贝塞尔曲线和B样条曲线

1、;. 4.3 贝塞尔曲线和 b 样条曲线在前面讨论的 抛物样条和三次参数样条曲线，他们的共同特点是：生成的曲线通过所有给定的型值点。我们称之为“点点通过”。但在实际工作中，往往给出的型值点并不是十分精确，有的点仅仅是出于外观上的考虑。在这样的前提下，用精确的插值方法去一点点地插值运算就很不合算；另外，局部修改某些型值点，希望涉及到曲线的范围越小越好，这也是评价一种拟合方法好坏的指标之一。针对以上要求， 法国人 bezier 提出了一种参数曲线表示方法， 称之为贝塞尔曲线。后来又经 gorgon, riesenfeld 和 forrest 等人加以发展成为 b 样条曲线。一、 贝塞尔曲线贝塞尔曲

2、线是通过一组多边折线的各顶点来定义。在各顶点中，曲线经过第一点和最后一点，其余各点则定义曲线的导数、阶次和形状。 第一条和最后一条则表示曲线起点和终点的切线方向。1. 数学表达式n+1 个顶点定义一个n 次贝塞尔曲线，其表达式为：np(t)pi bi ,n (t )0 t 1i0pi (i0,1,2,., n) 为各顶点的位置向量，bi,n (t ) 为伯恩斯坦基函数bi, n (t )n!t i (1 t) n ii!( n1)!2. 二次贝塞尔曲线需要 3 个顶点，即 p0 , p1 , p2 ，将其代入曲线表达式：p(t )p0 b0, 2p1 b1,2p2 b2, 2;. .;.b0,

3、 22!t 0 (1t) 20(1t) 212t t 20! (20)!b1,22!t 1 (1t) 2 12t (1t)2t2t 21!( 2 1)!b2, 22!t 2 (1t) 22t 22! (2 2)!p(t ) (12tt 2 ) p0(2t2t 2 ) p1t 2 p2121p0t 2t 1 220p10 t 1100p2p (t )2(t 1) p02(1 2t ) p12tp 2p (0)2 p02 p12( p1p0 )p(0)p0p (1)2 p12 p22( p2p1 )p(1)p2当 t 1 时：2111111111p2(1 224) p0( 2224) p14 p2

4、4 p02 p14 p21 p11 ( p0p2 )22p12(11) p0 2(121) p121p2 p2 p02222;. .;.3. 三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线需要4 个点，即 p0 、 p1 、 p2 、 p3 。p(t)p0 b0,3 (t )p1 b1,3 (t)p2 b2 ,3 (t )p3 b3 ,3 (t)其中： b0 ,33!0)!t 0(1t ) 30(1t) 313t 3t 2t 30! (3b1,33!1)!t1(1 t ) 3 13t(1t )23t6t 23t 31! (3b2 ,33!2)!t 2(1t )323t 2 (1t )13t 23t 32!(3b

5、3,33!3)!t 3(1t )33t 33! (3p(t )(13t3t 2t 3 ) p0(3t6t 23t 3 ) p1(3t 23t 3 ) p2 t 3 p31331p0p(t) t 3t 2t13630p10 t13300p21000p3贝塞尔曲线特点：1.n 个顶点定义 n-1次曲线， 当顶点数较大时，拟合的曲线阶次太高。2. 任一顶点对整条曲线的形状都有关系，不利于局部修改。二、 b 样条曲线用 b 样条曲线基函数替代伯恩斯坦基函数。1. 数学表达式通常，给定 m+n+1个顶点 pi (i0,1, mn) 可以定义 m+1段 n 次参数函数 为：npi ,n (t)pi k f

6、k,n (t )（ 0t1）， (i0,1, m)k0其中 fk, n (t) 为 b 样条分段混合函数，形式为：;. .;.1 nkjj(t n k j )fk ,n (t )( 1)c n 1n! j0? 段数、次数 段数 =节点数 - 次数，每段曲线与 n+1 个点有关；? c mnm!n! (m n)!2. 二次 b 样条曲线n=2,k=0,1,2pi (t ) pi f0,npi 1f1,npi2 f2, n1 20jj(t 2 0j )2f0 ,n( 1)c 32! j01 (1) 03!(t2) 2( 1)13!(t 1)2( 1)23!t 220! (30)!1!(31)!2!

7、 (32)!1 (t 1)22f1,21 21( 1)jj(t21j )22 jc301 (1)03!(t1) 2(1)13!(t11)2 20!(30)!1! (31)!1(2t 22t1)2f2, 21 0jj(t2 2j )21( 1)03!t2122 j( 1)c321! (3t01)!2pi (t)1 (t1)2pi1 ( 2t 22t1) pi 11 t 2 pi2222pi (t)(t 1) pi( 2t 1) pi 1tp i 2p(0)1 ( pipi 1 )21p(1)( pi 1pi 2 )p (0)pi1pip (1)pi2pi 1;. .;.111p() p(0) p

8、(1) pi 1222p (1p(1) p(0)23. 三次 b 样条曲线n=3, k=0, 1, 2, 33pi (t )pik fk, 3 (t)f0,3 b0f1, 3 b1f2,3 b2f3, 3b3k0其中 fk, 31 nk (1) j c nj1 (tnkj ) n， bl(l0,1,2,3)称为特征多边形。3! j0f0 ,313( 1)jj(t 3j )33!c 4j01(1) 04!(t 3)3(1)14!(t2) 3(1) 24!(t 1) 3( 1) 34!t 360! (40)!1! (41)!2! (42)!3!( 43)!1(t 33t 23t1)61 2f1,3

9、(3! j 01 (1)61 (3t 361) j c 4j (t31j ) 304!(t2) 3( 1)14!(t 1)3( 1) 24!t 30!(40)!1!( 41)!2!(42)!6t24)1 1( 1)jj(t 3 2 j )3f2 ,3c 43! j01 (1) 04!(t 1) 3( 1) 14!t 3 60! (40)!1!(41)!;. .;.1(3t 33t 23t1)6f3,31 0( 1)jj(t33j )31(1)04!t3133! jc 460! (4t00)!6p(t)1(t 33t 23t1) b01(3t 36t 24) b11(3t 33t 23t1)1t

10、 366661331b0t3t2t13630b10t 113030b261410b3p (t )1(t 22t1)b01(3t 24t) b11(3t 22t1) b21t 2 b322221331b01b1t 2t12420b221010b3p(0)1( b04b1b2 )1b0b2)2b16(233p(1)1( b14b2b3 )1(b1b3)2b26323p (0)1(b2b0 )2p (1)1( b3b1 )2p (0)(b2b1 )( b0b1 )p (1)(b3b2 )(b1b2 )例 : 设 p0 (4,3) ， p1 (6,5) ， p2 (10,6) ， p3 (12,4) ，用以上四个点构造2 次 b 样条曲线。由 b 样条的定义可知， 4 个点可定义2 次 b 样条曲线 2 段：m+n+1=4 n=2 m+1=2pi ,2 (t)1 (t1)2 pi1 (2t 22t1) pi 11 t 2 pi 2222pi ,2 (t) a pib pi 1c pi 2;. .;.p0 ,2 (t)1(t1) 2p01(2t 22t1) p11t 2p2222p0 ,2