMERGENCYMEASURE,ADOPTEDUNDERTHEPRESSUREOFWARNECESSITYANDNOTTOBECOUNTEDUPONASAPERMANENTPARTOFOURREVENUESTRUCTURETHEHIGHRATESPUTPRESSUREONTAXPAYERSTOREDUCETHEIRTAXABLEINCOME,TENDTODESTROYINDIVIDUALINITIATIVEANDENTERPRISE,ANDSERIOUSLYIMPEDETHEDEVELOPMENTOFPRODUCTIVEBUSINESSWAYSWILLALWAYSBEFOUNDTOAVOIDTAXESSODESTRUCTIVEINTHEIRNATURE,ANDTHEONLYWAYTOSAVETHESITUATIONISTOPUTTHETAXESONAREASONABLEBASISTHATWILLPERMITBUSINESSTOGOONANDINDUSTRYTODEVELOPCONSEQUENTLY,THEREVENUEACTOF1924REDUCEDTHEMAXIMUMINDIVIDUALTAXRATETO43PERCENTREVENUEACTS,JUNE2,1924,CH234,43STAT253IN1926THERATEWASFURTHERREDUCEDTO25PERCENTTHEREVENUEACTOF1932WASTHEFIRSTTAXLAWPASSEDDURINGTHEGREATDEPRESSIONREVENUEACTS,JUNE6,1932,CH209,47STAT169ITINCREASEDTHEINDIVIDUALMAXIMUMRATEFROM25TO63PERCENT,ANDREDUCEDPERSONALEXEMPTIONSFROM1,500TO1,000FORSINGLEPERSONS,ANDFROM3,500TO2,500FORMARRIEDCOUPLESTHENATIONALINDUSTRIALRECOVERYACTOF1933NIRA,PARTOFPRESIDENTFRANKLINDROOSEVELTSNEWDEAL,IMPOSEDAFIVEPERCENTEXCISETAXONDIVIDENDRECEIPTS,IMPOSEDACAPITALSTOCKTAXANDANEXCESSPROFITSTAX,ANDSUSPENDEDALLDEDUCTIONSFORLOSSESJUNE16,1933,CH90,48STAT195THEREPEALIN1933OFTHEEIGHTEENTHAMENDMENT,WHICHHADPROHIBITEDTHEMANUFACTUREANDSALEOFALCOHOL,BROUGHTINANESTIMATED90MILLIONINNEWLIQUORTAXESIN1934THESOCIALSECURITYACTOF1935PROVIDEDFORAWAGETAX,HALFTOBEPAIDBYTHEEMPLOYEEANDHALFBYTHEEMPLOYER,TOESTABLISHAFEDERALRETIREMENTFUNDOLDAGEPENSIONACT,AUG14,1935,CH531,49STAT620THEWEALTHTAXACT,ALSOKNOWNASTHEREVENUEACTOF1935,INCREASEDTHEMAXIMUMTAXRATETO79PERCENT,THEREVENUEACTSOF1940AND1941INCREASEDITTO81PERCENT,THEREVENUEACTOF1942RAISEDITTO88PERCENT,ANDTHEINDIVIDUALINCOMETAXACTOF1944RAISEDTHEINDIVIDUALMAXIMUMRATETO94PERCENTTHEPOSTWORLDWARIIREVENUEACTOF1945REDUCEDTHEINDIVIDUALMAXIMUMTAXFROM94PERCENTTO91PERCENTTHEREVENUEACTOF1950,DURINGTHEKOREANWAR,REDUCEDITTO844PERCENT,BUTITWASRAISEDTHENEXTYEARTO92PERCENTREVENUEACTOF1950,SEPT23,1950,CH994,STAT906ITREMAINEDATTHISLEVELUNTIL1964,WHENITWASREDUCEDTO70PERCENTTHEREVENUEACTOF1954REVISEDTHEINTERNALREVENUECODEOF1939,MAKINGMAJORCHANGESTHATWEREBENEFICIALTOTHETAXPAYER,INCLUDINGPROVIDINGFORCHILDCAREDEDUCTIONSLATERCHANGEDTOCREDITS,ANINCREASEINTHECHARITABLECONTRIBUTIONLIMIT,ATAXCREDITAGAINSTTAXABLERETIREMENTINCOME,EMPLOYEEDEDUCTIONSFORBUSINESSEXPENSES,ANDLIBERALIZEDDEPRECIATIONDEDUCTIONSFROM1954TO1962,THEINTERNALREVENUECODEWASAMENDEDBY183SEPARATEACTSIN1974THEEMPLOYEERETIREMENTINCOMESECURITYACTERISACREATEDPROTECTIONSFOREMPLOYEESWHOSEEMPLOYERSPROMISEDSPECIFIEDPENSIONSOROTHERRETIREMENTCONTRIBUTIONSPUBLNO93406,SEPT2,1974,88STAT829ERISAREQUIREDTHATTOBETAXDEDUCTIBLE,THEEMPLOYERSPLANCONTRIBUTIONMUSTMEETCERTAINMINIMUMSTANDARDSASTOEMPLOYEEPARTICIPATIONANDVESTINGANDEMPLOYERFUNDINGERISAALSOAPPROVEDTHEUSEOFINDIVIDUALRETIREMENTACCOUNTSIRASTOENCOURAGETAXDEFERREDRETIREMENTSAVINGSBYINDIVIDUALSTHEECONOMICRECOVERYTAXACTOF1981ERTAPROVIDEDTHELARGESTTAXCUTUPTOTHATTIME,REDUCINGTHEMAXIMUMINDIVIDUALRATEFROM70PERCENTTO50PERCENTPUBLNO9734,AUG13,1981,95STAT172THEMOSTSWEEPINGTAXCHANGESSINCEWORLDWARIIWEREENACTEDINTHETAXREFORMACTOF1986THISBILLWASSIGNEDINTOLAWBYPRESIDENTRONALDREAGANANDWASDESIGNEDTOEQUALIZETHETAXTREATMENTOFVARIOUSASSETS,ELIMINATETAXSHELTERS,ANDLOWERMARGINALRATESCONSERVATIVESWANTEDTHEACTTOPROVIDEASINGLE,LOWTAXRATETHATCOULDBEAPPLIEDTOEVERYONEALTHOUGHTHISSINGLE,FLATRATEWASNOTINCLUDEDINTHEFINALBILL,TAXRATESWEREREDUCEDTO15PERCENTONTHEFIRST17,850OFINCOMEFORSINGLESAND29,750FORMARRIEDCOUPLES,ANDSETAT28TO33PERCENTONREMAININGINCOMEMANYDEDUCTIONSWEREREPEALED,SUCHASADEDUCTIONAVAILABLETOTWOINCOMEMARRIEDCOUPLESTHATHADBEENUSEDTOAVOIDTHE“MARRIAGEPENALTY“AGREATERTAXLIABILITYINCURREDWHENTWOPERSONSFILEDTHEIRINCOMETAXRETURNASAMARRIEDCOUPLERATHERTHANASINDIVIDUALSALTHOUGHTHEPERSONALEXEMPTIONEXCLUSIONWASINCREASED,ANEXEMPTIONFORELDERLYANDBLINDPERSONSWHOITEMIZEDEDUCTIONSWASREPEALEDINADDITION,ASPECIALCAPITALGAINSRATEWASREPEALED,ASWASANINVESTMENTTAXCREDITTHATHADBEENINTRODUCEDIN1962BYPRESIDENTJOHNFKENNEDYTHEOMNIBUSBUDGETRECONCILIATIONACTOF1993,THEFIRSTBUDGETANDTAXACTENACTEDDURINGTHECLINTONADMINISTRATION,WASVIGOROUSLYDEBATED,ANDPASSEDWITHONLYTHEMINIMUMNUMBEROFNECESSARYVOTESTHISLAWPROVIDEDFORINCOMETAXRATESOF15,28,31,36,AND396PERCENTONVARYINGLEVELSOFINCOMEANDFORTHETAXATIONOFSOCIALSECURITYINCOMEIFTHETAXPAYERRECEIVESOTHERINCOMEOVERACERTAINLEVELIN2001CONGRESSENACTEDAMAJORINCOMETAXCUTATTHEURGINGOFPRESIDENTGEORGEWBUSHOVERTHECOURSEOF11YEARSTHELAWREDUCESMARGINALINCOMETAXRATESACROSSALLLEVELSOFINCOMETHE36PERCENTRATEWILLBELOWEREDTO33PERCENT,THE31PERCENTRATETO28PERCENT,THE28PERCENTRATETO25PERCENTINADDITION,ANEWBOTTOM10PERCENTRATEWASCREATEDSINCETHEEARLY1980S,AFLATRATETAXSYSTEMRATHERTHANTHEGRADUATEDBRACKETEDMETHODHASBEENPROPOSEDTHEGRADUATEDBRACKETEDMETHODISTHEONETHATHASBEENUSEDSINCEGRADUATEDTAXESWEREINTRODUCEDTHEPERCENTAGEOFTAXDIFFERSBASEDONTHEAMOUNTOFTAXABLEINCOMETHEFLATRATESYSTEMWOULDIMPOSEONERATE,SUCHAS20PERCENT,ONALLINCOMEANDWOULDELIMINATESPECIALDEDUCTIONS,CREDITS,ANDEXCLUSIONSDESPITEFIRMSUPPORTBYSOME,THEFLATRATETAXHASNOTBEENADOPTEDINTHEUNITEDSTATESREGARDLESSOFTHECHANGESMADEBYLEGISLATORSSINCE1913,THEBASICFORMULAFORCOMPUTINGTHEAMOUNTOFTAXOWEDHASRE