第二章 导数与微分.ppt

1、经济数学教案,一、引出导数概念的实例,例1 平面曲线的切线斜率 曲线 的图像如图所示, 在曲线上任取两点 和 ，作割线 ，割线的斜率为,2.1 导数的概念,第2章 导数与微分,经济数学教案,这里 为割线MN的倾角，设 是切线MT的倾角， 当 时，点N沿曲线趋于点M。若上式的 极限存在，记为k，则此极限值k就是所求切线 MT的斜率，即,经济数学教案,当 趋向于0时，如果极限,设某产品的总成本C是产量Q的函数，即C=C(Q )，当产量Q 从 变到 时，总成本相应地改变量为 当产量从 变到 时，总成本的平均变化率,存在，则称此极限是产量为 时总成本的变化率。,例2 产品总成本的变化率,经济数学教案,

2、定义 设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义， 属于该邻域，记 若 存在，则称其极限值为y = f (x)在点x0 处的导数，记为,或,二、导数的定义,经济数学教案,导数定义与下面的形式等价：,若y =f (x)在x= x0 的导数存在，则称y=f(x)在点x0 处可导，反之称y = f (x)在x = x0 不可导，此时意味着不存在.函数的可导性与函数的连续性的概念都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映了函数在一点处变化(增大或减小)的快慢.,经济数学教案,左导数与右导数 左导数:,右导数:,显然可以用下面的形式来定义左、右导数,定理1 y = f (x)在x =x0可导的充分必要条件是

3、 y = f (x)在x=x0 的左、右导数存在且相等.,经济数学教案,经济数学教案,经济数学教案,例4 求函数 的导数 解: (1)求增量: (2)算比值: (3)取极限: 同理可得: 特别地, .,经济数学教案,类似 有,解 (1),(2),(3),即,经济数学教案,三、导数的几何意义,当自变量 从变化到 时，曲线y=f(x)上的点由 变到,此时 为割线两端点M0，M的横坐标之差，而 则为M0，M 的纵坐标之差，所以 即为过M0，M两点的割线的斜率.,经济数学教案,曲线y = f (x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲线y=f( x) 无限接近 时的极限位置M0P，因而当 时，割线斜

4、率的极限值就是切线的斜率.即：,所以，导数 的几何意义是曲线y = f (x) 在点M0(x0,f(x0)处的切线斜率.,M0,M,经济数学教案,设函数y=f(x)在点处可导，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为： 而当 时,曲线 在 的切线方程为,(即法线平行y轴).,当 时,曲线 在 的法线方程为,而当 时,曲线 在 的法线方程为,经济数学教案,例6 求曲线 在点 处的切线与法线方程. 解:因为 ,由导数几何意义,曲线 在点 的切线与法线的斜率分别为: 于是所求的切线方程为: 即 法线方程为:,即,经济数学教案,五、 可导性与连续性的关系,经济数学教案,经济数学教案,例7 证明函数 在x=

5、0处连续但不可导.,证 因为,所以 在x =0连续,而,即函数 在x=0处左右导数不相等,从而在,x=0不可导.,由此可见，函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件,即可导定连续,连续不一定可导.,经济数学教案,一 导数的四则运算法则,2.2 导数基本公式与运算法则,特别地,如果,可得公式,经济数学教案,注：法则（1）（2）均可推广到有限 多个可导函数的情形,例：设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点x处均 可导，则,经济数学教案,解：,例2 设,解：,例1,经济数学教案,解：,即,类似可得,例3 求y = tanx 的导数,经济数学教案,解：,即,类似可得,例4 求

6、y = secx 的导数,经济数学教案,二、 复合函数的导数,经济数学教案,例6,解：,解：,例5,经济数学教案,解：,例7,经济数学教案,证 因为 的反函数,或,反函数的求导法则,经济数学教案,因此在对应的区间（-1，1）内有,即,同理,经济数学教案,例9 求方程 所确定的函数的导数,解：,方程两端对x求导得,三、 隐函数的导数,隐函数即是由 所确定的函数，其求导方法就是把y看成x的函数，方程两端同时对x求导，然后解出 。,即,经济数学教案,例10,经济数学教案,解一,例11,经济数学教案,两边对x求导，由链导法有,解二称为对数求导法，可用来求幂指函数和多个因子连乘积函数、开方及其它适用于对

7、数化简的函数的求导,注：,解二,经济数学教案,两边对x求导得,例12,四、 对数求导法,经济数学教案,五、 基本导数公式表,经济数学教案,经济数学教案,n阶导数：,二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数,2.3 高阶导数,经济数学教案,解：,特别地,例2,解：,即,同理,例1,经济数学教案,一、 微分的概念,2.4 函数的微分,经济数学教案,所以上式可写成,经济数学教案,于是,（2.3.1)式可写成,记为,经济数学教案,于是函数,，称自变量的微分，,上式两端同除以自变量的微分，得,因此导数也称为微商,可微函数：如果函数在区间(a , b)内每一点都可微， 则称该函数在(a , b)内可微。,f (

8、x)在点x0 处的微分又可写成,f(x) 在(a,b)内任一点x处的微分记为,经济数学教案,解：,于是,面积的微分为,解：面积的增量,经济数学教案,二、 微分的几何意义,经济数学教案,三、 微分的运算法则,1. 微分的基本公式：,经济数学教案,续前表,经济数学教案,2. 微分的四则运算法则,设u=u(x)，v=v(x)均可微 ，则,（C 为常数）；,经济数学教案,3复合函数的微分法则,利用微分形式不变性，可以计算复合函数和隐 函数的微分.,而,经济数学教案,解：,解：对方程两边求导，得,即导数为,微分为,例1,经济数学教案,由以上讨论可以看出，微分与导数虽是两个 不同的概念，但却紧密相关，求出了导数便立即 可得微分，求出了微分亦可得导数，因此，通常 把函数的导数与微分的运算统称为微分法 在高等数