高三数学教案：排列、组合、二项式定理、概率与统计1

1、第 15 讲排列组合二项式定理和概率一、知 整合二、考 要求：1掌握分 数原理与分步 数原理，并能用它 分析和解决一些 的 用 .2理解排列的意 ，掌握排列数 算公式，并能用它解决一些 的 用 .3理解 合的意 ，掌握 合数 算公式和 合数的性 ，并能用它 解决一些 的 用 .4掌握二 式定理和二 展开式的性 ，并能用它 算和 明一些 的 .5了解随机事件的 生存在着 律性和随机事件概率的意 .6了解等可能性事件的概率的意 ，会用排列 合的基本公式 算一些等可能性事件的概率 .7了解互斥事件、相互独立事件的意 ，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式 算一些事件的概率.8会 算

2、事件在n 次独立重复 中恰好 生k 次的概率 .、随机事件的概率例 1某商 行 提供的密 有0， 1，2， 9 中的 6 个数字 成 .(1) 某人随意按下 6 个数字，按 自己的 蓄卡的密 的概率是多少？(2) 某人忘 了自己 蓄卡的第 6 位数字，随意按下一个数字 行 ，按 自己的密 的概率是多少？解 （ 1） 蓄卡上的数字是可以重复的，每一个6 位密 上的每一个数字都有0， 1， 2，9 这 10 种，正确的 果有 1 种，其概率 1，随意按下 6 个数字相当于随意按下 106 个，1061 .随意按下 6 个数字相当于随意按下 106 个密 之一，其概率是106(2) 以 人 自己的

3、蓄卡上的密 在前5 个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能性的 果 0， 1，2， 9 这 10 种，正确的 果有1 种，其概率 1 .10例 2一个口袋内有m个白球和 n 个黑球， 从中任取 3 个球， 这 3 个球恰好是2 白 1 黑的概率是多少？（用 合数表示）解 事件 i 是“从 m个白球和 n 个黑球中任 3 个球”，要 集合 i 1，事件 a 是“从 m个白球中任 2 个球，从 n 个黑球中任 一个球” ，本 是等可能性事件 ， 且 card(i 1)=cm3n ,card ( a) cm2 cn1 ，于是 p(a)= card ( a)cm2 cn1.card ( i1 )cm

4、3n、互斥事件有一个 生的概率例 3 在 20 件 品中有 15 件正品， 5 件次品，从中任取3 件，求：（1）恰有 1 件次品的概率； （ 2）至少有 1 件次品的概率 .解 （ 1）从 20 件 品中任取3 件的取法有 c203，其中恰有 1 件次品的取法 c152c51。恰有一件次品的概率p= c152c5135 .c20376第- 1 -页共 8页(2) 法一 从 20 件产品中任取3 件，其中恰有 1 件次品为事件 a1, 恰有 2 件次品为事件 a2，3 件全是次品为事件 a3, 则它们的概率p(a1)=c152c51= 105 ,p( a2 )c52c1512,p( a3 )c

5、532,c203228c203228c203228而事件 a1、a2 、a3 彼此互斥，因此3 件中至少有1 件次品的概率p(a +a +a )=p(a )+p(a )+p(a )=137.123123228法二 记从 20 件产品中任取3 件， 3 件全是正品为事件a，那么任取3 件，至少有1 件次3品为 a ，根据对立事件的概率加法公式p( a )= 1p( a)1c15137c203228例 4 1 副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块 4 种花色，每种 13 张，共 52 张，从 1 副洗好的牌中任取 4 张，求 4 张中至少有 3 张黑桃的概率 .解 从 52 张牌中任取 4 张，有 c

6、524 种取法 .“ 4 张中至少有 3 张黑桃”，可分为“恰有 3 张黑桃”和“ 4 张全是黑桃” ，共有 c133 c391c134 种取法c133 c391c134c524注研究至少情况时，分类要清楚。、相互独立事件同时发生的概率例 5猎人在距离 100米处射击一野兔，其命中率为0.5 ，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离150米 . 如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米 .已知猎人的命中概率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率 .a， b， c，其中11p( a)k解记三次射击依次为事件p( a), 由2 ，求得 k=5000。50

7、002 , p(c)5000122100p(b), 命中野兔的概率为1502920028p(a)p(ab)p( ab c )p( a)p( a) p( b)p( a)p(b) p(c )112(11)(12195(1)2)8.2299144例 6 要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05 ，而乙机床废品率为 0.1 ，而它们的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：（1）其中至少有一件废品的概率；（ 2）其中至多有一件废品的概率.解：设事件 a 为“从甲机床抽得的一件是废品”； b 为“从乙机床抽得的一件是废品”.则 p（ a） =0.05, p(b)=0.1,（ 1）至少有

8、一件废品的概率p( ab)1p( ab)1p( a) p( b)10.950.900.145（ 2）至多有一件废品的概率pp( a ba ba b)0.050.90.950.10.950.90.995第- 2 -页共 8页、概率内容的新概念 多，本 就学生易犯 作如下 ： 型一“非等可能 ”与 “等可能 ”混同例 1 两枚骰子，求所得的点数之和 6 的概率 解 两枚骰子出 的点数之和2 ，3， 4， ，12 共 11 种基本事件，所以概率 p= 111剖析以上 11 种基本事件不是等可能的，如点数和2 只有 (1， 1)，而点数之和 6 有 (1， 5)、(2， 4)、 (3， 3)、 (4，

9、 2)、 (5， 1)共 5 种事 上， 两枚骰子共有36 种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和 6”的概率 p= 5 36 型二“互斥 ”与 “ 立 ”混同例 2把 、黑、白、 4 牌随机地分 甲、乙、丙、丁4 个人，每个人分得1 ，事件“甲分得 牌”与“乙分得 牌”是（）a 立事件b不可能事件c互斥但不 立事件d以上均不 解a剖析本 的原因在于把 “互斥 ”与 “ 立”混同，二者的 系与区 主要体 在：(1)两事件 立，必定互斥，但互斥未必 立； (2)互斥概念适用于多个事件，但 立概念只适用于两个事件； (3)两个事件互斥只表明 两个事件不能同 生，即至多只能 生其中一个，但可以

10、都不 生；而两事件 立 表示它 有且 有一个 生事件 “甲分得 牌 ”与 “乙分得 牌 ”是不能同 生的两个事件， 两个事件可能恰有一个 生，一个不 生，可能两个都不 生，所以 c 型三“互斥 ”与 “独立 ”混同例 3甲投 命中率 o8，乙投 命中率 0.7，每人投 3 次，两人恰好都命中2 次的概率是多少 ? 解设 “甲恰好投中两次” 事件 a，“乙恰好投中两次” 事件 b， 两人都恰好投中两次 事件 a+b，p(a+b)=p(a)+p(b)：c32 0.820.2c32 0.7 20.30.825剖析本 的原因是把相互独立同 生的事件当成互斥事件来考 ，将两人都恰好投中 2 次理解 “甲

11、恰好投中两次 ”与 “乙恰好投中两次 ”的和 互斥事件是指两个事件不可能同 生；两事件相互独立是指一个事件的 生与否 另一个事件 生与否没有影响，它 然都描 了两个事件 的关系，但所描 的关系是根本不同解：设 “甲恰好投中两次” 事件 a， “乙恰好投中两次” 事件b，且 a， b 相互独立， 两人都恰好投中两次 事件ab，于是 p(ab)=p(a) p(b)= 0.169四、高考 1甲、乙二人参加普法知 ，共有10 个不同的 目，其中 6 个，判断 4 个，甲、乙二人依次各抽一 .（）甲抽到 、乙抽到判断 的概率是多少？（）甲、乙二人中至少有一人抽到 的概率是多少？(2000 年新 程卷 )

12、第- 3 -页共 8页2 如图 ,用 a 、 b 、 c 三类不同的元件连接成两个系统n1、 n2 .当元件 a 、 b、 c 都正常工作时 ,系统 n 1 正常工作；当元件a 正常工作且元件b 、c 至少有一个正常工作时,系统 n2 正常工作 .已知元件a 、 b、 c 正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90.分别求系统n1 、n 2 正常工作的概率p1、 p2.(2001 年新课程卷 )3某单位 6 个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）.（）求至少3 人同时上网的概率；（）至少几人同时上网的概率小于0.3？(2002 年新课程卷 )4有三种产品，合格

