高三数学教案：数列的基本性质

1、数学 (第 二 轮 )专题 训 练第九讲 :数列的基本性质学校学号班级姓名知能目标1. 理解数列的概念 , 了解数列通项公式的意义 . 了解递推公式是给出数列的一种方法 ,并能根据递推公式写出数列的前几项 .2. 理解等差数列 , 等比数列的概念 , 掌握等差数列 , 等比数列的通项公式与前 n 项和公式 , 并能解决简单的问题 .综合脉络1. 知识网络2. 几点说明(1) 等差数列 (等比数列 )定义中 , 特别注意公差 (或公比 ) 与项的差 (或比 ) 的顺序不能颠倒 ,即 d anan 1 ( 或 qan )an 1(2) 等差中项与等比中项a b; 若 g 是 a、b 的等比中项 ,

2、. 若 a 是 a、b 的等差中项 , 则 a则 g 22a b(a b0) , 从而任意两个数都有惟一一个等差中项, 而只有任意两个同号的数才有等比中项 , 且都有正负两个 . 对于任一个等差数列 an 若 mn2p 则 ap 是 am 与 an的等差中项 , 即 a pa m an an 若 mn2p 则 a p 是 am 与 an 的; 对于任一个等比数列等比中项 , 即 ap22aman .(3) 证明一个数列 an 是等差 (或等比 )数列的方法有 :第1页共 6页 定 法 : 明 任意正整 n 均有 an1and 中 法 : 于一个数列 , 除了首 和末 (有 数列 )外 , 任何

3、一 都是它的前后两 的等差中 (或等比中 ), 即 anan1an 1 (或 a n2an 1an 1 ) 足 意的n 均成立 ;2ana1(n 1)d (或 anq n 1 通 公式法 : 明数列通 公式均能表示成a1)的形式(其中 q 0 ).(4) 数列是高考必考内容 , 没年一道 或一道填空 , 一道大 , 前者以考 性 主 ,后者是一道思 能力要求 高的 合 . 2000 年便有一道考 等比数列的概念和基本性 、推理和运算能力的 合 , 其特点是“可以下手, 思 能力要求 高,不易得 分”.01、02、03、04、05 五年的高考 (包括春考 ) 中均有 数列概念和性 的判断、推理及

4、 用 . 注意 种命 . 预测 2006 年关于数列部分 ,仍然是 易 合 , 有基本 型 , 合 型 , 用 型 ; 有个 型将会有新意:把数列知 和生活、 、 保等 密 合起来; 会出 有 意的 用型 目 .( 一 )典型例 解 :例 1.已知 角三角形的三 成等差数列, 公差 d1, 其最大角不超 120 , 最小 的取 范 是.例 2. 已知数列 an 的前 n 和 3n 2 2n 2 .取数列 an 的第 1 项 , 第 3 项 , 第 5 构造一个新数列 b n , 求数列 b n 的通 公式 .例 3. 已知 a n 是公比 q 的等比数列，且a1 , a3 ,a 2 成等差数列

5、 .（ 1）求 q 的 ；（ 2） bn 是以 2 首 ， q 公差的等差数列, 其前 n 和 sn , 当 n2 时 , 比 sn 与 b n 的大小 , 并 明理由 .第2页共 6页( 二 )专题测试与练习 :一.选择题1. 在项数为2n 1 的等差数列中 , 所有奇数项和与所有偶数项和之比为()2n12nn 1na.b.c.d.12n2n 1nn2.已知 x , y 为正实数 ,且 x、a1、a2、y 成等差数列 , x 、b1、b2、y 成等比数列 , 则(a1a2 ) 2b1b2的取值范围是()a. rb.(0, 4c. 4,)d. (,0 4,)3.数列 an 是公差不为零的等差数

6、列, 且 a7 ,a10 , a15 是某等比数列 bn 的连续三项 ,若 an 的首项为 b13,则 b n 是()a. 3 ( 5) n 1b. 3 ( 5) n 1c. 3 ( 5) n 1d.3 ( 2 )n 138334.已知 a、b、 c、 d 均为非零实数 ,则 adbc是 a, b, c, d 依次成为等比数列的()a. 充分非必要条件b. 必要非充分条件c. 充分且必要条件d. 既不充分也不必要条件5.在等比数列 an 中 ,若 a3 、 a 7 是方程 3x 211x90 的两根 , 则 a5 的值为()a. 3b. 3c.3d. 36.如果数列 an 是等差数列 , 则(

7、)a. a1a8a 4a5b. a1a8a4a5c. a1a8a4a5d. a1 a8a4 a5二.填空题7.等差数列 an 中 , a1a2a39 , a1a2 a315 , 则 a1, a n.8.设数列 an 是公比为整数的等比数列, 如果 a1a418 , a2 a312 , 那么 s 8.9.等比数列 an 中 , a1a515 , s45 , 则 a 4 .210.已知等差数列 an , a2a3a7a11a1245, 则 s13.三.解答题11.已知等差数列 an 中 , d1 ,ak31512,sk,求 a 和 k.22第3页共 6页12. 数列 an 的前 n 项和记为 sn

8、 , 已知 a1 1, an 1n 2 sn (n 1,2,3, )证明 : (1)数列 sn 是等比数列； (2) sn 1 4an .nn13. 等比数列同时满足下列三个条件:(1) a1 a6 11 (2) a3 a432(3) 三个数2a 2 , a32 , a44成等差数列 . 试求数列939 an 的通项公式 .第4页共 6页数列的基本性质解答( 一 )典型例题例 1a 5,4).2例 2s3n 22n 2 ans s6n 5, as 3nnn 111an3, n16n5, n 2a13,a 213,a525, a737,a 2n16(2n1) 512n 11bn3, n112n1

9、1, n2例 3(1)由题设 2a3a1a2 ,即 2a1q 2a1a1q,a10, 2q 2q 1 0.q 1或 1 .2(2)若 q 1,则 sn2nn(n1)1n 23n .22当 n2时 ,snbnsn 1(n 1)(n2)0.故 snb n .2n 2若 q1 ,则 sn2nn(n 1) ( 1)9n .2224当 n2时 ,snbnsn1(n1)(n 10) ,4故对于 nn,当2n9时, snbn ;当n10时,snbn ;当n11时 ,snbn .( 二 )专题测试与练习一.选择题题号123456答案ccabcb二.填空题7. 1或5 ,2n1或2n7;8. 510;9. 1;

10、10. 117 .三.解答题11.解 : aka1(k1) d3a11 (k1)a12k222ska1akk15k27k30 0k10.k3 (舍去 ), a132212.解 : 证（ 1）由 a11, an 1n2 sn (n1,2,3, ),n第5页共 6页21s24a1s1s2知22.a21s13a1 , 222,11s1又 ansn 1sn (n1,2,3,) ,11sn 1则 sn1snn 2sn(n1,2,3,), nsn 12(n 1)sn ,n12(1,2,3, ).nsn故数列 sn 是首 1,n公比 2的等比数列 .nsnsn 1sn 1 （ 2） 由（ i ）知 ,14(n2) ,于是 sn 1 4(n1)4an (n2)n1n1n1又 a23s13, ,则 s2a1a244a1 , 因此 于任意正整数n1都有 sn 14an .a11a13233a1a66132 或 a6113. 解 : a1a6a3 a4 ,a