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文档简介

1、习题课,设 是两个随机变量，如果对任意一组实数 ，使得,是一个随机事件，则称为二维随机变量。,为二维随机变量 的联合分布函数。,相应地，称,一、内容概要,1、二维随机变量及联合分布,为 分别关于 和 的边缘分布函数。,称,2、二维离散随机变量的概率分布,为 的联合分布列或分布列。,称,分别为关于 和 的边缘分布列。,3、二维连续随机变量的概率密度,设二维随机变量 的分布函数 ，如果存在一非负可积二元函数 ，使对任意实数 有,则称 是二维连续型随机变量，相应的二元函数 称为 的联合密度。它具有以下性质：,（3）在 的连续点，有,（4）对平面上的任意区域,（5） 和 的边缘密度函数分别为,4、二维

2、均匀分布和正态分布,设 是平面上的有界区域，其面积为 。若二维随机变量 具有概率密度,则称 在 上服从二维均匀分布。,若二维随机变量 具有概率密度：,5、随机变量的独立性与条件分布,设 是两个随机变量，若对任意实数 有,则称 与 是相互独立的。,随机变量 和 相互独立的充分必要条件是：,连续型随机变量 与 相互独立的充分必要条件是：,离散型随机变量 与 相互独立的充分必要条件是：,同样，对一切使 的 y, 定义,为已知 Y=y下，X的条件密度函数 .,特别地，当 与 相互独立时，,上式称为 和 的卷积公式。,6、随机变量函数的分布,例1、 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:,求:(1)常

3、数a的取值;a=0.1 (2)P(X0,Y1); 0.6 (3) P(X1,Y1),解,(3)P(X1,Y1),=P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0),+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1),=0.75,二、常见例题精解,解：由于,根据联合分布与边缘分布列的关系，有：,所以(X，Y)的联合分布列如下表 ：,满足 的点为 它们对应的概率全为0，所以,例3、已知 的联合概率密度为：,（3）求 ； 。,，,解：（1）对于,所以,（3）,对于 ， 所以,例4、 设(X,Y),试求:(1)常数 A ;(2)P X2, Y1;,解 (1),(3)P(X,Y)D,其中D为 2x+3y6.,所以, A=6,=A/6,=1.,所以,P X2,Y1=,2,1,X2, Y1,(3)P(X,Y)D,其中D为 2x+3y6.,3,2,2x+3y=6,解：依题意,由卷积公式,i=0,1,2,j=0,1,2,由卷积公式,即Z服从参数为 的泊松分布.,r =0,1，,解,设 的分布函数为 ，概率密度,显然，当 时，,当 时，,从而所求概率密度为,为 ，则,即：,例7 设数X在区间(0,1)均匀分布，当观察到 X=x(0x1)时，数Y在区间(x,1)上随机地取值.求Y 的概率密度.,解：依题意，X具有概率密度,对于任意给定的值x(0x1

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