13、率分别是0.90， 0.95 和 0.95，各抽取一件进行检验.（）求恰有一件不合格的概率；（）求至少有两件不合格的概率.（精确到 0.001） (2003 年新课程卷 )5. 从 10 位同学（其中 6 女， 4 男）中随机选出 3 位参加测验 .每位女同学能通过测验的概率均为 4，每位男同学能通过测验的概率均为3.试求：55（）选出的 3 位同学中，至少有一位男同学的概率；（） 10 位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.(2004 年全国卷 )解：本小题主要考查组合，概率等基本概念，独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知识解决实际问题的能力，满分12 分 .第- 4 -

14、页共 8页解：（）随机 出的3 位同学中，至少有一位男同学的概率 1c635；6 分c1036（）甲、乙被 中且能通 的概率 c81434 . ； 12 分c103551256. 已知 8支球 中有 3支弱 ,以抽 方式将 8 支球 分 a、 b 两 ,每 4 支 .求：（） a、 b 两 中有一 恰有两支弱 的概率；（） a 中至少有两支弱 的概率 .(2004年全国卷 )解：（）解法一：三支弱 在同一 的概率 c51c511.c84c847故有一 恰有两支弱 的概率 116 .77解法二：有一 恰有两支弱 的概率c32c52c32 c526.c84c847（）解法一： a 中至少有两支弱

15、的概率c32c52c33 c511c84c842解法二： a、 b 两 有一 至少有两支弱 的概率 1，由于 a 和 b 来 ，至少有两支弱 的概率是相同的，所以a 中至少有两支弱 的概率 1 .27.某同学参加科普知 ，需回答3 个 . 定：答 第一、二、三 分 得100 分、 100 分、 200 分，答 得零分.假 名同学答 第一、二、三个 的概率分别为 0.8、 0.7、 0.6，且各 答 与否相互之 没有影响.（）求 名同学得300 分的概率；（）求 名同学至少得300 分的概率 .(2004 年全国卷 )8. 从 4 名男生和 2 名女生中任 3 人参加演 比 . （）求所 3 人

16、都是男生的概率；（）求所 3 人中恰有 1 名女生的概率；（）求所 3 人中至少有 1 名女生的概率 . (2004 年天津卷 )第- 5 -页共 8页9. 某地区有 5 个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的） . 假定工厂之间的选择互不影响 .（）求 5 个工厂均选择星期日停电的概率；（）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率.(2004年浙江卷 )10.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10 道试题中，甲能答对其中的6 题，乙能答对其中的8 题 .规定每次考试都从备选题中随机抽出3 题进行测试，至少答对2题才算合格 .（）分别求甲、乙两人

17、考试合格的概率；（）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.(2004 年福建卷 )11. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙1机床加工的零件不是一等品的概率为,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件4不是一等品的概率为1,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为2.129（）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；（）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.(2004 年湖南卷 )12. 为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用第- 6 -页共 8页甲、乙、丙、丁预防措施后

18、此突发事件不发生的概率（记为p）和所需费用如下:预防措施甲乙丙丁p0.90.80.70.6费用（万元）90603010预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120 万元的前提下 ,请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.(2004 年湖北卷 )解：方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过120 万元 . 由表可知，采用甲措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.9.方案 2：联合采用两种预防措施，费用不超过120 万元，由表可知. 联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为1 (1 0.9)(1 0.7)=0.97.方法

19、3：联合采用三种预防措施， 费用不超过 120 万元，故只能联合乙、 丙、丁三种预防措施，此时突发事件不发生的概率为 1（ 1 0.8 ）(1 0.7)(1 0.6)=1 0.024=0.976.综合上述三种预防方案可知，在总费用不超过120 万元的前提下，联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大.13. 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6 和 0.5.（）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标概率；（）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率.(2004 年重庆卷 )14从数字1， 2，3，4， 5，中，随机抽取3

20、 个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9 的概率为（ d）a 13b 16c 18d 1912512512512515（本小题满分 12 分）一接待中心有a、b、 c、 d四部热线电话，已知某一时刻电话a、 b 占线的概率均为 0.5 ，电话 c、d 占线的概率均为 0.4 ，各部电话是否占线相互之间没有影响. 假设该时刻有部电话占线 . 试求随机变量的概率分布和它的期望.解：本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念. 考查运用概率知识解决实际问题的能力 . 满分 12 分 .22解： p( =0)=0.5 0.6=0.09.p( =1)= c 21 0.520.6 2+c21 0.520.4 0.6 =0.3p( =2)=c 2222222