高三数学教案：函数的解析式及定义域

1、一课题： 函数的解析式及定义域二教学目标：掌握求函数解析式的三种常用方法：待定系数法、配凑法、换元法，能将一些简单实际问题中的函数的解析式表示出来；掌握定义域的常见求法及其在实际中的应用三教学重点：能根据函数所具有的某些性质或所满足的一些关系，列出函数关系式；含字母参数的函数，求其定义域要对字母参数分类讨论；实际问题确定的函数，其定义域除满足函数有意义外，还要符合实际问题的要求四教学过程：（一）主要知识：1函数解析式的求解；2函数定义域的求解（二）主要方法：1求函数解析式的题型有：（ 1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（ 2）已知 f (x) 求 f g ( x) 或已知 f g

2、( x) 求 f (x) ：换元法、配凑法；（ 3）已知函数图像，求函数解析式；（ 4） f ( x) 满足某个等式，这个等式除f ( x) 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（ 5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等2求函数定义域一般有三类问题：（ 1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；（ 2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；（ 3）已知 f(x) 的定义域求f g (x) 的定义域或已知f g( x) 的定义域求f ( x) 的定义域：掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函

3、数）的定义域；若已知 f (x) 的定义域a, b ，其复合函数 fg( x)的定义域应由 ag( x) b 解出（三）例题分析：例 1已知函数 f ( x)1x 的定义域为 a ，函数 yffx的定义域为 b ，则1x( a) a u b b(b) a b(c ) a b( d ) a i b b （ d）解法要点： ax | x1， yf f ( x)f (1x )f (12 )1 ，21x1xx1且 x1 ，故 bx | x 1 i x | x 0令 11 x1)1 ，求 f (x) ；例 2（ 1）已知 f ( xx3（ 2）已知 f ( 2 1)xx3lg x ，求 f ( x) ；

4、x（ 3）已知 f (x) 是一次函数，且满足3 f (x1)2 f ( x1)2x17 ，求 f (x) ；（ 4）已知 f (x) 满足 2 f ( x) f (13x ，求 f (x) )1 )1x1 )31 ) ，解：（ 1） f (xx3( x3(xxx3xx第1页共 4页 f ( x) x33x （ x2 或 x2 ）（ 2）令 21t （ t1），则 x2， f (t )lg2 ， f ( x)lg2( x 1) xt 1t1x1（ 3）设 f (x)axb(a0)，则 3 f (x1)2 f (x 1)3ax3a3b2ax2a2b axb5a2x17 ， a 2 ， b7 ，

5、f (x) 2x 7 （ 4）2 f (x)f ( 1)3x，把中的 x 换成1 ，得 2 f (1 )f (x)3，x31xxx 2 得 3 f ( x) 6xx， f (x) 2xx注：第（ 1）题用配凑法；第（2 ）题用换元法；第（ 3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（ 4）题用方程组法例 3设函数 f ( x)log 2x1log 2 (x 1)log 2 ( px) ，x1（ 1）求函数的定义域；（ 2）问 f (x) 是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由x1x01x1解：（ 1）由x1 0 ，解得xppx0当 p 1 时，不等式解集为；当 p1

6、时，不等式解集为x |1xp ， f (x) 的定义域为 (1, p)( p1)（ 2）原函数即f ( x)log 2( x1)( px)log 2(xp1)2( p1)2 ，当 p1241，即 1p3时，函数 f ( x) 既无最大值又无最小值；2p1当 1p ，即 p3 时，函数 f ( x) 有最大值 2log 2 ( p 1)2 ，但无最小值2例 4高考 a 计划考点 8，智能训练15：已知函数 yf (x) 是定义在 r 上的周期函数，周期 t5，函数 yf (x)( 1x 1) 是奇函数又知yf (x) 在 0,1上是一次函数，在 1,4上是二次函数，且在 x2 时函数取得最小值5

7、 证明： f (1)f (4)0 ；求 yf ( x), x1,4 的解析式；求yf ( x) 在 4,9 上的解析式解： f ( x) 是以 5 为周期的周期函数，f (4)f (45)f ( 1) ，又 yf (x)( 1x1) 是奇函数， f (1)f (1)f (4)， f (1)f (4)0 当 x1,4 时，由题意可设f (x)a( x2)25 ( a0) ，第2页共 4页由 f (1)f (4)0 得 a(12)25a(42) 250 ， a2 ， f (x)2( x2) 25(1x4) yf ( x)(1 x1) 是奇函数，f (0)0，又 知 yf ( x)在0,1上 是 一

8、 次 函 数 ， 可 设f ( x)kx (0 x1) ， 而f (1)2(12) 253， k3，当0x 1 时， f ( x)3x ，从而当1x0 时， f ( x)f (x)3x，故 1x 1时， f (x)3x 当 4x6 时，有1x5 1，f (x)f ( x5)3( x5)3x 15当 6x9 时， 1x 54 ， f ( x)f ( x5)2( x5)2252( x7) 25 f (x)3x15,4x62(x7) 25,6x9例 5我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的，某地用水收费的方法是：水费基本费超额费损耗费若每月用水量不超过最低限量 a

9、 m3 时，只付基本费8 元和每月每户的定额损耗费c 元；若用水量超过a m3 时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每m3 付 b 元的超额费已知每户每月的定额损耗费不超过5 元该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费如下表所示：月份用水量 (m3 )水费（元）1992151932233根据上表中的数据，求a 、 b 、 c 解：设每月用水量为x m3，支付费用为y 元，则有 y8c,0xa(1)(2)8b(xa)c, xa由表知第二、 第三月份的水费均大于13 元，故用水量15 m3 ，22m3 均大于最低限量a m3 ，于是就有19 8 b(15 a) c2 ，从而 2ac19(3)，解之得 b33 8 b(22 a) c再考虑一月份的用水量是否超过最低限量a m3 ，不妨设9a ，将 x9 代入（ 2）式，得9 82(9a)c，即 2a c17 ，这与（ 3）矛盾 9a 从而可知一月份的付款方式应选（1）式，因此，就有8c9 ，得 c1故 a10，